Discussion:Lemme de Jordan

Enoncé trop fort

Il me semble qu'il suffit de prendre une fonction continue, non? Valvino ^(discuter) 18 juillet 2009 à 15:49 (CEST)

où ça ?Claudeh5 (d) 1 août 2009 à 16:08 (CEST)

Dans le lemme de Jordan. Valvino ^(discuter) 1 août 2009 à 21:04 (CEST)

quel lemme (énoncé I, II ou III)? je ne comprends. Quelle fonction continue ?Claudeh5 (d) 1 août 2009 à 21:23 (CEST)

Dans le premier énoncé, il me semble que le lemme est valable si la fonction f est supposée continue, et non pas analytique. Valvino ^(discuter) 1 août 2009 à 22:17 (CEST)

Je ne crois pas que l'on puisse relaxer les conditions. Déjà, s'il y avait pour une fonction analytique des points de branchement en nombre infini de modules croissants vers l'infini, le lemme serait faux ! En plus tu as ausstôt un problème de définition de l'intégrale complexe qui ne dépend plus seulement des extrémités mais aussi du chemin parcouru (cf conditions de Cauchy).Claudeh5 (d) 2 août 2009 à 08:53 (CEST)

Démonstration

Salut Claude, il est bien l'article ! pour la démonstration cependant tu démontres ce que t'appelles toi même "la version particulière" or je pense qu'il serait intéressant de démontrer "l'autre version" aussi. Par ailleurs j'ai l'impression qu'il s'agit de deux hypothèses bien différentes. Selon moi, il faudrait modifier l'énoncé avec : si f satisfait l'une des deux hypothèses suivante (la première étant $\exists M,R$ etc. et l'autre étant celle avec $\exp(iax)$ etc. alors l'intégrale curviligne le long du demi-cercle tend vers zéro à la limite. Dans la littérature il semble que les auteurs prennent l'une ou l'autre des deux hypothèses et appelle le résultat (= l'intégrale curviligne nulle) le lemme de Jordan, je ne pense donc pas qu'il s'agisse d'une version particulière. Enfin dans le cours d'analyse de l'Ecole Polytech il considère bien les deux cas de manière séparée. Finalement on pourrait peut être ajouter que l'hypothèse que tu as mentionnées (il existe M, R etc;) est notamment vérifiée lorsque $f(z)=P(z)/Q(z)$ avec P et Q des polynômes pour lesquels le degré de Q est plus grand ou egal au degré de P + 2. Voilà pour mes petits commentaires, merci pour l'article ! Thibaut Liénart (d) 18 juillet 2009 à 21:55 (CEST) 

Ah... Dans le cours d'analyse ? lequel ? toujours préciser l'année et l'auteur ! j'en ai je nesais plus combien des cours d'analyse de l'école polytechnique. Voyons voir... Faisons une petite liste:

Cours d'analyse de l'école polytechnique de:

1. Bertrand, 1879-1880 et 1878-1879 (respectivement 1ere et 2eme division)
2. Bertrand, 1892-1893 et 1893-1894 (respectivement 2e et 1ere division)
3. Cauchy, 1821
4. Duhamel,1841
5. Favard,1960-1961-1962 4 volumes (3 tomes)
6. Hadamard, T1, 1927; T2, 1930
7. Hermite,1873
8. Humbert,1903 & 1904 (2 tomes)
9. Jordan, T1, T2 et T3 (
10. Jordan, 1882-1883 et 1881-1882
11. Jordan 1877-1878 et 1878-1879
12. Levy, 1921-1922 et 1924-1925, 1930-1931, 1949-1950
13. Liouville
14. Prouhet & Sturm, 12e édition, 1901 (2 tomes)
15. Schwartz, 1967

Je crois que c'est tout (je n'ai pas cité D'Ocagne et son cours de géométrie, et d'autres cours qui ne sont pas d'analyse)

Pour les démonstrations, j'ai cité intégralement Jordan qui a fait la démonstration.Il m"e semble que c'est suffisant.Claudeh5 (d) 1 août 2009 à 16:09 (CEST)

Je parlais du cours de Jordan (tome 2 de la 2nde édition - 1894) , es-tu sûr que la version en $\exp(iax)$ soit une version particulière ? (c'est un détail mais j'ai l'impression qu'il s'agit de deux énoncés différents amenant à un même résultat) Thibaut Liénart (d) 2 août 2009 à 13:12 (CEST)

A mon avis c'est une version particulière en raison 1/ de la forme particulière de la fonction 2/ du domaine qui est dans chaque cas un demi-disque ou une portion de ce demi-disque, ce qui n'est pas le cas des deux autres énoncés.Claudeh5 (d) 2 août 2009 à 18:14 (CEST)

Ce qui me dérange un petit peu c'est que pour qu'un énoncé soit une "version particulière" il faudrait qu'il vérifie entre autre les hypothèses de l'énoncé "principal". Pour moi donc la condition $\lim _{|z|\to \infty }|zf(z)|=0$ est suffisante pour que l'intégrale tende vers zéro et la condition $f(z)=g(z)\exp(iaz)$ avec $|g(z)|\leq {M \over |z|}$ pour |z|>R avec M et R fixés (et a>0 si on est dans le demi plan sup) --ou encore : $\lim _{|z|\to \infty }|g(z)|=0$ -- est une autre condition suffisante pour que l'intégrale curviligne tende vers zéro. puisque dans cet autre cas la condition $|zf(z)|\to 0$ n'est pas spécialement vérifiée d'où l'autre démonstration. Thibaut Liénart (d) 3 août 2009 à 13:41 (CEST)

Le problème est que je ne l'ai jamais vu énoncé en un seul énoncé rassemblant les deux ou trois cas.C'est d'ailleurs facile à comprendre, car l'énoncé I est général tandis que le II ne fonctionne que pour un demi-cercle particulier donc à moins d'avoir un énoncé alambiquén je ne vois pas bien comment l'énoncer de manière synthétique.Claudeh5 (d) 9 août 2009 à 21:46 (CEST)