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Méthodes d'identification (sens inverse) modifier

A partir :

d'observations collectées dans un échantillon,
d'un ou de types de lois de distribution candidates imposées par l'expérimentateur, la charge lui étant laissée de s'assurer du réalisme desdites lois pour représenter le phénomène qu'il observe,

ces méthodes ont pour but de déterminer :

si la grandeur observée provient d'une distribution unique ou d'un mélange de distributions,
de quantifier le caractère significatif de l'hypothèse de mélange par rapport à l'absence de mélange,
de déterminer les paramètres des lois impliquées ainsi que les proportions du mélange.

Le cadre est restreint aux analyses univariées.

Méthode Kernel Mean Matching (KMM) modifier

Estimation simultanée des deux paramètres modifier

Cette section décrit l'estimation des deux bornes $(a;b)$ de la distribution uniforme continue ${\mathcal {U}}\,(a,b)$ , au vu d'un échantillon de n individus.

Soient ${\hat {a}}$ et ${\hat {b}}$ les estimateurs respectifs des bornes inférieure $(a)$ et supérieure $(b)$ de la distribution mère, construits sur la base de l'échantillon contenant les $n$ modalités de la variable aléatoire $X$ issues de la distribution $U\,(a,b)$ .

La méthode du maximum de vraisemblance aboutit à la sélection des minimum et maximum empiriques :

{\begin{cases}{\hat {a}}&=&\min \,(x_{i})_{i=1,n}\\{\hat {b}}&=&\max \,(x_{i})_{i=1,n}\end{cases}}

Démonstration

Soit $L(a,b)$ la vraisemblance d'un n-échantillon $\{x_{i}\}_{i=1,n}$ tiré suivant une loi uniforme $U(a,b)$ dont les deux paramètres doivent être estimés :

L(a,b)=\prod _{i=1}^{n}f_{a,b}(x_{i})={\begin{cases}\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{b-a}}&=&{\frac {1}{(b-a)^{n}}}&{\text{si}}\,a\leq \min _{i}\{x_{i}\}\;{\text{et}}\;b\geq \max _{i}\{x_{i}\}\\0&&&{\text{dans tous les autres cas}}\end{cases}}

Maximiser la vraisemblance revient à minimiser $(b-a)$ sous les contraintes

{\begin{cases}a\leq \min _{i}\{x_{i}\}\\b\geq \max _{i}\{x_{i}\}\end{cases}}

Le couple d'estimateurs $({\hat {a}},{\hat {b}})$ qui réalise cette maximisation est :

{\begin{cases}{\hat {a}}&=&\min _{i}\{x_{i}\}\\{\hat {b}}&=&\max _{i}\{x_{i}\}\end{cases}}

Ce couple d'estimateurs est biaisé : la probabilité qu'un n-échantillon capture le minimum $(a)$ ou le maximum $(b)$ permis par la distribution mère étant quasi-nulle, la moyenne d'un grand nombre d'observations sur de tels n-échantillons ne converge pas sur les bornes de ladite distribution mère :

{\begin{cases}\mathbb {E} ({\hat {a}})&\geq &a\\\mathbb {E} ({\hat {b}})&\leq &b\end{cases}}

La démonstration est produite plus bas.

Loi de distribution régissant ces estimateurs biaisés modifier

Les densités de probabilité sont notées en minuscules (par ex. $f$ ), les fonctions de répartition sont notées en majuscules (par ex. $F$ ).

Densité de probabilité associée au couple d'estimateurs biaisés modifier

$d^{2}\mathbb {P} \,\left(x\leq {\hat {a}}\leq x+dx\,;\,y\leq {\hat {b}}\leq y+dy\right)=\underbrace {{\frac {n\,\left(n-1\right)}{\left(b-a\right)^{n}}}\,\left(y-x\right)^{n-2}} _{f_{{\hat {a}},{\hat {b}}}(x,y)}\,dx\,dy$

Démonstration

Pour que ${\hat {a}}$ soit compris entre $x$ et $x+dx$ et que ${\hat {b}}$ soit compris entre $y$ et $y+dy$ , il faut :

que le minimum des $x_{i}$ soit compris entre $x$ et $x+dx$ : $d\mathbb {P} ={\frac {dx}{b-a}}$
et que le maximum des $x_{i}$ soit compris entre $y$ et $y+dy$ : $d\mathbb {P} ={\frac {dy}{b-a}}$
et que les $(n-2)$ autres $x_{i}$ soient compris entre $x$ et $y$ : $\mathbb {P} =\left({\frac {y-a}{b-a}}-{\frac {x-a}{b-a}}\right)^{n-2}=\left({\frac {y-x}{b-a}}\right)^{n-2}$

