Discussion:Continuité (mathématiques)

Présentation pédagogique

il me semble plus judicieux de faire évoluer un article de la notion la plus simple à la notion la plus théorique. Le néophyte peut alors lire le début de l'article sans être aggressé par un vocabulaire trop abscon (peut-être même aura-t-il envie de le lire jusqu'au bout) La personne plus cultivée peut, en lisant le plan, sauter directement à la définition concernant son niveau de compétence. Je modifie en conséquence le plan de l'article fort intéressant au demeurant. HB 19 mar 2005 à 17:59 (CET)

Théorème de prolongement

Il serait judicieux de parler dans cet article du théorème de prolongement des fonctions de classe C1, puis du théorème généralisé, à savoir le théorème de prolongement des fonctions de classe Cn.

Compléments de l'article

La remarque précédente me fait dire que l'article n'est pas complet. Il faudrait effectivement un chapitre sur les prolongement par continuité. parler du comportement de la continuité avec les suites. Cela demande un remaniement partiel du plan que je propose au préalable

1 Définitions

1.1. Fonction de la variable réelle

1.1.1. Définitions

1.1.2. Exemples

1.1.3. Propriétés (à compléter: f(I) est une intervalle, continuité de la réciproque, cas de la fonction monotone, continuité de la dérivée, intégrabilité des fonctions continues)

1.1.4. Erreurs à éviter

1.2. Dans les espace métriques

1.2.1. Définitions

1.2.2. Propriétés (cas des ev de dim fini, relation avec les fonction lipchitziennes)

1.3. Dans des espaces topologiques

1.3.1. Définiton locale

1.3.2. Définition locale

1.3.3. Equivalence des définition

2 Prolongement (définition, fonction continues égales sur un ensemble dense, application linéaire continue sur un ensemble dense

3 Fonction continues et suites (limite d'une suite convergente, autre définition de la continuité, limite de suite de fonction continues, convergence simple, convergence uniforme, il semble qu'il existe aussi un théroème d'existence de suite de fonction C1 approchant toute fonction continue...)

4. La continuité dans l'histoire

Ce sont les propriétés qui me viennent à l'esprit mais il y en a surement une tonne d'autre que j'oublie;;; Peut-être faudrait-il les répertorier avant de finaliser le plan. Des idées ? des objections? HB (d) 7 mars 2008 à 15:22 (CET)

Renommage

Je pense que cet article devrait être renommé en fonction continue ou application continue. Voir par exemple l'article en:continuity qui est une longue page d'homonymie, ou principe de continuité, ou encore l'article à créer sur l'opposition entre discret et continu, ainsi que Continuum, etc. C'est discussion qui m'a amené ici. Il y a sans doute une réflexion globale à mener sur ce thème. ---- El Caro ^bla 12 janvier 2011 à 10:35 (CET) PS : Continuité devrait rediriger vers Continu.

À l'intuition sans connaître l'historique de la structuration actuelle, d'accord avec toi - d'autant que fonction continue est actuellement une redirection vers cette page, donc un nom libre dans les faits. Il semble qu'une fusion ait été effectué en 2007, il y a peut-être eu un débat lors de l'examen de cette fusion choisissant le nom actuel ? Faudrait fouiller et j'ai un peu la flemme. Touriste (d) 12 janvier 2011 à 10:58 (CET)

Erreur ?

Bonjour, je crois qu'il y a une erreur à la première ligne du premier paragraphe (sous l'encadré) : "Ainsi f est continue en a si et seulement si la limite de f en a existe (elle vaut alors nécessairement f(a))." Si et seulement si se note comme l'équivalence en maths n'est-ce pas ? dans ce cas-là "f admet une limite en a" n'implique pas "f est continue en a" ce qui casse l'équivalence.--Automatik (d) 21 décembre 2011 à 17:56 (CET)

Bonjour, non ce n'est pas une erreur. Rigoureusement, la limite l en a existe veut dire que f(x) est proche de l pour tout x proche de a. C'est en particulier le cas pour f(a) puisque a est proche de a, donc l=f(a). Liu (d) 20 décembre 2011 à 00:47 (CET)

ach, c'est l'éternel problème des deux définitions de la limite : limite de Bourbaki (celle en vigueur en lycée et classe prépa en France) et celle de Weierstrass (appelée aussi limite épointée) qui est celle souvent utilisée en milieu universitaire et à l'étranger. Cela mérite, je pense une note de bas de page sur la définition choisie, ou bien une réécriture en clair utilisant la notion intuitive de limite qui correspond quand même plus à la notion de limite épointée (du genre, si et seulement si la limite quand x tend vers a, avec x différent de a, est f(a).HB (d) 20 décembre 2011 à 09:04 (CET)

