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L'annuité constante est le remboursement périodique d'un emprunt avec les intérêts par un montant constant, qui est calculé en fonction du taux d'intérêt et de la durée de l'emprunt selon une formule mathématique. Une annuité constante peut désigner aussi à l'inverse un versement à intervalle régulier d'une même somme pour un placement échelonné.

L'annuité constante d'un emprunt

La formule du taux d'annuité constante

$E$ étant la valeur du capital emprunté ou emprunt,
$i$ le taux d'intérêt sur la période,
n le nombre de périodes pour le remboursement

La valeur de l'annuité constante versée par l'emprunteur est : $E\times a$

Le taux d'annuité constante est : $a={\frac {i}{1-(1+i)^{-n}}}$

Exemple d'un échéancier

Pour un prêt à remboursement par annuité constante de 160 000 sur 5 ans à un taux de 1.2 % (E=160 000, n=5, i=1.2%), l'amortissement étant la partie du prêt remboursée chaque année (annuité = amortissement + intérêt) :

	1^re année	2^e année	3^e année	4^e année	5^e année	total
annuités constantes A = E × a	33161,16	33161,16	33161,16	33161,16	33161,16	165805,80
amortissements R = A - I	31241,16	31616,05	31995,45	32379,39	32767,95	160000
intérêts I = emprunt restant dû × i	1920	1545,11	1165,71	781,77	393,21	5805,80

Comparaison avec un prêt à remboursement par amortissement constant de 160 000 sur 5 ans à un taux de 1.2 % :

	1^re année	2^e année	3^e année	4^e année	5^e année	total
annuités A = R + I	33920	33536	33152	32768	32384	165760
amortissements constants R = E/n	32000	32000	32000	32000	32000	160000
intérêts I = emprunt restant dû × i	1920	1536	1152	768	384	5760

Démonstration de la formule

À la fin de chaque période l'emprunteur doit verser une même somme appelée l'annuité constante égale à E x a. Cette somme est composée d'une part des intérêts et d'autre part du remboursement du capital. Les intérêts vont en s'amenuisant chaque année puisqu'ils sont calculés sur ce qui reste à rembourser multiplié par i. Donc les remboursements de l'emprunt vont à l'inverse en augmentant d'un facteur 1+i à chaque période.

En effet, soit E_p l'emprunt restant dû au début de l'année p+1 alors les intérêts à la fin de cette période sont de E_p i et le remboursement R_p+1 est de : A - E_p i. Au début de l'année p+2 l'emprunt restant dû est de E_p - (A - E_p i) alors les intérêts en fin de période sont de E_p i - (A - E_p i) i et le remboursement R_p+2 est de : A - E_p i + (A - E_p i) i = (A - E_p i)(1+i) = R_p+1(1+i). La première année on a : R₁ = A - Ei = E(a - i) donc $R_{n}=E(a-i)(1+i)^{n-1}$

Ainsi on voit apparaître une suite géométrique dont les termes sont les remboursements successifs d'emprunt. Et la somme de tous ces remboursements R₁ + R₂ + ... + R_n est égale à E le montant de l'emprunt. Après il suffit de retrouver la formule de la somme d'une suite géométrique de raison égale à 1+i et de premier terme égal à E(a-i) pour résoudre l'équation^[1] :

$E=E(a-i)+E(a-i)(1+i)+{\cdots +E(a-i)(1+i)^{n-1}}$

En multipliant tous les termes par 1+i on a :

$E(1+i)=E(a-i)(1+i)+{\cdots }+E(a-i)(1+i)^{n-1}+E(a-i)(1+i)^{n}$

En soustrayant ces deux sommes tous les termes s'annulent sauf le premier et le dernier :

$E(1+i-1)=E(a-i)(1+i)^{n}-E(a-i)$

$E=E(a-i)\times {\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}\Rightarrow a-i={\frac {i}{(1+i)^{n}-1}}$

$a={\frac {i+i(1+i)^{n}-i}{(1+i)^{n}-1}}={\frac {i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}={\frac {i(1+i)^{n}(1+i)^{-n}}{{\bigl (}(1+i)^{n}-1{\bigr )}(1+i)^{-n}}}={\frac {i}{1-(1+i)^{-n}}}$

La deuxième formule des remboursements

Il existe une autre formule concernant les remboursements successifs^[2] :

$R_{1}=E{\bigl (}a-i{\bigr )}={\frac {A}{(1+i)^{n}}}{\text{ et }}R_{n}=E{\bigl (}a-i{\bigr )}{\bigl (}1+i{\bigr )}^{n-1}={\frac {A}{1+i}}$

Pour démontrer cette deuxième formule des remboursements on part à l'inverse de la dernière année où le remboursement R_n est égal à ce qui reste à rembourser donc on a :