Comme n'importe quelle paire choisie parmi les $x_{i}$ peut constituer le couple (min, max) de l'échantillon, il y a $A_{n}^{2}={\frac {n!}{\left(n-2\right)!}}=n\,\left(n-1\right)$ arrangements possibles, d'où la probabilité énoncée.

La notion d'arrangement (plutôt que de combinaisons) découle du fait qu'être min ou max de l'échantillon ne constitue pas le même évènement, ce qui introduit une notion d'ordre.

Lois marginales régissant les minimum et maximum empiriques modifier

Concernant l'estimateur de la borne inférieure $({\hat {a}})$ :

\forall x\in [a,b]\;{\begin{cases}d\mathbb {P} \,(x\leq {\hat {a}}\leq x+dx)&=&f_{\hat {a}}(x)\,dx&=&{\frac {n}{b-a}}\,{\Bigl (}{\frac {b-x}{b-a}}{\Bigr )}^{n-1}\,dx\\\mathbb {P} \,({\hat {a}}\leq x)&=&F_{\hat {a}}(x)&=&1-{\Bigl (}{\frac {b-x}{b-a}}{\Bigr )}^{n}\end{cases}}

Démonstration

Pour que ${\hat {a}}$ soit compris entre $x$ et $x+dx$ , il faut que :

que le minimum des $x_{i}$ soit compris entre $x$ et $x+dx$ : $d\mathbb {P} ={\frac {dx}{b-a}}$
et que tous les autres $x_{i}$ soient supérieurs ou égaux à $x$ : $\mathbb {P} =\left({\frac {b-x}{b-a}}\right)^{n-1}$

Comme n'importe quel des $x_{i}$ peut être le minimum, il y a $n$ possibilités, d'où :

d\mathbb {P} \,(x\leq {\hat {a}}\leq x+dx)=f_{\hat {a}}(x)\,dx={\frac {n}{b-a}}\,\left({\frac {b-x}{b-a}}\right)^{n-1}\,dx

On obtient la fonction de répartition par intégration :

F({\hat {a}})=\int _{a}^{x}f_{\hat {a}}(t)\,\mathrm {d} t=\left({\frac {b-t}{b-a}}\right)_{x}^{a}=1-\left({\frac {b-x}{b-a}}\right)^{n}

Remarque :

une intégration partielle de la densité de probabilité

f_{{\hat {a}},{\hat {b}}}\left(x,y\right)

définie au paragraphe précédent aboutit aux mêmes résultats :

sur le domaine ${\hat {b}}\in \left[{\hat {a}},b\right]$ pour établir la densité marginale du minimum empirique
ou sur le domaine ${\hat {a}}\in \left[a,{\hat {b}}\right]$ pour établir la densité marginale du maximum empirique

Par une démonstration similaire, on obtient pour l'estimateur de la borne supérieure $({\hat {b}})$ :

\forall x\in [a,b]\;{\begin{cases}\mathrm {d} \mathbb {P} \,(x\leq {\hat {b}}\leq x+dx)&=&f_{\hat {b}}(x)\,\mathrm {d} x&=&{\frac {n}{b-a}}\,\left({\frac {x-a}{b-a}}\right)^{n-1}\,\mathrm {d} x\\\mathbb {P} \,({\hat {b}}\leq x)&=&F_{\hat {b}}(x)&=&\left({\frac {x-a}{b-a}}\right)^{n}\end{cases}}

Convergence de ces estimateurs modifier

La définition de la convergence d'un estimateur est donnée dans le document référencé ^[1].

Concernant l'estimateur de la borne inférieure ( ${\hat {a}}_{n}$ sur un n-échantillon) : $\mathbb {P} \,(|{\hat {a}}_{n}-a|>\varepsilon )=\mathbb {P} \,({\hat {a}}_{n}>a+\varepsilon )$ car aucune valeur inférieure à a ne peut être observée. Donc :

\mathbb {P} \,(|{\hat {a}}_{n}-a|>\varepsilon )=\left({\frac {b-a-\varepsilon }{b-a}}\right)^{n}=\left(1-{\frac {\varepsilon }{b-a}}\right)^{n}{\xrightarrow[{n\rightarrow +\infty }]{}}\,0

Une démonstration similaire s'applique pour l'estimateur de la borne supérieure.

