Discussion:Lemme d'estimation

Chemin rectifiable

Le "lemme d'estimation" s'applique à un chemin rectifiable qui n'est pas nécessairement un lacet ; c'est d'ailleurs le cas du demi-cercle proposé en exemple dans l'article, qui n'est pas un lacet. -Vivarés (d)

Ok, merci pour la rectification (sans jeu de mots) Thibaut Liénart (d) 29 juin 2009 à 12:03 (CEST)

Explication intuitive à prendre avec précaution

L'explication (en provenance de la wikipédia de langue anglaise) n'est pas très claire et peut même chez un utilisateur non averti conduire à des erreurs.

Elle semble dire : si pour tout point z du chemin $\gamma$, $|f(z)|\leq M$, alors $\left|\int _{\gamma }f(z)\,dz\right|\leq \left|\int _{\gamma }M\,dz\right|$.

Ceci est faux : si on prend par exemple pour chemin un lacet, alors le prétendu majorant est toujours nul (d'après le théorème de Cauchy).

Plus généralement, si $f_{1},\,f_{2}$ sont deux fonctions continues telles que pour tout point z du chemin $\gamma$, $|f_{1}(z)|\leq |f_{2}(z)|$, on ne peut pas en déduire que $\left|\int _{\gamma }f_{1}(z)\,dz\right|\leq \left|\int _{\gamma }f_{2}(z)\,dz\right|$.

De même, il est faux en général que $\left|\int _{\gamma }f(z)\,dz\right|\leq \left|\int _{\gamma }|f(z)|\,dz\right|$.

En fait, le lemme d'estimation résulte de l'inégalité suivante : $\left|\int _{\gamma }f(z)\,dz\right|\leq \int _{\gamma }|f(z)|\,ds$, où ds désigne l'élément d'arc sur le chemin rectifiable (c'est, avec d'autres notations, la première inégalité de la page 48 des notes de cours de Michèle Audin). Vivarés (d) 28 juin 2009 à 19:40 (CEST)

Salut, la partie que tu voudrais changer c'est la phrase après "Intuitivement ..." dans l'intro ? Parce que je l'ai peut être mal traduite mais il me semble au contraire que c'est plutôt clair au niveau de l'approximation d'une intégrale curviligne par une somme de petits segments sur lesquels la fonction possède chaque fois un majorant/borne supérieure... Je comprend plutôt ça comme suit :

$\left|\int _{\gamma }f(z)dz\right|\approx |\sum _{i}^{n}f(\chi _{i})\Delta z_{i}|\leq \sum _{i}^{n}|f(\chi _{i})|\Delta z_{i}\leq M\sum \Delta z_{i}$ etc... tu n'est pas d'accord avec cette explication ou tu trouves juste que c'est mal expliqué ?Thibaut Liénart (d) 29 juin 2009 à 11:59 (CEST)

Je ne critique pas la traduction, mais l'explication elle-même, trop floue et pouvant mener aux erreurs que je signale. Dans ton explicitation, les $\Delta z_{i}$ sont complexes, donc chacune des deux inégalités

$|\sum _{i}^{n}f(\chi _{i})\Delta z_{i}|\leq \sum _{i}^{n}|f(\chi _{i})|\Delta z_{i}\leq M\sum \Delta z_{i}$

est dépourvue de sens (il n'y a pas d'inégalités entre nombres complexes). Une "justification heuristique" acceptable (en fait une esquisse de démonstration) serait la suivante :

$\left|\int _{\gamma }f(z)dz\right|\approx \left|\sum _{k=1}^{n-1}f(z_{k})(z_{k+1}-z_{k})\right|\leq \sum _{k=1}^{n-1}|f(z_{k})|\cdot |z_{k+1}-z_{k}|\leq M\sum _{k=1}^{n-1}|z_{k+1}-z_{k}|$

et $\sum _{k=1}^{n-1}|z_{k+1}-z_{k}|\approx {\rm {{L}(\gamma )}}$ : la somme des distances (modules des différences) entre points successifs pris sur l'arc (autrement dit, la somme des longueurs des cordes) est une approximation de la longueur totale de l'arc. Cordialement, Vivarés (d) 29 juin 2009 à 12:32 (CEST)

Salut, c'est tout à fait cela que je voulais dire, par paresse j'ai mis des $\Delta$ enfin bref.. donc tu es d'accord avec l'explication il me semble ? Thibaut Liénart (d) 29 juin 2009 à 12:50 (CEST)