$A=R_{n}+R_{n}\times i=R_{n}{\bigl (}1+i{\bigr )}\Leftrightarrow R_{n}={\frac {A}{1+i}}\Rightarrow R_{1}={\frac {A}{(1+i)^{n}}}$

Avec cette deuxième formule des remboursements nous pouvons de la même manière que précédemment calculer la somme d'une suite géométrique de premier terme A(1+i)^-n et de raison 1+i :

$E=A(1+i)^{-n}\times {\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}=A\times {\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}\Rightarrow A=E\times {\frac {i}{1-(1+i)^{-n}}}$

Les annuités de placement

Calcul du capital à l'échéance

A l'inverse des annuités constantes d'amortissement d'emprunt il existe les annuités de placement pour les épargnants par exemple qui versent à intervalle régulier une même somme d'argent pour constituer à l'échéance un capital plus important avec des intérêts composés.

Là aussi on obtient une suite géométrique. Si A est le montant de l'annuité, la valeur acquise du dernier ou n-ième versement sera de A (1+i). Celle de l'avant-dernier sera de A (1+i)². Et ainsi de suite jusqu'au premier qui aura une valeur de A (1+i)ⁿ. Le capital à l'échéance sera donc la somme de tous ces termes et la formule des suites géométriques donne la réponse, A(1+i) étant le premier terme et 1+i la raison^[3] :

$C_{n}=A(1+i)\times {\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}$

C₀ soit la valeur initiale ou la valeur actuelle correspond à la somme dont on doit disposer au départ pour être sûr de pouvoir faire ces n versements d'annuités de début de période^[4] :

$C_{0}=A(1+i)\times {\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}\Rightarrow C_{n}=C_{0}\times (1+i)^{n}$ ^[5]

Rappel sur le calcul des intérêts

Si C_o est le capital initial, i le taux d'intérêt, n le nombre d'années, I le montant à échéance des intérêts et C_n le montant du capital à l'échéance, le calcul d'un intérêt simple au bout des n années s'exprime par la formule :

$I={C_{0}}\times {i}\times {n}$ exemple : $C_{0}$ = 30 000, $i$ = 1 %, $n$ = 10 alors : $I$ = 30 000 x 0,01 x 10 = 3 000

Le calcul de la valeur acquise est : $C_{n}=C_{0}(1+i\times n)$ = 30 000 (1 + 0,01 x 10) = 33 000

Pour un intérêt composé l'intérêt vient se greffer au capital majoré des intérêts passés :

$C_{n}={C_{0}}\times {(1+i)}\times ...\times {(1+i)}$ (n fois) ou : $C_{n}={C_{0}}\times {(1+i)}^{n}$ = 30 000 x 1,01¹⁰ ≈ 33 139

Références

↑ « Vidéo sur la démonstration de la formule de la valeur actuelle (soit l'emprunt) d'une suite d'annuités constantes »
↑ Aymric Kamega, « Introduction aux mathématiques financières », sur Euria (Euro-institut d'actuariat), octobre 2014, p. 13-17
↑ « Vidéo sur la démonstration de la formule de la valeur acquise (ou future) d'un placement par annuités constantes »
↑ On remarque qu'elle est équivalente à la valeur d'un emprunt avec les mêmes annuités sauf qu'il ne faut pas oublier de multiplier cette valeur par 1+i puisque les annuités de placement sont toujours versées en début de période contrairement aux annuités d'emprunt qui sont versées en fin de période. Il est commode de représenter les remboursements successifs d'emprunt sur un schéma dans le sens inverse de l'enregistrement comptable pour pouvoir mieux visualiser cette actualisation des annuités. C'est ce qui est fait le plus souvent pour illustrer les annuités constantes aussi bien de fin de période que de début de période.
↑ « Vidéos sur les annuités constantes »

Voir aussi

[1] « Vidéo sur la démonstration de la formule de la valeur actuelle (soit l'emprunt) d'une suite d'annuités constantes »

[2] Aymric Kamega, « Introduction aux mathématiques financières », sur Euria (Euro-institut d'actuariat), octobre 2014, p. 13-17

[3] « Vidéo sur la démonstration de la formule de la valeur acquise (ou future) d'un placement par annuités constantes »

[4] On remarque qu'elle est équivalente à la valeur d'un emprunt avec les mêmes annuités sauf qu'il ne faut pas oublier de multiplier cette valeur par 1+i puisque les annuités de placement sont toujours versées en début de période contrairement aux annuités d'emprunt qui sont versées en fin de période. Il est commode de représenter les remboursements successifs d'emprunt sur un schéma dans le sens inverse de l'enregistrement comptable pour pouvoir mieux visualiser cette actualisation des annuités. C'est ce qui est fait le plus souvent pour illustrer les annuités constantes aussi bien de fin de période que de début de période.

[5] « Vidéos sur les annuités constantes »

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