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En physique statistique, l'ansatz de Bethe est une technique de résolution par ansatz introduite par Hans Bethe. Cet ansatz a été Le mot ansatz vient de l'allemand et signifie approche, essai.
Historique
modifierL'ansatz de Bethe a été introduit par Hans Bethe en 1931[1] dans le but de résoudre le modèle d'Heisenberg en une dimension qui est un modèle-jouet modélisant un métal composé d'atomes possédant chacun un électron libre. Les électrons interagissent entre-eux entre plus proches voisins Ce modèle trouver les vecteurs propres et .
Formulation
modifierLa formulation la plus simple de l'ansatz de Bethe, qui fut sa première utilisation consiste a été l'étude de l'Hamiltonien d'Heisenberg. Celui-ci est un modèle quantique modélise des spins situé sur une chaine dont l'interaction se fait entre plus proches voisins. Il est donné par
où , et sont les matrices de Pauli. Cet Hamiltonien peut être réécrit à l'aide des matrices et
Le but est de trouver les états propres de , notés vérifiant
Hamiltonien diagonalisable par blocs de magnétisation constante.
On appelle magnétisation totale la somme de spins up moins le nombre de spins down.
État de magnétisation N
modifierL'état de magnétisation le plus élevé est l'état composé de spins up sur chaque site : . L'énergie de cet état se calcule en lui appliquant l'hamiltonien : .
État de magnétisation N-2
modifierL'état de magnétisation N-2 est une superposition linéaire de tous les états possédant un spin down : . En appliquant cet état sur l'hamiltonien, on trouve que l'état est état propre si les vérifient
État de magnétisation N-4
modifierL'état de magnétisation N-4 est une superposition linéaire de tous les états possédant un spin down : .
Utilisation et généralisations
modifier- Ansatz de Bethe « en coordonnés »
- Ansatz de Bethe algébrique
- Ansatz de Bethe « imbriqué » (« nested Bethe ansatz »)
- Ansatz de Bethe thermodynamique
- Ansatz de Bethe périmetrique
Ansatz de Bethe « en coordonnés »
- (de) H. Bethe, « Zur Theorie der Metalle », Zeitschrift für Physik, vol. 71, , p. 205–226 (ISSN 0044-3328, DOI 10.1007/BF01341708, lire en ligne, consulté le )