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En [[algèbre commutative]] un '''anneau de Bézout''' ou '''anneau bézoutien''' est un anneau où la [[théorème de Bachet-Bézout|propriété de Bézout]] va se trouver vérifiée. Plus formellement, cun '''anneau pseudo-bézoutien'''est un anneau dans lequel tout [[idéal de type fini]] est [[idéal principal|principal]].; Si, en toute théorie, la définition d'un anneau de Bézout n'exige pas la propriété d'[[anneau intègre|intégrité]] de l'anneau, en pratique les anneaux de Bézout que lbézoutien'''on étudieest sontun enanneau généralpseudo-bézoutien intègresintègre<ref>AvivaBourbaki Spirzglas2006, AlgèbreChap. L37, p.exercices 20 et 51121</ref>.

Un anneau intègre est donc de Bézout si et seulement si, pour tous a et b de A, il existe un élément d de A tel que aA+bA=dA. L'implication directe n'est qu'un conséquence de la définition, la réciproque provient du fait que si un idéal engendré par 2 éléments est principal, il en est de même de l'idéal engendré par 3 éléments, puis 4, puis n.

Dans un anneau de Bézoutpseudo-bézoutien tout couple (a,b) d'éléments non nuls possède un [[PGCD]] : pgcd(a,b)=d si et seulement si aA+bA=dA. Tout anneau de Bézoutpseudo-bézoutien est donc un [[anneau à PGCD]].

* Puisque tout anneau de Bézoutpseudo-bézoutien est un anneau à PGCD, poursur un tel anneau de Bézout intègre on a :

* Un anneau de Bézout intègrebézoutien vérifie la propriété supplémentaire suivante :

* Tout [[Valuation#Anneau de valuation|anneau de valuation]] est clairement de Bézout.

** De même, puisque tout [[anneau noethérien]] est atomique, tout anneau de Bézout intègre qui est aussi noethérien est principal. (Plus généralement : pour qu'un anneau soit atomique, il suffit que toute suite croissante d'idéaux ''principaux'' soit stationnaire.)

** Il existe des anneaux de Bézout intègres non atomiques (donc non factoriels), comme l'anneau <math>\scriptstyle H(\C)</math> des [[fonction entière|fonctions entières]]<ref>Voir une démonstration dans ''[http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/holomorphe.pdf Arithmétique des anneaux de fonctions holomorphes]'' de David Bourqui</ref> ou celui des [[Entier algébrique|entiers algébriques]]<ref>{{Planetmath reference|id=9220|title=Example of a Bezout domain that is not a PID}}</ref>{{,}}<ref>Pour une généralisation, cf {{en}} Pete L. Clark, ''[http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf Commutative algebra]'', [[Irving Kaplansky|Kaplansky]]'s theorem p. 215</ref>. On peut également construire<ref>[[Bourbaki]], ''[[Éléments de mathématique]]'', AC VI.3.4</ref>, pour tout [[Groupe ordonné|groupe abélien totalement ordonné]] ''G'', un anneau de valuation (donc de Bézout) dont le groupe de valuations est ''G'' : pour ''G'' non trivial et non isomorphe à '''Z''', cet anneau sera de valuation non triviale et non [[anneau de valuation discrète|discrète]], donc ne sera pas principal.