$({\hat {a}};{\hat {b}})$ forme donc un couple d'estimateurs convergents.

Biais de ces estimateurs modifier

Lorsque l'on multiplie les échantillons (de taille $n$ donnée), la moyenne des observations ne tend pas vers le couple de bornes $(a,b)$ de la distribution mère :

{\begin{cases}\mathbb {E} ({\hat {a}})&=&a+{\frac {b-a}{n+1}}\\\mathbb {E} ({\hat {b}})&=&b-{\frac {b-a}{n+1}}\end{cases}}

Ces deux estimateurs ne sont qu'asymptotiquement sans biais^[1], i.e. lorsque la taille $n$ de l'échantillon tend vers l'infini.

Démonstration

\mathbb {E} ({\hat {a}})=\int _{a}^{b}{\frac {n\,x}{b-a}}\,\left({\frac {b-x}{b-a}}\right)^{n-1}\,\mathrm {d} x={\frac {n}{(b-a)^{n}}}\,\int _{a}^{b}x\,(b-x)^{n-1}\,\mathrm {d} x

Une intégration par parties permet d'arriver au résultat énoncé.

Idem pour le calcul de l'espérance de ${\hat {b}}$ .

Recherche d'estimateurs sans biais modifier

Le couple d'estimateurs $({\hat {\hat {a}}}\,;\,{\hat {\hat {b}}})$ défini ci-dessous est sans biais^[2] :

{\begin{cases}{\hat {\hat {a}}}&=&{\hat {a}}-{\frac {{\hat {b}}-{\hat {a}}}{n-1}}&=&{\frac {n\,{\hat {a}}-{\hat {b}}}{n-1}}\\{\hat {\hat {b}}}&=&{\hat {b}}+{\frac {{\hat {b}}-{\hat {a}}}{n-1}}&=&{\frac {n\,{\hat {b}}-{\hat {a}}}{n-1}}\end{cases}}

Démonstration

On vérifie l'espérance de l'estimateur ${\hat {\hat {a}}}$ :

\mathbb {E} ({\hat {\hat {a}}})=\mathbb {E} ({\hat {a}})-{\frac {1}{n-1}}\left(\mathbb {E} ({\hat {b}})-\mathbb {E} ({\hat {a}})\right)=a+{\frac {b-a}{n+1}}-{\frac {b-a}{n-1}}\,{\frac {n-1}{n+1}}=a

L'espérance de l'erreur commise $({\hat {\hat {a}}}-a)$ est nulle, ce qui en fait un estimateur sans biais de $a$ .

La démonstration est identique avec l'autre estimateur ${\hat {\hat {b}}}$ .

Le calcul de ces estimateurs (avec ou sans biais) ne nécessite pas la connaissance des paramètres

(a;b)

de la distribution mère.

Les lois de distribution qui régissent le couple d'estimateurs sans biais sont plus complexes à déterminer. Le document ^[2] donne les lois suivantes :

Densité de probabilité associée au couple d'estimateurs sans biais modifier

d^{2}\mathbb {P} \,\left(x\leq {\hat {\hat {a}}}\leq x+dx\,;\,y\leq {\hat {\hat {b}}}\leq y+dy\right)=\underbrace {{\frac {n\,\left(n-1\right)^{n}}{\left(n+1\right)^{n-1}\,\left(b-a\right)^{n}}}\,\left(y-x\right)^{n-2}} _{f_{{\hat {\hat {a}}},{\hat {\hat {b}}}}(x,y)}\,dx\,dy

Lois marginales régissant chacun des deux estimateurs sans biais modifier

Sachant que la variable ${\hat {\hat {a}}}$ admet comme support l'intervalle $\left[{\frac {n\,a-b}{n-1}}\,;\,b\right]$ :

