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L'annuité constante est le remboursement périodique d'un emprunt avec les intérêts par un montant constant, qui est calculé en fonction du taux d'intérêt et de la durée de l'emprunt selon une formule mathématique. Une annuité constante peut désigner aussi à l'inverse un versement à intervalle régulier d'une même somme pour un placement échelonné.

L'annuité constante d'un emprunt

La formule du taux d'annuité constante

• $E$ étant la valeur du capital emprunté ou emprunt,
• $i$ le taux d'intérêt sur la période,
• n le nombre de périodes pour le remboursement

La valeur de l'annuité constante versée par l'emprunteur est : E × a

Le taux d'annuité constante est : $a={\frac {i}{1-(1+i)^{-n}}}$

Exemple d'un échéancier

Pour un prêt à remboursement par annuité constante de 160 000 sur 5 ans à un taux de 1.2 % (E=160 000, n=5, $i$=1.2%) :

	1re année	2e année	3e année	4e année	5e année	total
annuités constantes	33161,16	33161,16	33161,16	33161,16	33161,16	165805,80
amortissements	31241,16	31616,05	31995,45	32379,39	32767,95	160000
intérêts	1920	1545,11	1165,71	781,77	393,21	5805,80

L'amortissement étant la partie du prêt remboursée chaque année (annuité = amortissement + intérêt).

Comparaison avec un prêt à remboursement par amortissement constant de 160 000 sur 5 ans à un taux de 1.2 % :

	1re année	2e année	3e année	4e année	5e année	total
annuités	33920	33536	33152	32768	32384	165760
amortissements constants	32000	32000	32000	32000	32000	160000
intérêts	1920	1536	1152	768	384	5760

Démonstration de la formule

Chaque année l'emprunteur doit verser une même somme appelée l'annuité constante égale à E x a si E est le montant de l'emprunt et a le taux d'annuité constante. Cette somme est composée d'une part des intérêts et d'autre part du remboursement du capital. Les intérêts vont en s'amenuisant chaque année puisqu'ils sont calculés sur ce qui reste à rembourser multiplié par i. Donc les remboursements de l'emprunt vont à l'inverse en augmentant chaque année et le calcul pour une année p et p+1 montre que le facteur est de (1+i) :

Si E_p est l'emprunt résiduel au début de l'année p alors les intérêts à la fin de cette période sont de E_p i et donc le remboursement R_p est de : A - E_p i

À l'année p+1 l'emprunt résiduel en début de période est de E_p - (A - E_p i) alors les intérêts à la fin de l'année p+1 sont de E_p i - (A - E_p i) i et donc le remboursement R_p+1 est de : A - E_p i + (A - E_p i) i = (A - E_p i) (1 + i) = R_p (1+i)

Le remboursement augmente donc bien de ce même facteur (1+i) chaque année. La formule du remboursement R_n à l'année n est :

$R_{n}=E(a-i)(1+i)^{n-1}$

Ainsi on voit apparaître une suite géométrique dont les termes sont les remboursements successifs d'emprunt. Donc en fait si R₁ soit E (a-i) est le remboursement de la première année et si R_n est celui de la dernière année alors la somme R₁ + R₂ + ... + R_n est égale à E le montant de l'emprunt. Après il suffit d'appliquer la formule de la somme d'une suite géométrique de raison égale à 1+i et de premier terme égal à E (a-i) pour résoudre l'équation et retrouver la formule du taux d'annuité constante.

On peut faire la démonstration rapide pour le calcul de la somme de cette suite géométrique.

Comme E est la somme des n termes alors on a :

$E=E(a-i)+E(a-i)(1+i)+{\cdots +E(a-i)(1+i)^{n-1}}$

En multipliant tous les termes par 1+i on a :

$E(1+i)=E(a-i)(1+i)+{\cdots }+E(a-i)(1+i)^{n-1}+E(a-i)(1+i)^{n}$

En soustrayant ces deux suites tous les termes s'annulent sauf le premier et le dernier :

$E(1+i-1)=E(a-i)(1+i)^{n}-E(a-i)$

$E\times i=E(a-i){\bigl (}(1+i)^{n}-1{\bigr )}$

$E=E(a-i)\times {\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}$

$a-i={\frac {i}{(1+i)^{n}-1}}$

$a={\frac {i+i(1+i)^{n}-i}{(1+i)^{n}-1}}={\frac {i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}$

