Discussion:Fonction presque périodique

Continuité

Je ne vois pas en quoi la définition donnée pour le moment implique en quelque façon la continuité de la fonction : une fonction périodique non continue vérifie la définition, il suffit de prendre pour tout epsilon > 0 une valeur de l plus grande qu'une période...

Bonjour, en fait la continuité a été oubliée, elle fait partie de la définition. Elle n'est pas conséquence de la propriété sur les presque-périodes. J'ai rajouté la condition dans la définition.--Cbigorgne (d) 30 décembre 2009 à 01:33 (CET)

Un peu de pédagogisme?

Bonjour,pourriez-vous indiquer comment on démontre,à titre d'exemple,que la somme de deux fonctions presque périodiques est aussi presque périodique ?

Enfin,le passage sur le théorème de Kronecker n'est pas très clair,quand vous dites qu'il donne un moyen numérique pour trouver les presque-périodes et un moyen théorique pour prouver l'existence de l'intervalle d'inclusion.De quelles fonctions parlez-vous à ce moment,et que sont ces deux suites de réels $a_{i}$ et $b_{i}$.Vous dites que les $a_{i}$ sont linéairement indépendants :vous voulez dire bien sûr,quand on prend $\mathbb {R}$ comme espace vectoriel sur $\mathbb {Q}$ ?--90.15.197.98 (d) 14 janvier 2010 à 08:13 (CET)

Merci de la réponse rapide dans le texte.Mais il me semble qu'il y a un problème.Si f et g sont deux fonctions presque-périodiques,comment pouvez-vous affirmer,en prenant un nombre $\epsilon /2$,que f et g ont a priori une presque-période commune? Vous avez écrit avant que la démonstration n'était pas triviale,c'est ce que je pense aussi.--90.0.147.113 (d) 14 janvier 2010 à 11:46 (CET)

tout simplement parce que c'était pas terminé. La démonstration que f+g n'est pas triviale du tout.Claudeh5 (d) 14 janvier 2010 à 13:16 (CET)

à titre d'exemple !!!Claudeh5 (d) 14 janvier 2010 à 13:17 (CET)

Ceci est dû aux caractères temporels de l'internet.Pendant qu'une modification est en cours,je consulte le texte,et j'ai l'impression que c'est le texte définitif.J'ai d'ailleurs moi-même été surpris de la rapidité de la réponse à la question que j'avais posée.

L'emploi de caractères gras et de points d'exclamation répétés sont-ils le signe d'une susceptibilité ? J'espère que non.D'ailleurs,j'adressais dans mon esprit la question à une personne,l'auteur supposé du texte,Cbigorgne. Aucune critique n'est à prendre pour une attaque personnelle.

A titre de complément,j'avais aussi posée une question sur le "théorème de Kronecker",que je précise :le théorème de Kronecker est un résultat abstrait,mais dans son utilisation,que représentent les suites $a_{i}$ et $b_{i}$ ?Les "fréquences de Fourier généralisées" de l'approximation de certaines fonctions p-p?Les coefficients multiplicatifs du développement en "séries de Fourier généralisées"?

Les points d'exclamation sont seulement là pour souligner le caractère difficile de la réponse à la question posée. Ce n'est pas parce qu'on pose une question qui paraît simple que la réponse est simple. D'autre part, sans chercher à froisser quiconque, l'auteur principal de cet article n'est pas cbigorgne (voir l'historique).

Pour ce qui est du théorème de Kronecker, je vais préciser.Claudeh5 (d) 15 janvier 2010 à 14:01 (CET) Le théorème de Kronecker permet le calcul des presque périodes. Il ne s'utilise donc que sur les fréquences de Fourier généralisées. Soit f une fonction presque périodique au sens de Bohr. f est limite uniforme d'une suite de polynômes trigonométriques. Soit ε>0 un nombre aussi petit qu'on veut. Comme on a $f(t)\approx \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}e^{i\Lambda _{n}t}},$ il existe un N tel que le polynôme trigonométrique $P(t)=\sum _{n=1}^{N}{a_{n}e^{i\Lambda _{n}t}}$ approche f(t) à moins de ε/3. On a donc pour tout t $|f(t)-P(t)|\leq \epsilon /3.$ P(t) est presque périodique au sens de Bohr puisque c'est un polynôme trigonométrique (au sens généralisé). Soit τ>0 une η-presque période de P. On a ainsi $|f(t+\tau )-f(t)|\leq |f(t+\tau )-P(t+\tau )|+|P(t+\tau )-P(t)|+|P(t)-f(t)|\leq \epsilon /3+\eta +\epsilon /3.$ Donc en prenant η= ε/3, τ sera une ε-presque période pour f.