Mais "la limite quand x tend vers a, avec x différent de a, est f(a)", c'est exactement la même chose sans la condition x différent de a n'est-ce pas ? Liu (d) 20 décembre 2011 à 23:52 (CET)

pas vraiment, écrire $\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a)$ a du sens pour la limite épointée (celle de Weierstrass) mais choque à juste titre les partisans de la limite version Bourbaki qui y voient une tautologie et préfèrent dire $\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)$ existe, comme tu l'as fort justement dit quelques lignes plus haut. Mais, cela ne me dit pas ce que tu préfères : une note de bas de page précisant qu'il s'agit de la limite de Bourbaki ou une écriture qui serait consensuelle, mais du coup avec ton objection je ne vois pas laquelle: si on écrit limite de f(x) existe les weierstrassien vont tiquer, si on écrit limite de f(x) vaut f(a) les bourbakistes vont tiquer, et si on écrit limite de f(x), pour x différent de a, vaut f(a), cela te fait tiquer aussi. HB (d) 21 décembre 2011 à 08:46 (CET)

Pouvez-vous vous expliquer sur la notion de voisinage épointé (ou de limite épointée) et expliquer dans quels cas utiliser les deux définitions de la limite ? Personnellement je suis à l'université je n'avais pas entendu encore parler de ces deux définitions. En prenant juste l'exemple de la fonction partie entière, je vois qu'elle admet une limite à droite et à gauche de 2, mais qu'elle n'est pas continue en 2. On peut dire aussi dans l'absolue que la fonction partie entière n'admet pas de limite en 2, puisqu'elle n'admet pas de limite unique. La définition de la limite selon Bourbaki serait donc celle d'une limite unique et celle de Weierstrass celle d'une limite possible à la fois à gauche et à droite ? Merci d'avance--Automatik (d) 21 décembre 2011 à 17:56 (CET)

Dans quel cas utiliser l'une ou l'autre définition? On ne peut pas te dire, c'est en gros à toi de vérifier de quelle limite parle ton interlocuteur. La limite épointée correspond à $\displaystyle \lim _{x\to a,x\neq a}$, c'est la plus intuitive, mais elle s'accorde mal avec la limite de la composée d'où la définition de Bourbaki. La différence des définitions ne se voit pas sur la fonction partie entière qui n'admet pas de limite en 1 quelle que soit la définition utilisée et qui admet, une limite à droite et une limite à gauche. Elle ne se voit pas non plus quand la fonction n'est pas définie en a car alors les deux définitions coïncident. Mais elle se voit sur la fonction caractéristique de {a}, $\chi _{a}$, qui vaut 0 partout sauf en a où elle vaut 1. Pour la définition de Bourbaki, cette fonction n'admet pas de limite en a, pour la définition de Weierstrass, cette fonction admet une limite en a qui vaut 0 et qui est différente de $\chi _{a}(a)$ qui vaut 1.HB (d) 21 décembre 2011 à 19:21 (CET)

Moi je préfère la définition Bourbakiste. Mais si on écrit que f(x) converge vers f(a) je ne tiquerai pas. Et puis ce n'est pas grave que je tique Liu (d) 23 décembre 2011 à 00:19 (CET)

Autres remarques

Ensemble de définition

Je remarque que le formalisme a fait disparaitre toute allusion à l'ensemble de définition : je suis un peu rouillée concernant les notions borderline mais comment évalue-ton la véracité de l'inégalité |f(x) - f(a)| < epsilon si f(x) ou f(a) n'existent pas ? Si elle est évaluée comme fausse, il faut préciser que x doit appartenir à l'ensemble de définition de f, si elle est évaluée comme vraie, il faut préciser que a doit appartenir à l'ensemble de définition de f. Enfin, il faudrait éviter d'associer trop généralement continuité en a et existence d'une limite car, sauf erreur, on ne parle pas de limite pour un point isolé du domaine de définition. HB (d) 20 décembre 2011 à 09:04 (CET)

Mais il est bien précisé dans la définition que f est définie sur I et que x, a appartiennent à I. Liu (d) 20 décembre 2011 à 23:55 (CET)

Moi, je lis

$f:I\to \mathbb {R}$ et $a\in I$. La fonction $f$ est dite....

