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« Droite réelle achevée » : différence entre les versions

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Anne Bauval (discuter | contributions)
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* <math>d'(x, y) = | \tanh y - \tanh x |</math>, en comptant <math>\tanh \pm \infty = \pm 1</math>
 
En effet, l'application {{math|arctan}} (resp.respectivement {{math|tanh}}) est un [[isomorphisme d'ensembles ordonnés]] de ℝ dans {{math|]–π/2, π/2[}} (resp. dans {{math|]–1, 1[}}), donc<ref name=Bourbak/> se prolonge en un isomorphisme d'ensembles ordonnés de {{surligner|ℝ}} dans {{math|[–π/2, π/2]}} (resp. dans {{math|[–1, 1]}}), qui est par conséquent un [[homéomorphisme]] entre les topologies associées à ces ordres.
 
Ces homéomorphismes montrent aussi que {{surligner|ℝ}} est [[Compacité (mathématiques)|compact]]<ref name=Bourbak/>.
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