On prend donc ε tel que ${\frac {\epsilon }{\min _{1\leq n\leq N}|a_{n}|}}<1$, on est assuré qu'il existe un δ< π tel que $|\exp(i\delta )-1|={\frac {\epsilon }{\min _{1\leq n\leq N}|a_{n}|}}<1$ Alors, τ doit satisfaire aux N inégalités de la forme $|\Lambda _{n}\tau |\leq \delta \mod 2\pi ,$ où n varie de 1 à N.

Et cela revient à appliquer le théorème de Kronecker.Claudeh5 (d) 15 janvier 2010 à 14:51 (CET)

Cette explication vous satisfait-elle ?Claudeh5 (d) 16 janvier 2010 à 12:31 (CET)

l'utilisateur précédent, je sais pas, mais je pense que ça mériterait d'être rajouté (en fenêtre déroulante), non ?--Dfeldmann (d) 16 janvier 2010 à 13:46 (CET)

D'accord. J'en ai profité pour inverser les eta et les epsilon au début pour rester cohérent avec la suite.Claudeh5 (d) 16 janvier 2010 à 15:16 (CET)

+ correction d'une faute de frappe (Lambda à la place de a_n )Claudeh5 (d) 16 janvier 2010 à 18:22 (CET)

Il est dit deux choses dans le texte de l'article au point de vue des résultats :

.Toute fonction presque périodique peut s'écrire sous la forme $f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{i\Lambda _{n}t}$ où etc....

.Toute fonction p-p peut être approchée uniformément par une suite de polynômes trigonométriques.

N'y a-t-il pas une confusion,dans le développement sur le lien entre Kronecker et les presque-périodes, à propos de cette distinction?Un polynôme trigonométrique n'est-il pas une fonction de la forme $P_{N}(t)=\sum _{n=0}^{N}a_{n}e^{i\Lambda _{n}t}$,avec ${\Lambda }_{n}=n\omega$? (pour qu'on puisse retrouver la forme polynômiale par $P_{N}(t)=\sum _{n=0}^{N}a_{n}{(e^{i\omega t})}^{n}$).

Non, il n'y a pas de confusion !, Dans la théorie des fonctions presque périodiques, on considère que la somme partielle de la série de Fourier de f est un polynôme trigonométrique (dans un sens généralisé). Cela est dû à un des résultats intermédiaires nécessaire pour la presque périodicité de f+g: l'existence de presque périodes communes qui sont des multiples d'un même nombre.Claudeh5 (d) 18 janvier 2010 à 05:20 (CET)

Il y a au moins une confusion dans le vocabulaire dans le passage que vous avez ajouté sur le lien entre Kronecker et les presque-périodes.Il est écrit "Comme on a $f(t)\approx \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}e^{i\Lambda _{n}t}},$ il existe un N tel que le polynôme trigonométrique $P(t)=\sum _{n=1}^{N}{a_{n}e^{i\Lambda _{n}t}}$ approche f(t) à moins de ε/3".

Comme vous prenez la fonction P(t) avec des $\Lambda _{n}$ quelconques, il vaudrait peut-être mieux dire polynôme trigonométrique généralisé.

Quand j'ai lu dans l'article

Toute fonction p-p peut être approchée uniformément par une suite de polynômes trigonométriques (généralisés a été ajouté,mais le lien est toujours le même),je suis allé au lien dans lequel le polynôme trigonométrique se définit avec des fréquences multiples d'une fréquence donnée (pour moi aussi,c'est bien la définition que je connais du polynôme trigonométrique).

Le fait qu'il y a dans l'article deux résultats,séparément,veut-il bien dire qu'il existe deux approximations différentes d'une fonction p-p

-une approximation avec des $\Lambda _{n}$ généraux

-une approximation avec des polynômes trigonométriques ?

Bonjour, la différence entre les deux approximations est la même entre l'approximation uniforme d'une fonction continue sur un intervalle par une suite de polynômes (théorème de Stone Weierstrass) et l'approximation de la même fonction par une série entière, laquelle nécessite que la fonction soit analytique.--Cbigorgne (d) 20 janvier 2010 à 13:37 (CET)

Pensez à signer vos questions avec --~~~~.--Cbigorgne (d) 20 janvier 2010 à 13:40 (CET)

Démonstrations ?

