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L'annuité constante est le remboursement périodique d'un emprunt avec les intérêts par un montant constant, qui est calculé en fonction du taux d'intérêt et de la durée de l'emprunt selon une formule mathématique. Une annuité constante peut désigner aussi à l'inverse un versement à intervalle régulier d'une même somme pour un placement échelonné.
L'annuité constante d'un emprunt
modifierLa formule du taux d'annuité constante
modifier- étant la valeur du capital emprunté ou emprunt,
- le taux d'intérêt sur la période,
- n le nombre de périodes pour le remboursement
La valeur de l'annuité constante versée par l'emprunteur est : E × a
Le taux d'annuité constante est :
Exemple d'un échéancier
modifierPour un prêt à remboursement par annuité constante de 160 000 sur 5 ans à un taux de 1.2 % (E=160 000, n=5, =1.2%) :
1re année | 2e année | 3e année | 4e année | 5e année | total | |
---|---|---|---|---|---|---|
annuités constantes | 33161,16 | 33161,16 | 33161,16 | 33161,16 | 33161,16 | 165805,80 |
amortissements | 31241,16 | 31616,05 | 31995,45 | 32379,39 | 32767,95 | 160000 |
intérêts | 1920 | 1545,11 | 1165,71 | 781,77 | 393,21 | 5805,80 |
L'amortissement étant la partie du prêt remboursée chaque année (annuité = amortissement + intérêt).
Comparaison avec un prêt à remboursement par amortissement constant de 160 000 sur 5 ans à un taux de 1.2 % :
1re année | 2e année | 3e année | 4e année | 5e année | total | |
---|---|---|---|---|---|---|
annuités | 33920 | 33536 | 33152 | 32768 | 32384 | 165760 |
amortissements constants | 32000 | 32000 | 32000 | 32000 | 32000 | 160000 |
intérêts | 1920 | 1536 | 1152 | 768 | 384 | 5760 |
Chaque année l'emprunteur doit verser une même somme appelée l'annuité constante égale à E x a si E est le montant de l'emprunt et a le taux d'annuité constante. Cette somme est composée d'une part des intérêts et d'autre part du remboursement du capital. Les intérêts vont en s'amenuisant chaque année puisqu'ils sont calculés sur ce qui reste à rembourser multiplié par i. Donc les remboursements de l'emprunt vont à l'inverse en augmentant chaque année et le calcul pour une année p et p+1 montre que le facteur est de (1+i) :
Si Ep est l'emprunt résiduel au début de l'année p alors les intérêts à la fin de cette période sont de Ep i et donc le remboursement Rp est de : A - Ep i
À l'année p+1 l'emprunt résiduel en début de période est de Ep - (A - Ep i) alors les intérêts à la fin de l'année p+1 sont de Ep i - (A - Ep i) i et donc le remboursement Rp+1 est de : A - Ep i + (A - Ep i) i = (A - Ep i) (1 + i) = Rp (1+i)
Le remboursement augmente donc bien de ce même facteur (1+i) chaque année. La formule du remboursement Rn à l'année n est :
Ainsi on voit apparaître une suite géométrique dont les termes sont les remboursements successifs d'emprunt. Donc en fait si R1 soit E (a-i) est le remboursement de la première année et si Rn est celui de la dernière année alors la somme R1 + R2 + ... + Rn est égale à E le montant de l'emprunt. Après il suffit d'appliquer la formule de la somme d'une suite géométrique de raison égale à 1+i et de premier terme égal à E (a-i) pour résoudre l'équation et retrouver la formule du taux d'annuité constante.
On peut faire la démonstration rapide pour le calcul de la somme de cette suite géométrique.
Comme E est la somme des n termes alors on a :
En multipliant tous les termes par 1+i on a :
En soustrayant ces deux suites tous les termes s'annulent sauf le premier et le dernier :
Il existe une autre formule concernant les remboursements successifs :
...
Pour démontrer cette deuxième formule des remboursements on part de la dernière année où le remboursement Rn est égal à ce qui reste à rembourser donc on a :
et donc
On vérifie aussi qu'en remplaçant a par la formule du taux d'annuité constante on obtient bien le même résultat pour le remboursement de la première année :
Avec la deuxième formule des remboursements nous pouvons de la même manière que précédemment calculer la somme d'une suite géométrique de premier terme A/(1+i) et de raison (1+i)-1 :
et donc
Les annuités de placement
modifierA l'inverse des annuités constantes d'amortissement d'emprunt il existe les annuités de placement pour les épargnants par exemple qui versent à intervalle régulier une même somme d'argent pour constituer à l'échéance un capital plus important avec des intérêts composés.
Là aussi on obtient une suite géométrique. Si A est le montant de l'annuité, la valeur acquise du dernier ou n-ième versement sera de A (1+i). Celle de l'avant-dernier sera de A (1+i)2. Et ainsi de suite jusqu'au premier qui aura une valeur de A (1+i)n. Le capital à l'échéance sera donc la somme de tous ces termes et la formule des suites géométriques donne la réponse, A(1+i) étant le premier terme et 1+i la raison :
Rappel sur le calcul des intérêts
modifierSi Co est le capital initial, i le taux d'intérêt, n le nombre d'années, I le montant à échéance des intérêts et Cn le montant du capital à l'échéance, le calcul d'un intérêt simple au bout des n années s'exprime par la formule :
exemple : = 30 000, = 1 %, = 10
Alors : = 30 000 x 0,01 x 10 = 3 000
Le calcul de la valeur acquise s'exprime par la formule :
= 30 000 (1 + 0,01 x 10) = 33 000
Pour un intérêt composé l'intérêt vient se greffer au capital majoré des intérêts passés :
(n fois)
ou encore :
Avec les mêmes données que l'exemple précédent on obtient :
= 30 000 x 1,0110 = 33 138,66
Voir aussi
modifier- « vidéo sur la démonstration de la formule de la valeur actuelle »
- Aymric Kamega, « Introduction aux mathématiques financières », sur Euria (Euro-institut d'actuariat), , p. 13-17
- « vidéo sur la démonstration de la formule de la valeur acquise »