Discussion:Axiome de fondation

Je serai favorable à la mise en place de liens vers ZF et ZFC. Je ne suis convaincu par l'exemple des x_n, n dans N qu'en précisant bien qu'on est dans ZF et non Z (la preuve d'existence de l'ensemble des x_n est évident par le schéma de remplacement, mais je ne saurais le démontrer sans) (message laissé le 22 juillet 2008 à 12:58 par 129.175.4.131).

L'existence de l'ensemble image d'une suite ne nécessite pas le schéma de remplacement, s'il est bien clair que la suite en question est un ensemble de couples : la compréhension suffit, on prend une projection du graphe. Ca mériterait peut-être d'être précisé. Par ailleurs je n'ai jamais vu étudié l'axiome de fondation hors du cadre ZF (pour la suite, la hiérarchie cumulative, le remplacement est indispensable). Proz (d) 23 juillet 2008 à 20:19 (CEST)

Je ne suis pas spécialiste de la théorie des ensembles, mais je ne vois pas comment construire cet ensemble avec le shéma de compréhension, c'est à dire si je me donne une suite infinie (dénombrable) d'ensembles x_n, comment construire cet ensemble image avec seulement l'axiomatique de Z (ou encore peut être: comment construire le graphe qui doit être projeté). Comme dit précédement, cette question est un peu hors-sujet (puisque on travaille dans ZF), mais la réponse m'intéresse.

Si on se donne une suite infinie dénombrable, cela veut dire a priori que cette suite est un ensemble, c'est-à-dire que le graphe de celle-ci est un ensemble. Pour la projection cela dépend du codage des couples, voir Couple (mathématiques), § sur les couples de Kuratowski. Pour utiliser le remplacement il suffit de considérer que (le graphe de) la fonction (ici la suite) est une classe (mathématiques) de couples, mais usuellement quand on parle d'une suite ou d'une fonction sans préciser, il s'agit d'un ensemble. Proz (d) 29 juillet 2008 à 14:31 (CEST)

Axiome de fondation et paradoxe de Russell

Je ne suis pas sûr du tout que l'axiome de fondation "ne résout pas le paradoxe" - j'ai fait un commentaire dans Discuter:Paradoxe de Russell. D'autre part, dire "la classe des x tels que ..... doit de toute façon être une classe propre", outre que ça introduit un changement de contexte (on était dans ZF), c'est supposer le problème résolu. Non ? --Michel421 (d) 28 février 2009 à 11:58 (CET)

On peut parler de classe à propos de ZF, voir classe (mathématiques). J'ai précisé pour la suite, et réponse dans Discuter:Paradoxe de Russell (en gros comment ajouter un axiome pourrait-il résoudre une contradiction ?). Proz (d) 28 février 2009 à 12:33 (CET)

Donc, c'est par rapport à un système prééxistant avec schéma de compréhension non restreint. OK.--Michel421 (d) 28 février 2009 à 14:05 (CET)

Où se trouve l'axiome de fondation dans von Neumman 1925?

J'ai sous la main l'article de von Neumann de 1925 dans From Frege to Gödel et je ne trouve pas l'axiome de fondation. Quelqu'un pourrait-il me dire comment il s'appelle et sous quelle forme il apparait? --Pierre de Lyon (d) 8 janvier 2010 à 14:18 (CET)

Je n'ai pas le texte, mais p.-e. est-ce "axiome de restriction" (vu que c'est un axiome restrictif) si cela est traduit ainsi. Voir [www-math.univ-fcomte.fr/pp_Annu/SNEUWIRTH/von-neumann.pdf ce_texte] que je découvre (et qui a l'air bien) sur von Neumann pp.13-14. --Epsilon0 ε₀ 8 janvier 2010 à 15:02 (CET)

On dit aussi axiome de régularité, et c'est très fréquent en anglais, regularity axiom.Michel421 _{parfaitement agnostique} 14 août 2010 à 17:38 (CEST)

Énoncé de l'axiome

La formulation actuelle (13/06/2025) commence par : "Tout ensemble x non-vide possède un élément minimal pour l'appartenance sur x, ..." Mais l'appartenance sur x n'est en général pas transitive, et ne s'interprète en aucune façon comme un "ordre". Je ne vois donc pas à quelle notion de minimalité il est ici fait référence. Dans la wiki-fiche en anglais, aucune allusion n'est faite à cette mystérieuse minimalité. Guillaume de Tunis (discuter) 13 juin 2025 à 08:12 (CEST)

Faute de frappe ?

Sur mon smartphone Samsung, apparait entre le titre de la page et le début de l’onglet “article”, en gris, le texte suivant : «_axiome de la théorie des ensembles que tout ensemble 𝑥 non vide possède un élément élément n’ayant aucun élément en commun avec 𝑥._».

Il me semble que le mot “élément” soit redoublé par erreur ?

Mais je n’ai pas trouvé moyen de modifier ce résumé.

Hpa (discuter) 24 juillet 2026 à 18:16 (CEST)

question sur le sens de l'intersection lorsqu'un élément n'est pas un ensemble

Dans la définition de l'axiome : ∀x[x≠∅⇒∃y(y∈x∧y∩x=∅)] que signifie y∩x si y n'est pas un ensemble ?

Par exemple, si A = {1}, l'axiome nous dit qu'il existe un élément de A disjoint de A, autrement dit que 1 ∩ A = ∅, mais quel sens a 1 ∩ A ?

Peut-être un élément à expliciter dans l'article pour les mathématiciens du dimanche comme moi. ;) Ja94N (discuter) 1 octobre 2026 à 12:06 (CEST)