« Différentielle » : différence entre les versions
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{{sources|date=décembre 2019}}
En [[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]] et [[analyse vectorielle|vectorielle]], on appelle '''différentielle''' d'ordre {{math|1}} d'une [[Fonction (mathématiques)|fonction]] en un point
On utilise la notation différentielle avec beaucoup d'efficacité dans le cadre du calcul d'approximations et du calcul de dérivées. Elle facilite la formule de la [[théorème de dérivation des fonctions composées|dérivée de la composée]]. Elle se révèle très pratique dans le changement de variable en [[calcul intégral]].
Dans l'approche de [[Leibniz]], la différentielle d'une fonction est son « accroissement infinitésimal », qui s'écrit comme une combinaison des accroissements infinitésimaux des différentes variables. Ainsi pour une fonction <math>f</math> des variables <math>x</math> et <math>y</math>,
:<math>\mathrm{d} f = \frac{\partial f}{\partial x} \, \mathrm{d} x + \frac{\partial f}{\partial y} \, \mathrm{d} y = p \, \mathrm{d} x + q \, \mathrm{d} y</math>
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Le calcul différentiel, pour les fonctions d'une seule variable, se confond avec la [[dérivée|dérivation]]. Soit <math>f</math> une fonction d'une variable réelle, à valeurs réelles ; on notera <math>y=f(x)</math> le résultat de l'application de <math>f</math>. Elle est dite dérivable en <math>a</math> lorsqu'il existe un réel, noté <math>f'(a)</math>, tel que pour tout réel <math>h</math> on ait :
:<math>f(a + h) = f(a) + f'(a)\
où <math>\varepsilon</math> est une fonction ayant une limite nulle en 0. <math>f'(a)</math> est alors appelé nombre dérivé de <math>f</math> en <math>a</math>. On résume souvent cela par la notation (dite [[notation de Landau]]) :
:<math>f(a + h) = f(a) + f'(a)
Intuitivement, ce calcul de limite, qui porte le nom de [[développement limité]] à l'ordre 1 pour la fonction <math>f</math> en <math>a</math>, signifie qu'en première approximation, pour <math>h</math> proche de 0, la valeur de <math>f(a + h)</math> est peu différente de celle de <math>f(a) + f'(a) \cdot h</math>. Notamment parmi les expressions [[Fonction affine|affines]] (c'est-à-dire de la forme <math>\alpha + \beta \cdot h</math>), c'est celle-ci qui donne la meilleure approximation de <math>f(a + h)</math>.
==== Introduction intuitive des notations du calcul infinitésimal ====
Ligne 177 :
=== Cas de la fonction réelle à deux variables ===
Si <math>f</math> est une fonction différentiable
:<math>\mathrm{d} ^2 f
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où <math>\bigl(\tfrac{\partial }{\partial x} \, \mathrm{d} x + \tfrac{\partial }{\partial y} \, \mathrm{d} y \bigr)</math> devient un opérateur agissant sur <math>f</math>
Plus généralement, si <math>f</math> est de classe
:<math>\mathrm{d} ^n f = \left(\frac{\partial }{\partial x} \, \mathrm{d} x + \frac{\partial }{\partial y} \, \mathrm{d} y\right)^n f</math>
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|wikiversity titre=Différentiabilité
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* [[Homologie et cohomologie]]▼
* [[Dérivée directionnelle]]
* [[Dérivée extérieure]]
Ligne 238 ⟶ 237 :
* [[Fonction semi-lisse]]
* [[Forme différentielle]]
▲* [[Homologie et cohomologie]]
* [[Notations delta en sciences]]
*[[Règle du produit#Règle du produit dans des espaces vectoriels normés|Règle du produit dans des espaces vectoriels normés]]
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