Utilisateur:Asram/Sylvester

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En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, la loi d'inertie de Sylvester, formulée par James Joseph Sylvester en 1852^[1], est un théorème de classification des formes quadratiques sur un espace vectoriel réel de dimension finie.

À l'aide d'un changement de variables approprié, toute forme quadratique sur un espace vectoriel réel de dimension finie peut s'écrire sous la forme d'une somme de carrés, précédés de signes + ou - ; la loi d'inertie dit que le nombre de signes + et le nombre de signes – ne dépendent pas du changement de variable utilisé^[2].

Peut-être introduire une fois pour toutes les notations Q, V, n ?

Formulation de la loi d'inertie de Sylvester

Première approche

Ce type de changement de variables intervient par exemple quand il s'agit d'obtenir une équation réduite de coniques ou de quadriques.

Quel exemple donner ?

Plus généralement, étant donné une forme quadratique Q sur un espace vectoriel réel V de dimension finie $n ⩾ 1$ , il existe^[3] des bases $(e_{1}, \dots, e_{n})$ de V, orthogonales pour Q, telles que Q(x) ait une expression de la forme

Q (x) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i}^{2}

où l'on a posé

x = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} e_{i}

.

Si les valeurs des réels $a_{i}$ dépendent du changement de repère effectué, la loi d'inertie de Sylvester énonce que le nombre p (respectivement q) des $a_{i}$ qui sont strictement positifs (resp. strictement négatifs) est indépendant de la base choisie. Le couple (p,q) est appelé signature de la forme quadratique Q.

Une formulation mathématique de cet énoncé est

Loi d'inertie de Sylvester — Soit $Q$ une forme quadratique sur un espace vectoriel réel V de dimension finie $n ⩾ 1$ . Si $(e_{1}, \dots, e_{n})$ est une base orthogonale de (E, $Q$ ), on peut lui associer les entiers $p = c a r d ({i ∣ Q (e_{i}) > 0})$ et $q = c a r d ({i ∣ Q (e_{i}) < 0})$ . Alors le couple (p,q) est indépendant de la base orthogonale choisie. Le rang de la forme quadratique Q est alors $r = p + q$ .

Il s'agit bien du résultat annoncé puisque $a_{i} = Q (e_{i})$

Démonstration

À une autre base orthogonale $(e'_{1}, \dots, e'_{n})$ , on associe de même les entiers p' et q'. On introduit $K = {j ∣ Q (e'_{j}) ⩽ 0}$ . On montre que la famille constituée des vecteurs $(e_{i})_{i \in I}$ et $(e'_{j})_{j \in K}$ est libre. En effet, si $\sum_{i \in I} x_{i} . e_{i} + \sum_{j \in K} y_{j} . e'_{j} = 0_{E}$ , le vecteur $z = \sum_{i \in I} x_{i} . e_{i} = - \sum_{j \in K} y_{j} . e'_{j}$ vérifie $Q (z) = \sum_{i \in I} x_{i}^{2} . Q (e_{i}) = \sum_{j \in K} y_{j}^{2} . Q (e'_{j})$ . La définition de I et K implique la nullité de tous $x_{i}, i \in I$ . Alors $\sum_{j \in K} y_{j} . e'_{j} = 0_{E}$ d'où cette fois la nullité des $y_{j}, j \in K$ . L'indépendance obtenue implique $c a r d I + c a r d J ⩽ n$ , soit $p + (n - p^{'}) ⩽ n$ et donc $p ⩽ p^{'}$ . Par symétrie, p = p'. On en déduit q = q'.

Nouvelle formulation

Si r est le rang de la forme quadratique Q , le théorème de réduction de Gauss assure de l'existence de r formes linéaires indépendantes $l_{1}, ..., l_{r}$ et de r réels $c_{1}, ..., c_{r}$ tous non nuls tels que

Q = \sum_{i = 1}^{r} c_{i} l_{i}^{2}

.

