Théorème des lacunes d'Ostrowski-Hadamard

En analyse, le théorème des lacunes d'Ostrowski-Hadamard est un résultat sur le prolongement analytique de série entière dont les termes non nuls sont séparés par des « lacunes » de taille suffisante. La somme d'une telle série entière ne peut se prolonger au-delà du bord du disque de convergence.

Énoncé

Soit 0 < p₀ < p₁ < … une suite d'entiers. On suppose qu'il existe λ > 1 tel que pour tout entier naturel j,

${\frac {p_{j+1}}{p_{j}}}>\lambda .$

Soit (α_j)_j∈ℕ une suite de nombres complexes telle que la série entière suivante :

$f(z)=\sum _{j\in \mathbb {N} }\alpha _{j}z^{p_{j}}$

ait un rayon de convergence égal à 1. Alors, aucun point de module 1 n'est régulier pour f. Autrement dit, f ne peut être prolongée analytiquement sur un ouvert incluant le disque unité ouvert et un point du cercle unité.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ostrowski–Hadamard gap theorem » (voir la liste des auteurs), dont les références étaient :
  • (en) Steven G. Krantz, Handbook of complex variables, Boston, MA, Birkhäuser, 1999, 199 p. (ISBN 978-0-8176-4011-8, MR 1738432, lire en ligne), p. 120 et
  • (en) Eric W. Weisstein, « Ostrowski-Hadamard Gap Theorem », sur MathWorld.
• Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]