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von Neumann

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En 1922, Abraham Fraenkel affirme que la théorie de Zermelo présente des lacunes[1], qu'elle ne permet pas de définir certains ensembles dont l'existence serait naturelle. Il propose un nouvel axiome, l'axiome de remplacement (Ersetzungsaxiom) dont l'esprit est le suivant : si une correspondance F est bien définie sur le domaine 𝔅 et associe à chaque objet du domaine un autre objet uniquement déterminé, alors pour tout ensemble a il existe un nouvel ensemble b dont les éléments d sont précisément les images d = F(c) des éléments c de a par la correspondance F. La même année, Thoralf Skolem en vient à des conclusions analogues[2] ; de plus, Skolem précise clairement dans son article[3] la notion de proposition bien définie restée encore vague chez Zermelo (celle qui intervient dans son axiome III de compréhension).

Dès 1923[4], von Neumann propose une nouvelle conception pour les ordinaux de Cantor, que ce dernier avait définis à partir de l'abstraction du type d'ordre des ensembles bien ordonnés. Von Neumann envisage les ordinaux comme des ensembles spécifiques introduits grâce aux axiomes de la théorie des ensembles. Il commence avec l'ensemble vide 0, puis le singleton {0} pour l'ordinal 1, suivi de la paire {0, {0}} pour 2 ; après chaque ordinal n (qui est un ensemble) vient son successeur, défini comme étant la réunion n ∪ {n}. Sans aller plus loin dans la description, on peut ajouter que l'ordinal ω est l'ensemble qui contient tous les ordinaux finis, c'est le premier ordinal infini, qui est suivi de ω+1 = ω ∪ {ω}, etc… Von Neumann développe par la suite, en utilisant l'axiome de remplacement, la puissante méthode de définition d'ensembles par induction ordinale, méthode qui tient toujours une bonne place dans les livres actuels[5] de théorie des ensembles.

Modifications

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Le texte de Zermelo en 1908 ne propose pas d'ensemble, objet du domaine 𝔅, qui traduise la notion de paire ordonnée (a, b). La paire ordonnée (ou couple) permet de représenter une fonction f par l'intermédiaire de son graphe, formé des paires ordonnées de la forme (a, f(a)). La paire ordonnée apparaît en tant qu'ensemble chez Hausdorff en 1914[6], ce qui permet d'englober la notion de fonction dans celle d'ensemble.

En 1930, Zermelo propose un nouveau système d'axiomes qu'il désigne par ZF, en référence à lui-même et Fraenkel[7]. Ce système contient l'axiome de remplacement et l'axiome de fondation. Cependant, Zermelo ne se restreint pas au cadre de la logique du premier ordre, contrairement à Skolem [8]. Comme en 1908, Zermelo permet l'existence d'Urelements qui ne sont pas des ensembles et ne contiennent pas d'éléments ; ces objets sont maintenant habituellement omis des théories des ensembles[9].

(en) Akihiro Kanamori, « Zermelo and Set Theory », The Bulletin of Symbolic Logic, vol. 10,‎ , p. 487-553

«  » ensembles élémentaires »

Le système d'axiomes GB[10] (ou BG[11]), pour Gödel et Bernays, apparu avant 1940[12], est une extension de ZF. Le langage de GB comporte des variables d'ensemble et des variables de classe (on peut penser que les variables de classe représentent certaines familles d'ensembles[13]) ; cependant, les énoncés qui ne concernent que les ensembles et qui peuvent être démontrés dans GB peuvent aussi être démontrés dans ZF[14].

En 1966, le livre de Paul Cohen consacré à la preuve de l'indépendance de l'hypothèse du continu[15] présente la théorie ZF comme on le fait aujourd'hui.

Axiomes de Zermelo

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La version moderne de la théorie Z des ensembles de Zermelo comprend les axiomes suivants [16]:

  • Axiome d'extensionnalité
  • Axiome de la paire
  • Axiome de la réunion
  • Axiome de l'ensemble des parties
  • Axiome de compréhension (ou de séparation)
  • Axiome de l'infini

L'axiome du choix n'en fait pas partie. Cependant, comme il est très difficile de faire des mathématiques sans une forme minimale de choix, on ajoute souvent une forme dénombrable de choix, l'axiome du choix dépendant[17].