$a={\frac {i(1+i)^{n}(1+i)^{-n}}{{\bigl (}(1+i)^{n}-1{\bigr )}(1+i)^{-n}}}={\frac {i}{1-(1+i)^{-n}}}$

La deuxième formule des remboursements

Il existe une autre formule concernant les remboursements successifs :

$R_{1}=E{\bigl (}a-i{\bigr )}={\frac {A}{(1+i)^{n}}}$

$R_{2}=E{\bigl (}a-i{\bigr )}{\bigl (}1+i{\bigr )}={\frac {A}{{\bigl (}1+i{\bigr )}^{n-1}}}$

...

$R_{n}=E{\bigl (}a-i{\bigr )}{\bigl (}1+i{\bigr )}^{n-1}={\frac {A}{1+i}}$

Pour démontrer cette deuxième formule des remboursements on part de la dernière année où le remboursement R_n est égal à ce qui reste à rembourser donc on a :

$A=R_{n}+R_{n}\times i=R_{n}{\bigl (}1+i{\bigr )}$

et donc $R_{n}={\frac {A}{1+i}}$

On vérifie aussi qu'en remplaçant a par la formule du taux d'annuité constante on obtient bien le même résultat pour le remboursement de la première année :

$R_{1}={\frac {E\times i}{(1+i)^{n}-1}}$

Avec la deuxième formule des remboursements nous pouvons de la même manière que précédemment calculer la somme d'une suite géométrique de premier terme A/(1+i) et de raison (1+i)^-1  :

$E=\sum _{k=1}^{n}{\frac {A}{(1+i)^{n+1-k}}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {A}{(1+i)^{k}}}={\frac {A}{1+i}}\times {\frac {1-(1+i)^{-n}}{1-(1+i)^{-1}}}=A\times {\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}$

et donc $A=E\times {\frac {i}{1-(1+i)^{-n}}}$

Les annuités de placement

Calcul du capital à l'échéance

A l'inverse des annuités constantes d'amortissement d'emprunt il existe les annuités de placement pour les épargnants par exemple qui versent à intervalle régulier une même somme d'argent pour constituer à l'échéance un capital plus important avec des intérêts composés.

Là aussi on obtient une suite géométrique. Si A est le montant de l'annuité, la valeur acquise du dernier ou n-ième versement sera de A (1+i). Celle de l'avant-dernier sera de A (1+i)². Et ainsi de suite jusqu'au premier qui aura une valeur de A (1+i)ⁿ. Le capital à l'échéance sera donc la somme de tous ces termes et la formule des suites géométriques donne la réponse, A(1+i) étant le premier terme et 1+i la raison :

$C=A(1+i)\times {\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}$

Rappel sur le calcul des intérêts

Si C_o est le capital initial, i le taux d'intérêt, n le nombre d'années, I le montant à échéance des intérêts et C_n le montant du capital à l'échéance, le calcul d'un intérêt simple au bout des n années s'exprime par la formule :

$I={C_{0}}\times {i}\times {n}$

exemple : $C_{0}$ = 30 000, $i$ = 1 %, $n$ = 10

Alors : $I$ = 30 000 x 0,01 x 10 = 3 000

Le calcul de la valeur acquise s'exprime par la formule :$C_{n}=C_{0}+(C_{0}\times i\times n)=C_{0}(1+i\times n)$

$C_{n}$ = 30 000 (1 + 0,01 x 10) = 33 000

Pour un intérêt composé l'intérêt vient se greffer au capital majoré des intérêts passés :

$C_{n}={C_{0}}\times {(1+i)}\times {(1+i)}\times {(1+i)}\times {(1+i)}\times ...\times {(1+i)}$ (n fois)

ou encore :

$C_{n}={C_{0}}\times {(1+i)}^{n}$

Avec les mêmes données que l'exemple précédent on obtient :

$C_{n}$= 30 000 x 1,01¹⁰ = 33 138,66

Voir aussi

• Amortissement (finance)
• Emprunt (finance)
• Plan de remboursement
• Intérêt (finance)