{\begin{cases}\forall x\leq a&d\mathbb {P} \,\left(x\leq {\hat {\hat {a}}}\leq x+dx\right)&=&{\frac {\left(n-1\right)^{n-1}}{n^{n-2}\,\left(b-a\right)^{n}}}\,\left[\left(b-x\right)^{n-1}-n^{n-1}\left(a-x\right)^{n-1}\right]\,dx\\\forall x\geq a&d\mathbb {P} \,\left(x\leq {\hat {\hat {a}}}\leq x+dx\right)&=&{\frac {\left(n-1\right)^{n-1}}{n^{n-2}\,\left(b-a\right)^{n}}}\,\left(b-x\right)^{n-1}\,dx\end{cases}}

Sachant que la variable ${\hat {\hat {b}}}$ admet comme support l'intervalle $\left[a\,;\,{\frac {n\,b-a}{n-1}}\right]$ :

{\begin{cases}\forall y\leq b&d\mathbb {P} \,\left(y\leq {\hat {\hat {b}}}\leq y+dy\right)&=&{\frac {\left(n-1\right)^{n-1}}{n^{n-2}\,\left(b-a\right)^{n}}}\,\left(y-a\right)^{n-1}\,dy\\\forall y\geq b&d\mathbb {P} \,\left(y\leq {\hat {\hat {b}}}\leq y+dy\right)&=&{\frac {\left(n-1\right)^{n-1}}{n^{n-2}\,\left(b-a\right)^{n}}}\,\left[\left(y-a\right)^{n-1}-n^{n-1}\left(y-b\right)^{n-1}\right]\,dy\end{cases}}

Intervalle de pari modifier

On considère ici :

une loi mère uniforme ${\mathcal {U}}\,(a,b)$ donnée et connue,
le couple d'estimateurs avec biais formé par le minimum $({\hat {a}})$ et le maximum $({\hat {b}})$ empiriques déterminés sur un n-échantillon.

Les estimateurs considérés sont ceux avec biais car :

leurs lois de distribution sont simples à manipuler ;
le document référencé ^[2] montre que construire des intervalles de pari à partir des estimateurs sans biais n'aboutit pas in fine à des intervalles plus réduits pour un niveau de confiance donné, et en explique la raison.

On cherche à connaître comment se répartissent les n-échantillons possibles formés à partir de la distribution mère ${\mathcal {U}}\,(a,b)$ , en plaçant dans le plan $\mathbb {R} ^{2}$ :

sur l'axe des abscisses, la borne inférieure $(a)$ de la distribution mère et les minima empiriques des échantillons ;
sur l'axe des ordonnées, la borne supérieure $(b)$ de la distribution mère et les maxima empiriques des échantillons.

On note :

{\begin{cases}m&=&{\text{valeur de}}\,{\hat {a}}&=&\min \,(x_{i})_{i=1,n}\\M&=&{\text{valeur de}}\,{\hat {b}}&=&\max \,(x_{i})_{i=1,n}\end{cases}}

La distribution mère ${\mathcal {U}}\,(a,b)$ et la construction des estimateurs imposent la hiérarchie suivante : $a\leq m\leq M\leq b$ . Les échantillons issus de cette loi mère sont tous situés à l'intérieur du triangle rectangle formé par la droite $x=a$ , la droite $y=b$ et la première bissectrice (cf. figure ci-contre).

Un bon échantillon (i.e. un échantillon représentatif de sa population mère) se caractérise par :

un minimum empirique $(m)$ proche de $a$
et un maximum empirique $(M)$ proche de $b$

Le risque de pari $(\alpha )$ associé à un échantillon $({\hat {a}}=m\,;{\hat {b}}=M)$ est défini par la probabilité de trouver un échantillon plus mauvais que lui, i.e. présentant :

un minimum empirique supérieur ou égal à $m$ ,
ou un maximum empirique inférieur ou égal à $M$

Intervalle de pari sur le minimum empirique modifier

L'expérimentateur choisit son risque de pari $(\alpha )$ . Le risque de pari sur le minimum empirique est défini par l'équation suivante :

\alpha =\mathbb {P} \,\left({\hat {a}}\geq m\;\forall {\hat {b}}\in \left[{\hat {a}}\,;\,b\right]\right)=\left({\frac {b-m}{b-a}}\right)^{n}\Rightarrow \,m_{1-\alpha }=b-(b-a)\cdot \alpha ^{\frac {1}{n}}

La surface de pari sur le minimum empirique au niveau de confiance $(1-\alpha )$ rassemble les échantillons qui vérifient : ${\hat {a}}\in [a\,;m_{1-\alpha }]$ et ${\hat {b}}\in [{\hat {a}}\,;b]$ .

