Utilisateur:Dimorphoteca/Brouillon
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Calcul d’espérances mathématiques
modifierL’espérance mathématique permet de définir sur un grand nombre d’épreuves le gain moyen d’une loi de probabilité.
Espérance mathématique associée à chaque enveloppe
modifierAfin de déterminer le gain moyen obtenu par le choix d’une enveloppe, on associe à la première enveloppe (resp. la seconde) la variable aléatoire (resp. ).
La loi de probabilité de la variable aléatoire est l’ensemble des 2 solutions possibles proposées par le jeu ({valeur ; probabilité d’apparition}) :
et étant le deux montants possibles proposés par le jeu.
Pour la variable aléatoire , l’ensemble est constitué de façon similaire
- .
L’espérance du contenu de l’enveloppe 1 est par définition :
- .
Pour l’enveloppe 2, on a de façon similaire :
- .
On constate que , ce qui est logique car les deux enveloppes ont un rôle identique.
Espérance mathématique associée à chaque changement
modifierSi l'on change d’enveloppe, par exemple de l’enveloppe 1 à l’enveloppe 2, on obtient l’espérance d’obtenir le gain de l’enveloppe 2 moins celui obtenu avec l’enveloppe 1 :
Ceci est dû à la propriété de linéarité des calculs d’espérance.
On conclut .
De façon similaire .
Sur un grand nombre d’épreuves, on ne peut pas espérer de gain en permutant les choix des enveloppes.
Espérance mathématique associée à chaque changement (variante)
modifierSi l’on considère les 2 changements possibles :
- passer d’un montant à un montant ;
- passer d’un montant à un montant .
On obtient resp. deux gains possibles :
- le premier est positif de valeur avec une probabilité d’apparition de 50% ;
- le second est négatif de valeur avec une probabilité d’apparition de 50%.
Ceci définit une seconde loi de probabilité avec deux solutions possibles (valeur ; probabilité) :
- .
Cette seconde loi de probabilité a par définition une espérance :
- .
montre une façon différente d’écrire le calcul détaillé de ou de .
On vérifie :
- .
L'espérance aboutit lui aussi à un gain moyen nul.
Espérance mathématique calculée par le présentateur
modifierIl est intéressant de voir en quoi le raisonnement de l’animateur aurait un défaut. Celui-ci propose la formule suivante :
Où est le montant de l’enveloppe choisie. On ne note que l’on ne connait pas qui vaut soit , soit .
Par définition de l’espérance mathématique d’une loi de probabilité, on obtient de cette formule les deux solutions {valeur ; probabilité d’apparition} :
- ;
- .
Pour ces deux solutions, il faut envisager les deux cas possibles et :
- dans le premier cas, on obtient et ;
- dans le second : et .
On constate que les solutions possibles ) et ) sont contraires aux hypothèses et invalident le raisonnement du présentateur.
En examinant de plus près la formule du présentateur, ces deux solutions : et définissent une autre loi de probabilité. Ainsi correspond à un autre protocole :
- ouvrir l’enveloppe choisie,
- lire son contenu ,
- puis remplacer le contenu de la seconde par ou .
Le présentateur a commis une confusion entre deux lois de probabilité distinctes.
Remarques
modifierSupposons que . Que se passerait-il si l’on permutait plusieurs fois ? Il faudrait détailler les calculs de , , etc. On pourrait conjecturer une impossibilité, par exemple obtenir les deux relations incompatibles et .