Selon ma lecture, non, on parle d'une fonction de I vers R , on ne dit pas que I est l'ensemble de définition. Je sais, on se retrouve encore avec le distinguo fonction vs application, mais comme la lecture peut être ambigüe, le plus simple serait d'écrire en toute lettre , soit f une fonction définie sur I et à valeurs dans R.....HB (d) 21 décembre 2011 à 07:42 (CET)

Pour moi, f : I -> R veut dire que f est une application définie sur I. Mais OK pour la précision. Liu (d) 23 décembre 2011 à 00:15 (CET)

Fonction à saut

Toujours dans les notions borderline, la fonction caractéristique de {1} est-elle une fonction à saut, si oui, il faut aussi corriger l'explication sur la fonction à saut. HB (d) 20 décembre 2011 à 09:04 (CET)

Remarque confusionnante

Enfin, en relisant l'article, je tombe sur cette remarque ajoutée en 2008 qui me parait pour le moins confusionnante : sur la fonction x --> 1/x, elle affirme que la question de la continuité en 0 n'a pas de sens alors qu'elle me semble tout a fait pertinente, la fonction n'est pas définie en 0 donc elle n'est pas continue en 0. Ensuite elle imagine un abus de langage, f ne serait pas continue en 0 mis à la place de f n'est pas prolongeable par continuité en 0.

Mais aussi, pourquoi l'article sur la fonction réelle se limite-t-elle à un intervalle pour la définition? HB (d) 20 décembre 2011 à 09:04 (CET)

Ah mais je ne sais pas ce qu'il m'arrive, je suis systématiquement d'avis contraire avec toi. Désolé. Mais je trouve la remarque parfaitement bien écrite et tout à fait juste. Liu (d) 21 décembre 2011 à 00:03 (CET)

Par contre sur le domaine de définition je suis d'accord avec toi. Mais c'est sans doute par soucis pédagogique. Liu (d) 21 décembre 2011 à 00:04 (CET)

Bon, si tu n'y vois rien de choquant, c'est que je deviens trop puriste mais je ne connais aucun prof de mon entourage qui confonde non continue et non prolongeable par continuité. Je pense de plus que le problème de la continuité de x --> 1/x ne réside pas dans ce non prolongement par continuité mais réside dans le fait que l'ensemble de définition n'est pas un intervalle. Et c'est justement le point à débattre: une fonction définie et continue sur un intervalle a des propriétés spéciales que l'on ne retrouve pas pour une fonction continue en tout point d'un ensemble quelconque. Si on ne définit la continuité que sur des intervalles , on va avoir du mal à parler de la continuité sur R*. Ceci dit tant que l'article ne parlera pas des propriétés (image d'un intervalle, fonction continue monotone, intégrabilité) dont je suggérais la présence déjà il y a plus de 3 ans, il n'y a pas feu au lac. Le jour où on fera une refonte, on traitera tous ces problème, il faudra alors penser à préciser que l'ensemble des fonctions continues sur un même ensemble est une algèbre sur le corps des réels et traiter le cas des points isolés (je crois bien qu'on peut y parler de continuité mais pas de limite). HB (d) 21 décembre 2011 à 08:13 (CET)

Tu as raison. J'ai modifié la remarque. Est-ce qu'elle te semble plus admissible ? Liu (d) 23 décembre 2011 à 00:12 (CET)

Je suis celui qui avait noté cette remarque (même si le paragraphe a depuis été transformé maintes fois et que je ne suis pas sûr qu'il y ait nécessairement gagné en clarté). J'estime sincèrement qu'il y a effectivement un abus de langage à dire que la fonction f est non continue en un point hors de son domaine de définition. Après tout, je peux toujours plonger $\mathbb {R}$ dans $[-\infty ,+\infty ]$ et étendre naturellement sa topologie canonique (ce qui me donne la droite réelle achevée). Je peux alors par exemple penser la fonction $\arctan$ comme une fonction partielle sur $[-\infty ,+\infty ]$. Etant donné ceci, diriez vous que je suis finalement autorisé à me demander si $\arctan$ est ou n'est pas continue en $+\infty$ ? (plutôt que de me demander si elle y admet un prolongement continue) Y a-t-il un sens à affirmer que le nombre pi n'est pas compacte ou que l'ensemble vide n'est pas commutatif ? C'est précisément ce genre de tentation d'affirmation ni vraie ni fausse mais dépourvue de sens que je trouve confondante (ou si vous préférez déroutante).--Burakumin (d) 26 juillet 2013 à 12:55 (CEST)

Cardinalité

(en) Karel Hrbacek et Thomas Jech, Introduction to Set Theory, CRC Press, 1999, 3^e éd. (ISBN 978-0-82477915-3, lire en ligne), p. 100, Theorem 2.6

Il me semble indispensable de le dire, mais où ? Anne (d) 14 décembre 2012 à 14:00 (CET)

Limite finie ?

Bonjour, je suis nouvel utilisateur de Wikipedia, je vous prie de bien vouloir excuser ma maladresse, mais j'aimerais vous poser une question en ce qui concerne la continuité de fonction. J'aimerai savoir si dans la definition de continuité, la valeur de la limite doit être finie. Je m'explique; la fonction x --> 1/x n'est pas continue, mais qu'en est-il de la fonction |1/x|? La limite de cette fonction existe-t-elle du fait qu'elle soit la la même a droite et a gauche de 0? Merci bien! — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Karimbentayaa (discuter), le 10 avril 2014 à 09:39‎.