Intervalle de pari sur le maximum empirique modifier

De façon similaire, le risque de pari sur le maximum empirique est défini par l'équation suivante :

\alpha =\mathbb {P} \,\left({\hat {b}}\leq M\;\forall {\hat {a}}\in \left[a\,;{\hat {b}}\right]\right)=\left({\frac {M-a}{b-a}}\right)^{n}\Rightarrow \,M_{1-\alpha }=a+(b-a)\cdot \alpha ^{\frac {1}{n}}

La surface de pari sur le maximum empirique au niveau de confiance $(1-\alpha )$ rassemble les échantillons qui vérifient : ${\hat {b}}\in [M_{1-\alpha }\,;b]$ et ${\hat {a}}\in [a\,;{\hat {b}}]$ .

Surface de pari sur les deux bornes modifier

La surface de pari est celle qui capture la proportion $(1-\alpha )$ des échantillons formés à partir d'une population mère ${\mathcal {U}}\,(a,b)$ donnée et connue.

Le problème dépend de la forme que l'on aura choisi de donner à cette surface, qui peut être un carré, un triangle, un quart de cercle, ... On choisit ici un triangle rectangle, de sommet $P_{1}\,\left(a\,;\,b\right)$ et dont l'hypoténuse est parallèle à la première bissectrice (cf. figure ci-contre). La raison est que la densité de probabilité associée au couple $\left({\hat {a}}\,;\,{\hat {b}}\right)$ est constante le long d'un lieu $y-x=Cte$ . Ceci permet de découper l'espace suivant une ligne iso-densité, minimisant ainsi la surface de pari pour capturer un effectif donné.

Les variables réduites classiques pour les distributions uniformes sont introduites afin de simplifier les calculs qui suivent :

{\begin{cases}\varphi &=&{\frac {m-a}{b-a}}\\\psi &=&{\frac {M-a}{b-a}}\end{cases}}

Les relations de conversion du domaine réel en domaine réduit sont données par le tableau ci-dessous :

Échantillon {m ; M} à population {a ; b} donnée	Représentation adimensionnée	Population {a ; b} à échantillon {m ; M} donné
$a\leq m\leq M\leq b$	$0\leq \varphi \leq \psi \leq 1$	$a\leq m\leq M\leq b$
${\begin{cases}m&\in &\left[a\,;\,M\right]\\M&\in &\left[m\,;\,b\right]\end{cases}}$	$0\leq \varphi \leq \psi \leq 1$	${\begin{cases}a&\in &\left]-\infty \,;m\right]\\b&\in &\left[M\,;+\infty \right[\end{cases}}$
$m=a$	$\varphi =0$	$a=m$
$m\rightarrow M=b$	$\varphi =1$	$a\rightarrow -\infty$
$M\rightarrow m=a$	$\psi =0$	$b\rightarrow +\infty$
$M=b$	$\psi =1$	$b=M$

Exprimée dans le plan des coordonnées réduites, la surface pari au niveau de confiance $(1-\alpha )$ est constituée par l'intérieur du triangle rectangle de sommets :

P_{1}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\;\;P_{2}{\begin{pmatrix}\delta \\1\end{pmatrix}}\;\;P_{3}{\begin{pmatrix}0\\1-\delta \end{pmatrix}}

La marge réduite $\left(\delta \right)$ est reliée au risque de pari $\left(\alpha \right)$ par l'équation suivante :

$\left(1-\delta \right)^{n-1}\,\left[1+\left(n-1\right)\delta \right]=\alpha$

Démonstration

La densité de probabilité associée au couple $\left(m\,;\,M\right)$ et exprimée en fonction des variables réduites s'écrit :

d^{2}\mathbb {P} \,\left(\varphi \leq {\frac {m-a}{b-a}}\leq \varphi +d\varphi \,;\,\psi \leq {\frac {M-a}{b-a}}\leq \psi +d\psi \right)=n\,\left(n-1\right)\,\left(\psi -\varphi \right)^{n-2}\,d\varphi \,d\psi

La surface de pari triangulaire recherchée doit capturer la proportion $\left(1-\alpha \right)$ des échantillons générés à partir de la poplulation mère. En s'aidant de la figure ci-dessus plaçant le domaine de pari dans le plan des coordonnées réduites, il vient :

\int _{\varphi =0}^{\delta }\int _{\psi =\varphi +1-\delta }^{1}n\left(n-1\right)\,\left(\psi -\varphi \right)^{n-2}\,d\varphi \,d\psi =1-\alpha

Soit, tous calculs effectués : $1-\left(1-\delta \right)^{n-1}\,\left[1+\left(n-1\right)\delta \right]=1-\alpha$

D'où la relation énoncée liant $\delta$ à $\alpha$ .