En renumérotant les $c_{i}$ de façon à mettre en premier ceux qui sont strictement négatifs, puis en remplaçant $l_{i}$ par $\sqrt{| c_{i} |} l_{i}$ , on obtient la décomposition suivante :

Q = - \sum_{i = 1}^{s} l_{i}^{2} + \sum_{i = s + 1}^{r} l_{i}^{2} .

On peut alors énoncer :

Sur un espace vectoriel V sur $ℝ$ de dimension finie n \leqslant1, soit Q une forme quadratique de rang r. Alors

Loi d'inertie de Sylvester — Il existe un entier s ≤ r et des formes linéaires indépendantes $l_{1}, ..., l_{r}$ tels que

Q = - \sum_{i = 1}^{s} l_{i}^{2} + \sum_{i = s + 1}^{r} l_{i}^{2} .

Cette écriture n'est pas unique, mais l'entier s n'en dépend pas.

Démonstration

L'existence a été établie.
Pour montrer que s ne dépend que de Q, montrons que

s est le maximum des dimensions des sous-espaces sur lesquels Q est définie négative.

(On montrerait de même que r – s est le maximum des dimensions des sous-espaces sur lesquels Q est définie positive).

Soient $(e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $V$ dans laquelle $l_{1}, ..., l_{r}$ sont les r premières fonctions coordonnées (en particulier, $e_{r + 1}, \dots, e_{n}$ est une base du radical $r a d (Q)$ de $Q$ ), et $F^{-}$ (resp. $F^{+}$ ) le sous-espace engendré par $e_{1}, \dots, e_{s}$ (resp. $e_{s + 1}, \dots, e_{r}$ ). On obtient une décomposition

V = F^{-} ⨁ F^{+} ⨁ r a d (Q)

en somme directe de sous-espaces deux à deux orthogonaux pour la forme bilinéaire associée à $Q$ , la restriction de $Q$ à $F^{+}$ (resp. $F^{-}$ ) étant définie positive (resp. définie négative).

Soit $G$ un sous-espace de dimension m sur lequel $Q$ est définie négative. Comme $Q$ est définie positive sur $F^{+}$ , ces deux sous-espaces sont en somme directe et $Q$ est non dégénérée sur cette somme, donc $m + (r - s) = \dim G + \dim F^{+} \leq r$ , c'est-à-dire $m \leq s$ .

L'entier s est appellé l’indice (ou indice d'inertie)^[4] de Q. La paire (r – s, s) (indiquant le nombre de signes + et le nombre de signes – dans l'écriture de la forme) est alors la signature de la forme.

Point de vue matriciel

En termes de matrices, on a un énoncé équivalent : si $A$ est la matrice de Q dans une base, il existe une matrice inversible $P$ telle que

P^{t} A P = (\begin{matrix} - I_{s} & 0 & 0 \\ 0 & I_{r - s} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

Autrement dit, la matrice de la forme est congruente à une matrice diagonale n'ayant que des 0, 1 et -1 sur la diagonale ; la classe de congruence est caractérisée par les entiers r et s.

On peut déterminer directement la signature de la forme Q à l'aide des valeurs propres de la matrice de cette forme, A. En effet, A est diagonalisable (d'après le théorème spectral), et ce dans une base orthogonale (pour le produit scalaire associé à Q) ; appliquant le résultat précédent, on en déduit que le rang de A, et donc de Q, est le nombre de ses valeurs propres non nulles (comptées avec leur multiplicité), et que s est le nombre des valeurs propres de A strictement négatives^[5].

Applications

Classification des formes quadratiques

Deux formes quadratiques sur V sont équivalentes (c'est-à-dire, par exemple, qu'elles ont même matrice associée dans deux bases de V) si et seulement si elles ont même rang et même indice, ou encore si et seulement si elles ont même signature. La signature permet donc de classer les formes sur V, à équivalence près.