Bonjour, serait-t-il possible de mettre un lien vers la démonstration du théorème de Kronecker "trop technique" svp ? Je ne le trouve nulle part ! — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 79.94.4.118 (discuter), le 9 janvier 2013 à 21:36‎.

J'ai créé théorème de Kronecker (approximation diophantienne). Anne (d) 12 janvier 2013 à 18:56 (CET)

Merci beaucoup, je regarde les références ! Du bon travail ! — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 90.14.103.93 (discuter), le 13 janvier 2013 à 23:32‎.

J'ai un doute sur :

« τ doit satisfaire aux N inégalités de la forme $|\Lambda _{n}\tau |\leq \delta \mod 2\pi ,$ où n varie de 1 à N et cela revient à appliquer le théorème de Kronecker »

Ces « inégalités mod 2π » signifient (Besicovitch, note p. 53) : il existe des entiers $x_{n}$ tels que $|\Lambda _{n}\tau -2\pi x_{n}|\leq \delta$, ou encore, en posant $a_{n}=\Lambda _{n}/(2\pi )$ : tels que $|a_{n}\tau -x_{n}|\leq \delta /(2\pi )$. Il suffit donc d'appliquer Dirichlet (et heureusement car dans Kronecker il y a cette hypothèse d'indépendance).

Dans l'intro de la version en anglais, depuis sa création en 2003, on fait allusion à Kronecker mais sans explication. Anne (d) 14 janvier 2013 à 03:02 (CET)

tu as absolument raison de douter ! Dirichlet suffit pour calculer les presque périodes. On a $|\Lambda _{n}\tau -2\pi x_{n}|\leq \delta$ donc en divisant par $2\pi$ on obtient (on ne s'intéresse en fait qu'à $\tau$) :

$|\Lambda _{n}\tau '-x_{n}|\leq {\frac {\delta }{2\pi }}$ où $\tau =2\pi \tau '.$

Prenant $\delta /2\pi$ assez petit, on a $\delta /2\pi \geq 1/q$ soit $q=\left[{\frac {2\pi }{\delta }}+1\right]$ donc on trouve, en supposant $t_{0}=1$, que $\tau =2\pi \tau '\leq 2\pi \left(\left[{\frac {2\pi }{\delta }}\right]+1\right)^{N}.$Cordialement dit, le Tigre à dents de sabre..Claudeh5 (d) 10 mars 2013 à 21:27 (CET)

J'ai relu le passage de Favard sur le calcul des presque périodes. La confusion vient probablement de ce que Favard attribue à Kronecker la démonstration de l'existence de solutions du système d'équations

$|a_{n}\tau -x_{n}|\leq \delta /(2\pi )$ mais il semble y avoir une condition d'indépendance des a_n... ??? Cordialement dit, le Tigre à dents de sabre..Claudeh5 (d) 10 mars 2013 à 22:09 (CET)

Maintenant, je n'ai pas vérifié si le théorème de Kronecker n'est pas nécessaire pour démontrer que toute fonction presque-périodique est limite uniforme de polynômes trigonométriques généralisés !

J'ai vérifié (Besicovitch p. 29-31) : il ne sert pas non plus pour ça. Il fait seulement une brève apparition (p. 35-37) dans un résultat apparemment anecdotique. Anne (d) 11 mars 2013 à 03:06 (CET)

Typo

C'est quoi « l'intervalle d'inclusion [o,l] », dans le point 3 de la boîte « Démonstration de ces résultats » ? Anne (d) 14 juillet 2013 à 11:40 (CEST)

[zéro,l] On peut confondre L (formellement longueur de l'intervalle d'inclusion) avec l'intervalle [0, L]. Dire que f est e-presque périodique de presque période T <= L ("longueur" de l'intervalle d'inclusion) c'est dire qu'à e près, f se répète depuis l'intervalle [0, T].Cordialement dit, le Tigre à dents de sabre..Claudeh5 (d) 14 juillet 2013 à 12:05 (CEST)

poésie

A mon sens, "le théorème de Liouville veille !", c'est plus de la "poésie" que de l'encyclopédie - mais peu-être je suis seul avec cette perception?. — MFH 16 février 2016 à 13:05 (CET)