« Espace bidual » : différence entre les versions

En [[mathématiques]], et plus précisément en [[algèbre linéaire]], on définit l''''espace bidual'''<ref>{{RéférenceOuvrage|titre=Mathématiques nécessaire- Tout-en-un pour la Licence 2|numéro d'édition=3|auteur=[[Jean-Pierre Ramis]]|auteur2=[[André Warusfel]]|et al.=oui|éditeur=[[Dunod]]|date=10 mai 2020|url={{Google Livres|_ujMDwAAQBAJ|page=98}}|page=98}}.</ref> de l'[[espace vectoriel]] ''E'' comme étant l'[[espace dual]] ''E''** de l'espace dual ''E''* de ''E''.

Dans la suite, on considère (''E'',+,.) un ''K''-[[espace vectoriel]], où ''KE'' désignesur un [[corps commutatif]] ''K''.

Il existe une [[application linéaire]] [[Canonique (mathématiques)|canonique]]<ref name=ToutEnUn>{{Référence nécessaireHarvsp|Ramis|Warusfel|date=10 mai 2020|p=[https://books.google.fr/books?id=_ujMDwAAQBAJ&pg=PA101 101]}}.</ref> ''i_E'' de ''E'' dans son bidual, associant à un [[vecteur]] ''x'' de ''E'' la [[forme linéaire]] <math>x^{**}</math> sur ''E''* définie par <math>x^{**}(h) = h(x)</math> pour toute forme linéaire ''h'' sur ''E''. Autrement dit :

h & \mapsto & h(x) .\end{array} \right.

En d'autres termes, l'application linéaire ''i_E'' associe à tout vecteur ''x'' de ''E'' l'application ''x''** dans ''E''** qui évalue en ''x'' les formes linéaires sur E en ''xE''.

Lorsque l'espace vectoriel ''E'' est de dimension finie, ''i''_E est un [[Isomorphisme d'espaces vectoriels|isomorphisme]] (voir [[Base duale]]) et le bidual est canoniquement isomorphe à l'espace vectoriel ''E'', ce qui permet en pratique de les identifier<ref name=ToutEnUn/>.

En dimension infinie, l'[[axiome du choix]] permet de montrer que cette application ''i_E'' est [[Injection (mathématiques)|injective]]<ref>{{RéférenceOuvrage|titre=Algèbre nécessaire- 2ème année [[Classes préparatoires scientifiques|Prépas scientifiques]]|auteur=C. Antonini|éditeur=[[De Boeck Supérieur]]|date=10 mai 20202015|url={{Google Livres|3EvLDgAAQBAJ|page=183}}|page=183}}.</ref>, mais ''i''_E n'est jamais un[[surjective]]. isomorphisme{{RéférenceEn nécessaire||date=10 mai 2020}}.effet, Lele [[théorème d'Erdős-Kaplansky]] implique qu'ilque n'existela même[[Dimension aucund'un isomorphismeespace vectoriel|dimension]] entrede ''E''** etest sonstrictement bidual{{Référencesupérieure nécessaire||date=10 mai 2020}}à celle de ''E''.

La construction de ''i'' est [[Foncteur|fonctorielle]]{{Référence nécessaire||date=10 mai 2020}} dans le sens suivant. La fonctorialité est plus précise que la « canonicité ». La fonctorialité pour les isomorphismes <math>f</math> signifie l'indépendance vis-à-vis du choix d'une base.

Pour toute application linéaire <math>f : E\to F</math>, on a l'application duale <math>f^{*}: F^*\to E^*</math> et donc une application biduale <math>f^{**}: E^{**}\to F^{**}</math>. Alors les applications <math>i_E : E\to E^{**}</math> et <math>i_F : F\to F^{**}</math> vérifient <math>i_F f = f^{**} i_E</math>. Moralement, un isomorphisme fonctoriel est compatible avec toute opération linéaire.