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L'offre de travail est, selon l'école néoclassique, déterminée par l'arbitrage travail-loisir. On suppose donc plusieurs hypothèses fondamentales :

1. Le marché est un marché en concurrence pure et parfaite ;
2. Les individus (ménages) sont parfaitement rationnels ;
3. Les individus répartissent leur temps entre le travail et le loisir ;
4. Le revenu a pour unique finalité la consommation (l'épargne n'étant qu'un renoncement à la consommation présente pour profiter d'une consommation future apportant une plus grande utilité).

La répartition du temps et le revenu

Les hypothèses néoclassiques divisent le temps d'un individu entre le temps de travail (qu'on note $L$) et le temps de loisir (qu'on note $L_{e}$). Le temps de loisir est le temps qui n'est pas consacré au travail, celui-ci, en vertu d'un temps de loisir incompressible (temps de sommeil, manger...) ne peut pas être nul, donc on a $L_{e}\in \mathbb {R} _{+}^{*}$. Le temps total, noté $H$ est donc la somme du temps consacré au travail et le temps consacré au loisir.

$H=L+L_{e}\;(1)$

On suppose que le revenu $I$ (pour income) d'un ménage est égal au taux de salaire nominal $w$ que multiplie le temps de travail $L$ auquel on ajoute les revenus non salariaux (allocation famille...) $m$, qui peuvent être nuls ou proche de $0$. Donc on a :

$I=w.L+m\;(2)$

Or, le revenu est intégralement dédié à la consommation de bien en quantité $X$ que multiplie les prix $P$ :

$P.X=x_{1}.P_{1}+x_{2}.P_{2}...+x_{n}.P_{n}=\textstyle \sum _{k=1}^{n}\displaystyle x_{k}.P_{k}\;(3)$

Par utilisation de l'hypothèse de la dépense totale du revenu en consommation : $(2)=(3)$

donc $w.L+m=P.X$

soit $w.(H-L_{e})+m=P.X$ car $H=L+L_{e}\Leftrightarrow L=H-L_{e}$

donc $w.H-w.L_{e}+m=P.X$

ce qui donne $w.H+m=P.X+w.L_{e}\;(4)$

Le premier membre (partie gauche de l'équation) représente le revenu maximal possible (s'il alloue tout le temps possible au travail et qu'il perçoit un revenu non salarial). Le second membre (partie droite de l'équation) représente les pertes de revenus générées par la consommation et le temps de loisir.

On appelle l'équation $(4)$ la contrainte d'allocation du temps.

Maximisation de l'utilité et contrainte d'allocation du temps

Soit $U(X,L_{e})$ une fonction d'utilité classique qui associe à un paramètre de consommation et un paramètre de temps de loisir une mesure de l'utilité (en termes ordinaux). Cette fonction détermine le poids accordé à la consommation et au loisir. Elle s'apparente aux fonctions d'utilité classiques (mêmes propriétés, mêmes relations, mêmes axiomes). Comme toujours, l'agent économique cherche à maximiser l'utilité sous contrainte, ici c'est l'utilité générée par la consommation et le loisir sous la contrainte d'allocation du temps. Ce qui donne le programme d'optimisation suivant :

${\begin{cases}\max U(X;L_{e})\\s.c.:w.H+m=P.X+w.L_{e}\end{cases}}$

La résolution d'un tel programme est réalisée par un lagrangien :

${\mathcal {L}}(X;L_{e};\lambda )=U(X;L_{e})+\lambda .(w.H+m-P.X-w.L_{e})\;(5)$

Pour que la fonction admette un extremum, il faut que les dérivées partielles par rapport à $X,L_{e}$ et $\lambda$ soient nulles. Et pour que cet extremum soit un maximum, les dérivées secondes doivent être négatives. Donc :

${\frac {\partial {\mathcal {L}}(X;L_{e};\lambda )}{\partial X}}=0\Leftrightarrow U'_{X}(X;L_{e})-\lambda .P=0$

