Produit dyadique

En mathématiques, et plus précisément en algèbre multilinéaire, le produit dyadique

$\mathbb {P} =\mathbf {u} \otimes \mathbf {v}$

de deux vecteurs, $\mathbf {u}$ et $\mathbf {v}$, chacun ayant la même dimension, est le produit tensoriel de ces vecteurs, lequel est un tenseur d'ordre deux et de rang un.

Composantes

Si $\mathbf {u}$ et $\mathbf {v}$ sont deux vecteurs d'un espace vectoriel E de dimension finie n, muni d'une base donnée $\{\mathbf {e} _{i}\}_{1\leq i\leq n}$, les coordonnées $P_{ij}$ du produit dyadique $\mathbb {P} =\mathbf {u} \otimes \mathbf {v}$ dans la base correspondante du produit tensoriel $E\otimes E$ sont données par

$\displaystyle P_{ij}=u_{i}v_{j}$ , où $\ \mathbf {u} =\sum _{i=1}^{n}u_{i}\mathbf {e} _{i}$ , et $\ \mathbf {v} =\sum _{j=1}^{n}v_{j}\mathbf {e} _{j}$ ,

et alors

$\mathbb {P} =\sum _{i,j}P_{ij}\;\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}$ .

Représentation matricielle

Le produit dyadique peut être simplement représenté par la matrice carrée obtenue en multipliant $\mathbf {u}$ en tant que vecteur colonne par $\mathbf {v}$ en tant que vecteur ligne. Par exemple,

$\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \rightarrow {\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\end{bmatrix}},$

où la flèche indique que ce n'est qu'une représentation particulière du produit dyadique, se référant à une base particulière. Dans cette représentation, le produit dyadique est un cas particulier du produit de Kronecker.

Identités

Les identités suivantes sont une conséquence directe de la définition du produit dyadique :

${\begin{aligned}(\alpha \mathbf {u} )\otimes \mathbf {v} &=\mathbf {u} \otimes (\alpha \mathbf {v} )=\alpha (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ),\\\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {w} ,\\(\mathbf {u} +\mathbf {v} )\otimes \mathbf {w} &=\mathbf {u} \otimes \mathbf {w} +\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} ,\\(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\cdot \mathbf {w} &=\mathbf {u} \;(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} ),\\\mathbf {u} \cdot (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\;\mathbf {w} ,\\(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )^{\top }&=\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} \end{aligned}}$

Voir aussi

• Tenseur dyadique
• Produit tensoriel
• Produit de Kronecker

Références

• (en) A.J.M. Spencer, Continuum Mechanics, Mineola, Dover Publications, 1992, 183 p., poche (ISBN 978-0-486-43594-7, LCCN 2003070116, lire en ligne).

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dyadic product » (voir la liste des auteurs).