Ce qu'il faut expliquer, d'une manière ou d'une autre, c'est comment la longueur de l'arc (qui ne s'obtient pas par une intégrale complexe, mais par une intégrale curviligne réelle) apparaît dans la majoration. L'idée intuitive, c'est que si on prend sur l'arc deux points infiniment voisins z et z + dz, alors la longueur de l'arc élémentaire est ds = |dz| (le module de dz). Vivarés (d)|

A part remettre une sorte de démonstration intuitive de la longueur d'un arc j'avoue que je vois pas trop ce que tu voudrais faire (je me suis un peu embrouillé, on parlait d'abord du problème de l'explication intuitive et puis j'ai l'impression qu'on s'est un peu égaré). Cependant, tu peux modifier l'article/l'introduction et je verrai sans doute mieux ! Cordialement, Thibaut Liénart (d) 29 juin 2009 à 13:43 (CEST)

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Je propose de formuler de manière partiellement informelle la justification heuristique donnée ci-dessus. Ce sera un (tout petit) peu moins concis que la version traduite de l'anglais, mais on n'a rien sans rien.

Justifions intuitivement le lemme. En subdivisant le chemin $\gamma$ en un grand nombre de petits arcs d'extrémités successives $z_{1},\dots z_{n}$, on approche l'intégrale I par la somme des produits $f(z_{k})(z_{k+1}-z_{k})$ (1 ≤ k ≤ n - 1) ; or le module de chaque produit se majore par $M\,|z_{k+1}-z_{k}|$, où M est le maximum de |f | sur $\gamma$ et $|z_{k+1}-z_{k}|$ la longueur de la corde joignant $z_{k}{\text{ à }}z_{k+1}$. Comme la somme des longueurs de ces cordes approche la longueur de $\gamma$, on peut s'attendre (grâce à l'inégalité triangulaire) à la majoration $|I|\leq M{\rm {{L}(\gamma )}}$.

Vivarés (d) 29 juin 2009 à 18:11 (CEST)

Ok ! Juste un détail : on approche l'intégrale par la somme des produits $f(\chi _{k})(z_{k+1}-z_{k})$ avec $\chi _{k}\in ]z_{k},z_{k+1}[$ il me semble. Pour le reste je trouve ça bien.Thibaut Liénart (d) 30 juin 2009 à 12:50 (CEST)

En fait, on peut choisir $\chi _{k}$ n'importe où sur l'arc d'extrémités $z_{k},\,z_{k+1}$, extrémités comprises. Par conséquent, je maintiens ce que j'ai écrit ; avec tes notations, je n'ai pas dit qu'il faut prendre $\chi _{k}=z_{k}$, mais on peut le faire. Vivarés (d) 30 juin 2009 à 17:03 (CEST)

Voilà, c'est ajouté, dis moi ce que tu en penses (j'ai un petit peu adapté mais ca reste très proche de ce que tu avais mis). Pour le $c_{k}$, excuse-moi ! je préfère juste garder le cas "général". J'ai bien compris ce que tu as dit mais je pense qu'il n'y a pas de raison qu'on prenne $z_{k}$ plutôt que n'importe quel autre point de la portion d'arc. En fait je trouve ça plus clair (d'ailleurs quand j'ai vu ta démonstration la première fois je ne voyais pas pourquoi t'avais chois $z_{k}$). Thibaut Liénart (d) 30 juin 2009 à 19:51 (CEST)

Je n'insiste pas particulièrement sur ce point, mais le choix que j'ai indiqué est fréquent (pour les intégrales simples, c'est celui qui qu'on utilise dans l'approximation de l'intégrale au moyen de la méthode des rectangles, avec une subdivision régulière de l'intervalle). Vivarés (d) 30 juin 2009 à 20:54 (CEST)

La version finale contient des incohérences (nombre de petits arcs et de termes de la somme, et que vient faire $z_{k-1}$ ? )Vivarés (d) 1 juillet 2009 à 00:31 (CEST)

Tout à fait, distraction de ma part, désolé ! J'ai tout décalé de un (zk - zk-1) pour que ca reste cohérent avec la figure[ j'ai repris l'intro avec tes notations (plus correctes et surtout plus standard). j'en ai profité pour mettre à jour l'illustration en png (magie ça donne beaucoup mieux !)Thibaut Liénart (d) 3 juillet 2009 à 22:21 (CEST)