à voir avec ce qui suit

D'après la caractérisation ci-dessus de s et de r – s, deux formes quadratiques équivalentes ont même indice et même rang. Réciproquement, si deux formes quadratiques ont même indice et même rang, alors elles ont même matrice par rapport à des bases convenables et sont donc équivalentes.

Calcul différentiel

Article détaillé : Matrice hessienne.

Soit f une fonction $C^{2}$ sur $ℝ^{n}$ , dont la différentielle s'annule en 0. Supposons que la forme quadratique définie par la matrice hessienne soit non dégénérée d'indice e. Alors il existe un sous-espace vectoriel $V$ de dimension e tel que la restriction de f à $V$ admette un maximum local strict en 0. De plus, e est la dimension maximale d'un sous-espace ayant cette propriété. Grosso modo, l'indice mesure ici la non-minimalité en un point critique.

Géométrie

Article détaillé : Quadriques.

Soit $Q$ une forme quadratique sur $ℝ^{3}$ . La surface d'équation $Q (x, y, z) = 1$ est homéomorphe (et même difféomorphe) à

la sphère $S^{2}$ si $Q$ est définie positive.
$S^{1} \times ℝ$ si $Q$ est de signature (2,1) (hyperboloïde à une nappe).
$S^{0} \times ℝ^{2} = {- 1, 1} \times ℝ^{2}$ si $Q$ est de signature (1,2) (hyperboloïde à deux nappes).

Le mot nappe désigne ce qu'on appelle aujourd'hui composante connexe

Plus généralement, si $Q$ une forme quadratique sur $ℝ^{n}$ de signature (p,q), l'hypersurface d'équation $Q (𝐱) = 1$ est homéomorphe (et même difféomorphe) à $S^{p - 1} \times ℝ^{n - p}$

Références

↑ (en) « A demonstration of the theorem that every homogeneous quadratic polynomial is reducible by real orthogonal substitutions to the form of a sum of positive and negative squares », dans Philosophical Magazine (Ser. 4), vol. 4, n° 23, p. 138-142.
↑ J. Lelong-Ferrand et J.-M. Arnaudiès, Cours de mathématiques, tome 1 : Algèbre, 2^e éd., Paris, Dunod, 1974, p. 373.
↑ La démonstration se fait par récurrence sur la dimension de l'espace vectoriel V.
↑ Selon les auteurs, s, r-s, r-2s est appelé indice. Par ailleurs, l'indice peut aussi désigner la dimension d'un sous-espace isotrope maximal associé à Q, qui vaut min (s, r-s) ; on parle plutôt dans ce cas d'indice d'isotropie total, voir art. 348E de l'Encyclopedic Dictionary of Mathematics, ed. K. Itô, vol. 3, Cambridge et London: MIT Press, 1987.
↑ (en) Serge Lang, Algebra, Reading, Addison-Wesley, 1977, p. 358-366.

[1] (en) « A demonstration of the theorem that every homogeneous quadratic polynomial is reducible by real orthogonal substitutions to the form of a sum of positive and negative squares », dans Philosophical Magazine (Ser. 4), vol. 4, n° 23, p. 138-142.

[2] J. Lelong-Ferrand et J.-M. Arnaudiès, Cours de mathématiques, tome 1 : Algèbre, 2^e éd., Paris, Dunod, 1974, p. 373.

[3] La démonstration se fait par récurrence sur la dimension de l'espace vectoriel V.

[4] Selon les auteurs, s, r-s, r-2s est appelé indice. Par ailleurs, l'indice peut aussi désigner la dimension d'un sous-espace isotrope maximal associé à Q, qui vaut min (s, r-s) ; on parle plutôt dans ce cas d'indice d'isotropie total, voir art. 348E de l'Encyclopedic Dictionary of Mathematics, ed. K. Itô, vol. 3, Cambridge et London: MIT Press, 1987.

[5] (en) Serge Lang, Algebra, Reading, Addison-Wesley, 1977, p. 358-366.

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