Adjonction ⊗-Hom

En mathématiques, l'adjonction ⊗-hom est le résultat affirmant que le produit tensoriel $-\otimes X$ et le foncteur Hom $\operatorname {Hom} (X,-)$ forment une adjonction :

$\operatorname {Hom} (Y\otimes X,Z)\cong \operatorname {Hom} (Y,\operatorname {Hom} (X,Z)).$

L'ordre des termes dans l'expression « adjonction tenseur-hom » reflète leur relation : ⊗ est l'adjoint de gauche, tandis que Hom est l'adjoint de droite.

Définition générale

Supposons que R et S soient des anneaux (éventuellement non commutatifs) et considérons les catégories des modules à droite sur R et S (une proposition similaire est valable pour les modules à gauche) :

${\mathcal {C}}=\mathrm {Mod} _{S}\quad {\text{et}}\quad {\mathcal {D}}=\mathrm {Mod} _{R}.$

Soit $X$ un $(R,S)$-bimodule et soient $F\colon {\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ et $G\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}$ les foncteurs définis comme suit:

$F(Y)=Y\otimes _{R}X\quad {\text{pour }}Y\in {\mathcal {D}}$

$G(Z)=\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\quad {\text{pour }}Z\in {\mathcal {C}}$

Alors $F$ est adjoint à gauche de $G$. Cela signifie qu'il existe un isomorphisme naturel

$\operatorname {Hom} _{S}(Y\otimes _{R}X,Z)\cong \operatorname {Hom} _{R}(Y,\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)).$

Il s'agit en fait d'un isomorphisme de groupes abéliens. Plus précisément, si $Y$ est un $(A,R)$-bimodule et $Z$ est un $(B,S)$-bimodule, alors c'est un isomorphisme de $(B,A)$-bimodules. C'est un des exemples motivant la structure de bicatégorie fermée.

Counité et unité

Comme toutes les adjonctions, l'adjonction tenseur-hom peut être décrite par les transformations naturelles de counité et d'unité. En utilisant la notation de la section précédente, la counité

$\varepsilon :FG\to 1_{\mathcal {C}}$

a pour morphisme la décrivant

$\varepsilon _{Z}:\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\otimes _{R}X\to Z$

donné par évaluation : Pour

$\phi \in \operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\quad {\text{et}}\quad x\in X,$

$\varepsilon (\phi \otimes x)=\phi (x).$

Les morphismes décrivant l'unité

$\eta :1_{\mathcal {D}}\to GF$

$\eta _{Y}:Y\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)$

sont définis comme suit : Pour $y$ appartenant à $Y$ ,

$\eta _{Y}(y)\in \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)$

est un homomorphisme de $S$-modules défini par

$\eta _{Y}(y)(t)=y\otimes t\quad {\text{pour }}t\in X.$

Les équations de counité et d’unité peuvent désormais être explicitement vérifiées. Pour $Y$ dans ${\mathcal {D}}$ ,

$\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y}):Y\otimes _{R}X\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)\otimes _{R}X\to Y\otimes _{R}X$

$\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})(y\otimes x)=\eta _{Y}(y)(x)=y\otimes x.$

De même,

$G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}:\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\to \operatorname {Hom} _{S}(X,\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\otimes _{R}X)\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Z).$

Pour $\phi$ dans $\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)$ ,

$G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )(x)=\varepsilon _{Z}(\phi \otimes x)=\phi (x)$

$G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )=\phi .$

et donc

$G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )=\phi .$

Les foncteurs Ext et Tor

Le foncteur Hom $\hom(X,-)$ commute avec des limites arbitraires, tandis que le produit tensoriel $-\otimes X$ le foncteur commute avec des colimites arbitraires qui existent leurs catégorie de définition. Cependant, de manière générale, $\hom(X,-)$ ne commute pas avec les colimites, et $-\otimes X$ ne commute pas avec les limites ; cet échec se produit même avec des limites ou des colimites finies. Cette incapacité à préserver les suites exactes courtes motive la définition du foncteur Ext et du foncteur Tor.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Tensor-hom adjunction » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Bibliographie

• Nicolas Bourbaki, Éléments de mathématiques, Algèbre I, Springer-Verlag

Articles connexes

• Curryfication
• Foncteur Ext
• Foncteur Tor