${\frac {\partial {\mathcal {L}}(X;L_{e};\lambda )}{\partial L_{e}}}=0\Leftrightarrow U'_{L_{e}}(X;L_{e})-\lambda .w=0$

${\frac {\partial {\mathcal {L}}(X;L_{e};\lambda )}{\partial \lambda }}=0\Leftrightarrow w.H+m-P.X-w.L_{e}=0$

Ce qui donne le système suivant :

${\begin{cases}U'_{X}(X;L_{e})-\lambda .P=0\\U'_{L_{e}}(X;L_{e})-\lambda .w=0\\w.H+m-P.X-w.L_{e}=0\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}U'_{X}(X;L_{e})=\lambda .P\\U'_{L_{e}}(X;L_{e})=\lambda .w\\w.H+m-P.X-w.L_{e}=0\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}{\frac {U'_{X}(X;L_{e})}{P}}=\lambda \\U'_{L_{e}}(X;L_{e})=\lambda .w\\w.H+m-P.X-w.L_{e}=0\end{cases}}$

En injectant l'expression de lambda de la ligne 1 dans l'équation de la ligne 2 on a :

${\begin{cases}{\frac {U'_{X}(X;L_{e})}{P}}=\lambda \\U'_{L_{e}}(X;L_{e})={\frac {U'_{X}(X;L_{e}).w}{P}}\\w.H+m-P.X-w.L_{e}=0\end{cases}}$

Soit :

${\begin{cases}{\frac {U'_{X}(X;L_{e})}{P}}=\lambda \\{\frac {U'_{L_{e}}(X;L_{e})}{U_{X}'(X;L_{e})}}={\frac {w}{P}}\\w.H+m-P.X-w.L_{e}=0\end{cases}}$

La ligne 2 indique ainsi que la maximisation de l'utilité sous contrainte du temps se situe au point ou le rapport des utilités marginales s'égalise au taux de salaire réel. Or le rapport des utilités marginales est le taux marginal de substitution. Donc on en déduit que le point de tangence permettant de résoudre le programme d'optimisation est :

$|TMS_{X;L_{e}}|=|{\frac {w}{P}}|$

Fonction de l'offre de travail

On trouve ainsi une combinaison $(X^{*};L_{e}^{*})$ qui permet de maximiser l'utilité sous la contrainte d'allocation du temps. On peut dès lors exprimer le temps de loisir comme une fonction du salaire réel :

${\textstyle X^{*}+{\frac {w}{P}}.L_{e}^{*}={\frac {w}{P}}.H+{\frac {m}{P}}\Leftrightarrow {\frac {w}{P}}.L_{e}^{*}={\frac {w}{P}}.H+{\frac {m}{P}}-X^{*}\Leftrightarrow L_{e}^{*}={\frac {{\frac {w}{P}}.H+{\frac {m}{P}}-X^{*}}{\frac {w}{P}}}\Leftrightarrow L_{e}^{*}=H+{\frac {{\frac {m}{P}}-X^{*}}{\frac {w}{P}}}\Leftrightarrow L_{e}^{*}=f({\frac {w}{P}})\;(6)}$

Avec $f({\frac {w}{P}})$ une fonction décroissante.

En injectant $(6)$ dans $(1)$ :

$H-L_{e}^{*}=L^{*}\Leftrightarrow H-f({\frac {w}{P}})=L^{*}\Leftrightarrow L^{*}=g({\frac {w}{P}})$

Par soustraction de fonction décroissante, $g({\frac {w}{P}})$ est croissante.

Sources

• W-S. Jevons, Théorie d'économie politique, 1870
• C. Menger, Principes d'économie politique, 1871
• L. Walras, Eléments d'économie politique pure, 1874
• A. Marshall, Principes d'économie politique, 1890
• G. Debreu, The theory of value : an axiomatic analysis of economic equilibrium, 1959
• J-S. Lagrange, Mécanique analytique, 1788
• Campus FOAD Mali MESRS, "Microéconomie : Madou Cisse - Arbitrage travail loisir : La fonction d'offre de travail", 2018
• N. Bourbaki, Eléments de mathématiques, depuis 1939