L'axiome de compréhension peut être énoncé comme en 1908, mais la formation de la « fonction propositionnelle » P(x) qu'il renferme est maintenant ainsi précisée : l'énoncé de P est constitué à partir de variables x, y,…, à partir des énoncés « atomiques » x ∈ y et x = y, des connecteurs logiques « ou », « non » et des quantificateurs ∃ et ∀ ; si un domaine 𝔅 (on dit plutôt aujourd'hui un univers) est un modèle pour le système d'axiomes, les variables x, y,… de l'énoncé ne seront remplacées dans l'application des axiomes que par des éléments a, b,… du domaine (à l'exclusion de parties du domaine). La présence de la « propriété » P(x), qui peut prendre une infinité de formes, fait que l'axiome de compréhension n'est pas à proprement parler un unique axiome, mais un schéma d'axiomes.

«  »

Bibliographie

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  • (en) Jean van Heijenoort, From Frege to Gödel. A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Cambridge, Mass., Harvard Univ. Press, coll. « Source Books in the History of the Sciences », (ISBN 978-0-674-32449-7)
  • Paul J. Cohen, Set Theory and the Continuum Hypothesis, Benjamin,
  • René Cori et Daniel Lascar, Logique mathématique, t. II : Fonctions récursives, théorème de Gödel, théorie des ensembles, théorie des modèles, Paris, Dunod,
  • Jean-Louis Krivine, Théorie des ensembles, Paris, Cassini,
  • Akihiro Kanamori (A. D. Irvine, éd.), Set theory from Cantor to Cohen, Cambridge, Cambridge University Press, coll. « Handbook of the Philosophy of Science / Philosophy of mathematics » (no 4), , p. 395--459
  • (en) Yiannis Moschovakis, Notes on Set Theory, Springer, , 2e éd. (1re éd. 1993) (ISBN 978-0-387-28723-2, lire en ligne)
  • (de) Ernst Zermelo, « Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I », Mathematische Annalen, vol. 65, no 2,‎ , p. 261–281 (DOI 10.1007/bf01449999, lire en ligne)
  1. ↑ (de) Abraham Fraenkel, « Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre », Mathematische Annalen, vol. 86,‎ , p. 230-237.
  2. ↑ van Heijenoort 1967, p. 290–301, notamment le point 4 p. 296 et 297.
  3. ↑ van Heijenoort 1967, p. 292–293, point 2 de l'article.
  4. ↑ (de) John von Neumann, « Zur Einführung der transfiniten Zahlen », Acta Litterarum ac Scientiarum Regiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, sectio scientiarum mathematicarum, vol. 1,‎ réimprimé en 1961, pages 24–33 de John von Neumann, John von Neumann, Collected Works, vol. 1, New York, Pergamon Press, . Jean van Heijenoort 1967, p. 346–354 commence par une analyse de l'article de von Neumann, avant d'en proposer une traduction en anglais.
  5. ↑ par exemple Krivine 1998, chap. 2 p. 24, Définitions par induction sur les ordinaux.
  6. ↑ Kanamori 2009, sec. 2.4, Hausdorff and Functions ; Felix Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig, de Gruyter, , réimpression chez Chelsea, New York, 1965.
  7. ↑ (de) Ernst Zermelo, « Über Grenzzahlen und Mengenbereiche, Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre », Fundamenta Math., vol. 16,‎ , p. 29-47
  8. ↑ Voir Kanamori 2009, sec. 3.2, Well-Foundedness and the Cumulative Hierarchy, ainsi que la longue analyse de l'article de Zermelo dans (en) Akihiro Kanamori, « Zermelo and Set Theory », The Bulletin of Symbolic Logic, vol. 10,‎ , p. 487-553, §6. p. 519.
  9. ↑ Cependant, Moschovakis 2006 se dit prêt à les admettre.
  10. ↑ voir par exemple Cohen 1966, chap. II, sec. 6 ; voir aussi l'article sur le système NBG.
  11. ↑ Kanamori 2009, sec. 3.6.
  12. ↑ il est utilisé dans Kurt Gödel, The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory, Princeton University Press, coll. « Annals of Mathematics Studies » (no 3), .
  13. ↑ telles que par exemple, l'univers entier (c'est le domaine de Zermelo 1908), ou bien la collection de toutes les paires ordonnées (x, y) telles que x ∈ y.
  14. ↑ Cohen 1966, p. 77.
  15. ↑ Cohen 1966.
  16. ↑ Cori et Lascar 2003, p. 114 ; Moschovakis 2006, chap. 3, p. 24, présente les mêmes six axiomes mais dans un autre ordre.
  17. ↑ Moschovakis 2006, p. 114, section 8.13.
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