L'équation liant la marge réduite $\left(\delta _{1-\alpha }\right)$ au risque de pari $\left(\alpha \right)$ peut être résolue par la méthode du point fixe : la suite $\left(x_{n}\right)$ définie ci-dessous converge rapidement vers la solution, même avec une initialisation forfaitaire :

${\begin{cases}x_{0}&=&{\frac {1}{2}}\\x_{n+1}&=&1-\left({\frac {\alpha }{1+\left(n-1\right)\,x_{n}}}\right)^{\frac {1}{n-1}}\end{cases}}$

Le lieu des solutions est tracé ci-contre, en fonction de l'effectif de l'échantillon et du risque de pari $\alpha$ .

Replacée dans le plan des coordonnées correspondant au problème réel de l'expérimentateur, la surface pari au niveau de confiance $(1-\alpha )$ est constituée par l'intérieur du triangle rectangle de sommets :

P_{1}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\;\;P_{2}{\begin{pmatrix}a+\delta _{1-\alpha }\,\left(b-a\right)\\b\end{pmatrix}}\;\;P_{3}{\begin{pmatrix}a\\b-\delta _{1-\alpha }\,\left(b-a\right)\end{pmatrix}}

Surface de confiance modifier

Le point de vue est inversé par rapport à la section précédente :

le n-échantillon est connu, et le couple des minimum et maximum empiriques obtenus est $\left(m\,;M\right)$ ;
on veut connaître quelles populations mères ${\mathcal {U}}\,(a,b)$ auraient pu générer cet échantillon, au niveau de confiance $(1-\alpha )$ choisi par l'expérimentateur.

Il s'agit donc de recenser les populations mères qui contiennent l'échantillon en question dans leurs surfaces de pari respectives au niveau de confiance $(1-\alpha )$ .

L'intégrale calculée lors de la démonstration qui établit la surface de pari en coordonnées réduites $\left(\varphi \,;\,\psi \right)$ reste inchangée, quelles que soient les raisons qui font varier ces coordonnées réduites :

les variations du couple $\left(m\,;M\right)$ à population mère ${\mathcal {U}}\,(a,b)$ fixée,
ou bien les variations des bornes $\left(a\,;\,b\right)$ de la population mère à échantillon $\left(m\,;M\right)$ fixé

La surface de confiance est obtenue par déréduction de la surface établie en coordonnées $\left(\varphi \,;\,\psi \right)$ pour le niveau de confiance $(1-\alpha )$ , en cherchant $\left(a\,;\,b\right)$ à échantillon $\left(m\,;M\right)$ fixé. Cette surface de confiance est constituée par l'intérieur du triangle rectangle de sommets :

Q_{1}{\begin{pmatrix}m\\M\end{pmatrix}}\;\;Q_{2}{\begin{pmatrix}{\frac {m-\delta _{1-\alpha }\,M}{1-\delta _{1-\alpha }}}\\M\end{pmatrix}}\;\;Q_{3}{\begin{pmatrix}m\\{\frac {M-\delta _{1-\alpha }\,m}{1-\delta _{1-\alpha }}}\end{pmatrix}}

↑ ^{a et b} Jean-Jacques Ruch, « Statistiques : estimation », sur www.google.fr (consulté le 19 décembre 2022)
↑ ^{a b et c} Christophe Boilley, « Estimation des bornes d'une loi uniforme », sur Classeur numérique de Christophe Boilley, 13 janvier 2023 (consulté le 17 janvier 2023)

[:0-1] {a et b} Jean-Jacques Ruch, « Statistiques : estimation », sur www.google.fr (consulté le 19 décembre 2022)

[:1-2] {a b et c} Christophe Boilley, « Estimation des bornes d'une loi uniforme », sur Classeur numérique de Christophe Boilley, 13 janvier 2023 (consulté le 17 janvier 2023)

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