« Différentielle » : différence entre les versions

En [[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]] et [[analyse vectorielle|vectorielle]], on appelle '''différentielle''' d'ordre 1 d'une [[Fonction (mathématiques)|fonction]] en un point <math>{{mvar|a</math>}} (ou [[dérivée]] de cette fonction au point <math>{{mvar|a</math>}}) la partie [[Application linéaire|linéaire]] de l'accroissement de cette fonction entre <math>{{mvar|a</math>}} et <{{math>|''a'' + ''h</math>''}} lorsque <math>{{mvar|h</math>}} tend vers {{math|0}}. Elle généralise aux fonctions de plusieurs variables la notion de nombre dérivé d'une fonction d'une variable réelle, et permet ainsi d'étendre celle de [[développement limité|développements limités]]. Cette différentielle n'existe pas toujours, et une fonction possédant une différentielle en un point est dite '''différentiable''' en ce point. On peut ensuite calculer des différentielles d'ordre supérieur à 1.

Intuitivement, ce calcul de limite, qui porte le nom de [[développement limité]] à l'ordre 1 pour la fonction <math>f</math> en <math>a</math>, signifie qu'en première approximation, pour <math>h</math> proche de 0, la valeur de <math>f(a + h)</math> est peu différente de celle de <math>f(a) + f'(a) \cdot h</math>. Notamment parmi les expressions [[Fonction affine|affines]] (c'est-à-dire de la forme <math>\alpha + \beta \cdot h</math>), c'est celle-ci qui donne la meilleure approximation de <math>f(a + h)</math>.

Plus généralement, si <math>f</math> est de classe <math>C^{{exp|''n</math>''}} alors (formellement, dans l'[[algèbre sur un corps|algèbre]] des [[opérateur différentiel|opérateurs]]) :