Utilisateur:Clement.analogue/etat coherent
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Etat cohérent
modifierEn mécanique quantique, un état cohérent est un élément de l'espace de Hilbert des états physiques dont l'évolution est conforme aux équations du mouvement classiques.
Soit un état cohérent, noté , sa définissions est , avec l'opérateur d'annihilation. Formellement, cet état est obtenu en déplaçant le ground dans l'espace phases . L'opérateur est défini par $$\begin{array}{rcl}D(\alpha) & = & \exp\left(\alpha a-\alpha^*a\right)\\ & = & \exp\left(\Re[\alpha]\left(\ad-a\right)+i\Im[\alpha]\left(\ad+a\right)\right)\\ & = & \exp\left(\dfrac{i}{\hbar}\left(p_0Q-q_0P\right)\right)\\ & = & D(q_0,p_0)\end{array}$$, avec $q_0=\sqrt{\dfrac{2\hbar}{\omega}}\Re[\alpha]$ et $p_0=\sqrt{2\hbar\omega}\Im[\alpha]$. Cet opérateur est unitaire, c'est à dire qu'il ne change pas le produit scalaire. \\ \begin{figure}[H] \begin{center} \includegraphics[width=10cm,height=7.5cm]{coherent.jpeg} \caption{Diagramme dans l'espace de phase} \end{center} \end{figure} Sur ce diagramme, |a> représente $\keta$, P=$\sqrt{\dfrac{1}{2\hbar\omega}}p_0$ et Q=$\sqrt{\dfrac{\omega}{2\hbar}}q_0$, la flèche représente quand à elle le déplacement dans l'espace des phases induit par $D(\alpha)$ de $\ket{0}$ à $\keta$.
Valeurs moyennes
modifierLa position moyenne dans un état cohérent est $$\begin{array}{rcl}\braket{\alpha|Q|\alpha} & = & \braket{0|D^{\dag}(\alpha)QD(\alpha)|0}\\ & = & \braket{0|Q+q_0|0}\\ & = & \braket{0|Q|0}+q_0\braket{0|0}\\ & = & q_0\end{array}$$. De même, l'impulsion moyenne est $$\braket{\alpha|P|\alpha}=p_0$$. Contrairement à un état quantique $\ket{n}$, ket propre de l'hamiltonien, formant une base orthonormée, les valeurs moyennes de la position et de l'impulstion ne sont pas nulles et correspondent aux valeurs moyennes classiques, d'où l'appellation d'état semi-classique. Il en est de même avec le champ électrique moyen. Ce dernier est nul pour un état $\ket{n_0,...,n_m}=\underset{k=0}{\overset{m}{\bigotimes}}\ket{n_k}$ de l'espace de Fock. Par contre, pour un état cohérent défini par $\ket{\{\alpha\}}=\ket{\alpha_0,...,\alpha_m}=\underset{k=0}{\overset{m}{\bigotimes}}\ket{\alpha_k}$, $$\braket{E(t)}_{\ket{\{\alpha\}}}=\int\!\!\!\deriv\omega\sqrt{2\pi\hbar\omega}\left(\alpha(\omega)\exp(i\omega(\alpha)t)+\alpha(\omega)\exp(-i\omega(\alpha)t)\right)$$.
Base
modifier$D(\alpha)$ étant unitaire, \begin{eqnarray}\braket{\alpha|\alpha} & = & \braket{0|D^{\dag}(\alpha)D(\alpha)|0}\\
& = & \braket{0|0} \\ & = 1\label{norme}\end{eqnarray}. Donc les états cohérents sont normés (voir (\ref{norme})), mais pas orthogonaux, $$\braket{\alpha|\alpha'}=\exp\left(-\dfrac{|\alpha|^2}{2}-\dfrac{|\alpha'|^2}{2}+\alpha^*\alpha\right)\neq 0$$ et la relation de fermeture est $$\int\!\!\!\deriv^2\alpha\keta\bra{\alpha}=\pi\bbone\neq\bbone$$. Ces états ne formes donc pas une base orthonormée.
Nombre moyen de particules
modifierQuel est le nombre moyen de particules $\bar{n}$ dans l'état $\keta$ ?\\ Il est donné par la valeur moyenne de $N$ sur $\keta$, c'est à dire $$\begin{array}{rcl}\bar{n} & = & \braket{N}_{\keta} \\ & = & \braket{\alpha|\ad a|\alpha}\\ & = & \alpha^*\alpha\braket{\alpha|\alpha}\\ & = & |\alpha|^2\end{array}$$.
Fonction d'onde
modifierUn état cohérent donne un paquet d'onde gaussien. Il n'y a pas d'étalement du paquet d'onde avec un paquet d'onde gaussien, ce qui donne à ces états leur cohérence. $\Delta X=\sqrt{\dfrac{\hbar}{2m\omega}}$ et $\Delta P\sqrt{\dfrac{m\hbar\omega}{2}}$ ne dépendent pas du temps, donc le paquet d'onde reste minimum au cours du temps.
