Discussion:Fonction holomorphe

La phrase "Toute fonction holomorphe sur D un disque simplement connexe de $\mathbb {C}$ admet sur le circuit $\omega$ issu de D une intégrale égale à 0" est fort obscure. C'est apparemment une allusion au théorème de Cauchy, mais :

• "disque simplement connexe" est étrange : un disque est (nécessairement) simplement connexe
• "le circuit $\omega$ issu de D" ne veut pas dire grand chose

Vivarés 28 novembre 2005 à 19:01 (CET)

Développement de Laurent autour d'un point singulier

Il y aurait à dire sur ce paragraphe tel qu'il est rédigé (théorème, remarques). En particulier, la présentation de la notion de point singulier essentiel est obscure. En fait, selon les exposés classiques, un point singulier essentiel est une singularité isolée de la fonction holomorphe f (i. e. un point a pour lequel il existe un disque ouvert D centré en a tel que f soit holomorphe au moins sur D - {a}) qui n'est ni un point singulier apparent (1er cas) ni un pôle (2e cas); un point singulier essentiel est caractérisé par le fait que le développement de Laurent autour de ce point contient une infinité de termes non nuls d'indices strictement négatifs.

En outre, l'exemple donné est faux : la fonction $f:z\mapsto {\frac {1}{e^{z}-1}}$ holomorphe sur $\mathbb {C} \setminus 2\pi i\mathbb {Z}$ n'a que des pôles d'ordre 1: $0,2\pi i,-2\pi i,4\pi i,-4\pi i,\dots$ (elle n'a aucun point singulier essentiel).

Un exemple classique est celui de la fonction $f:\mathbb {C} ^{\star }\to \mathbb {C} ,z\mapsto \exp \left({\frac {1}{z}}\right)$ dont 0 est un point singulier essentiel (on peut remplacer l'exponentielle par n'importe quelle fonction holomorphe sur C tout entier définie par une série entière (de rayon de convergence infini) ayant une infinité de coefficients non nuls). Vivarés (d) 29 juin 2011 à 01:10 (CEST)

Oulala en effet l'exemple est catastrophique, je suis confus...

Par contre, je ne saisis pas votre première remarque. À vous lire je dirais que nous avons la même définition du point singulier essentiel. J'ai bien dit qu'un point singulier essentiel est un point singulier (j'ai noté A l'ensemble des singularités de la fonction), il est de fait isolé par définition. Ceci dit, si ce que j'ai écrit porte à confusion (ça semble être le cas) il faut en effet apporter des modifications. Je vous en prie.

Vous aviez d'autres remarques ? Je suis tout ouvert.

Chevalier libre (d) 4 juillet 2011 à 19:01 (CEST)

Les zéros d'une fonction holomorphe sont isolés, mais on ne peut pas en dire autant de ses singularités. La fonction suivante a un point d'accumulation de singularités en zéro :

$z\mapsto {\frac {1}{\sin(1/z)}}$.

On peut rendre ces singularités essentielles en composant encore avec la fonction exponentielle. Ambigraphe, le 5 juillet 2011 à 10:00 (CEST

Merci pour ce contre-exemple, l'article singularité en analyse complexe présente :

une singularité de f est un point isolé du bord de U. (f holomorphe sur U)

Est-il faux lui aussi ?

Chevalier libre (d) 13 juillet 2011 à 18:24 (CEST)

Là, c'est une question de vocabulaire. En tout cas, quand on parle de développement de Laurent autour d'un point singulier, il s'agit nécessairement d'un point singulier isolé (un point tel qu'il existe un disque ouvert épointé centré en ce point et inclus dans l'ouvert de définition de la fonction holomorphe). Vivarés (d) 13 juillet 2011 à 23:38 (CEST)

Rectifications indispensables

J'ai "taggé" hier des erreurs dans 2 preuves-TI. Je peux facilement (Rudin en main) remplacer celle du principe du module maximum par une preuve correcte (ici, ou ailleurs ?). Mais il me semble inutile de remplacer un TI par un autre en rectifiant celle de la section « Intégrale curviligne le long de différents chemins strictement homotopes » : c'est essentiellement une (tentative ratée de) re-démonstration du théorème de Green, combinée avec un appel aux équations de Cauchy-Riemann, donc ces 2 liens suffiraient àma. Anne (d) 20 mars 2012 à 13:22 (CET)

J'ai taggé hier une 3e erreur, qui me semble plus rédhibitoire : qu'on redémontre Green (bof) ou qu'on l'utilise tel quel (comme Cartan), on a vraiment besoin d'admettre que f' est continue donc la "preuve" n'est pas complète (Cartan fait la même remarque mais la donne quand même, en plus d'une vraie). L'erreur notée le 20 mars (les dérivées partielles des Hn ne convergent pas et celle de H n'existe même pas) serait plus facile à réparer, en choisissant mieux le type de convergence des Hn vers H dont on a réellement besoin, et en justifiant qu'une telle suite Hn existe. Anne (d) 30 mars 2012 à 13:12 (CEST)

Il y a des divergences dans la définition d'une fonction holomorphe en un point entre l'article français et l'article anglais :

   On dit que f est dérivable (au sens complexe) ou holomorphe en un point z0 de U si la limite suivante, appelée dérivée de f en z0 existe

contre :

   We say that ƒ is holomorphic at the point z0 if it is holomorphic on some neighborhood of z0

S'agit-il d'une erreur ou simplement d'une appellation légèrement différente ? wug (d) 31 octobre 2012 à 11:52 (CET)

Primitives de 1/z et déterminations du logarithme

Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert U de $\mathbb {C} ^{*}$ et telle que pour tout $z\in U,\,f'(z)={\frac {1}{z}}$. Alors la fonction g définie sur U par $g(z)={\frac {\exp(f(z))}{z}}$ est holomorphe et on vérifie immédiatement que sa dérivée est identiquement nulle ; par conséquent (si on suppose U connexe), elle est constante, et ceci prouve l'existence d'une constante A (réelle ou complexe) telle que pour tout $z\in U,\,\exp(f(z))=Az$ ; mais il n'y a aucune raison, sans autre condition, que A soit égale à 1. On ne peut donc pas caractériser une détermination du logarithme par le seul fait d'être une primitive de $z\mapsto {\frac {1}{z}}$.

Il est exact que l'existence d'une détermination sur l'ouvert U du logarithme équivaut à l'existence sur cet ouvert d'une primitive de $z\mapsto {\frac {1}{z}}$ , donc d'une infinité de primitives (obtenues à partir de l'une d'elles par ajout d'une constante) ; mais seules certaines de ces primitives sont des déterminations du logarithme : celles pour lesquelles la constante additive d'intégration est convenablement choisie. Vivarés (discuter) 8 juillet 2014 à 17:24 (CEST)

c'est ma faute. Anne (discuter) 8 juillet 2014 à 22:43 (CEST)