Bonjour, par définition, une application f (d'un ensemble de réels vers un autre) est continue en a si et seulement si elle est définie en a (c'est-à-dire si f(a) « existe » ; voir Continuité#Des erreurs à éviter) et si la limite de f en a existe. Dans ce cas, par définition de la limite, la limite de f en a est nécessairement égale à f(a) (voir #Erreur ? ci-dessus et Limite (mathématiques)#Limite d'une fonction en un point), donc finie. Anne (discuter) 10 avril 2014 à 10:03 (CEST)

Équivalence de la définition métrique et topologique

Il est possible que je me trompe vu que je débute sur ce sujet mais pour moi les deux propositions citées dans ce passage ne sont pas équivalentes : $\forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad B(a,\eta )\subset f^{-1}\left(B(f(a),\varepsilon )\right)$

$\forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad \forall x\in B(a,\eta )\quad f(x)\in B(f(a),\varepsilon ),$

En effet l'image inverse de $B(f(a),\varepsilon )$ n'est pas forcément une boule, mais a priori plutôt une union de boules, tout comme l'image inverse de $x^{2}$ est l'union de ${\sqrt {x^{2}}}$ et $-{\sqrt {x^{2}}}$

Par exemple l'image réciproque de $\sin$ sur $]-0.1;0.1[$ (par $\sin ^{-1}$ donc) est un ensemble d'intervalles ouverts centrés chacun en $k\pi$.

Une façon de démontrer l'équivalence qui me paraît plus rigoureuse serait celle de la proposition I.2.5 de ce document (p. 8)

D'ailleurs la définition même de la continuité dans ce document (définition I.2.1 p. 7) me paraît être plus adéquate pour montrer l'équivalence.

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 92.90.68.213 (discuter), le 11/7/2020 à 23 h 34‎.

Vous vous trompez en effet. Les deux lignes que vous citez sont bien équivalentes car

$A\subset f^{-1}(B)$ équivaut à $\forall x\in A\quad f(x)\in B$.

Tout ce que vous écrivez ensuite est sans rapport.

P.S. La preuve d'équivalence dans votre document (proposition I.2.2 et non I.2.5) est (ni plus ni moins rigoureuse mais) plus lourde, du fait justement de la formulation légèrement différente de la définition de la continuité.

Anne, 12/7, 7 h 31, 7 h 41 et 7 h 47

Erreur dans "Définition pour les fonctions réelles"

Bonjour. Il est écrit que si une fonction f réelle admet une limite en un point a celle-ci est nécessairement égale à f(a). Sauf erreur de ma part je crois que c'est faux. Par exemple la fonction définie par :

f(x) = x sur R* et f(0) = 1

La limite en 0 est 0 et ne vaut pas f(0) Pierre du Cher (discuter) 29 janvier 2023 à 21:39 (CET)

Éternel problème de la définition de la limite qui a changé. Il existe deux sortes de limite

• la limite telle que définie dans le lien donné dans l'article : :$\lim _{x\to a}f(x)=L\iff \quad \forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \exists \delta \in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \forall x\in {\mathcal {D}}_{f}\quad (|{x-a}|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon )$
• et la limité épointée dans la définition de laquelle, on exclut la valeur en a pour la recherche de limite : $\lim _{{x\to a} \atop {x\neq a}}f(x)=L\iff \quad \forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \exists \delta \in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \forall x\in {\mathcal {D}}_{f}\setminus {\{a\}}\quad (|{x-a}|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon )$.

Dans l'exemple que tu donnes on a la limite épointée en 0 qui vaut 0, mais la fonction n'admet pas de limite en 0 avec la première définition.

Je sais, c'est troublant pour ceux qui ont été formés avec la définition de Weierstrass (limite épointé) mais c'est ainsi et explicité par les liens fournis. HB (discuter) 29 janvier 2023 à 22:00 (CET).

Ma fonction admet une limite suivant la première définition. Elle est définie sur R, je peux donc calculer sa limite en tout point de R, y compris en x = 0. En faisant L = 0 dans la première définition, pour tout ε > 0 il suffit de prendre η = ε. Pierre du Cher (discuter) 30 janvier 2023 à 08:58 (CET)

Non: remplace x par 0, a par 0 et L par 0 (ce que tu as le droit de faire dans la première def) et tu vois tout de suite le problème $(|{x-a}|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon )$. HB (discuter) 30 janvier 2023 à 09:24 (CET)

C'est vrai, je n'avais jamais réfléchi à cela. D'accord, excuse moi pour le dérangement. ET merci 😉 Pierre du Cher (discuter) 30 janvier 2023 à 10:25 (CET)