Discussion:Ordinal de Hartogs

Référence par rapport à l'historique

L'axiome de remplacement avait été ajouté en 1922. Donc en 1915 Hartogs avait travaillé dans la théorie Z et parlait d'ensemble bien ordonné plutôt que d'ordinal, OK ? Michel421 _{parfaitement agnostique} 18 juillet 2010 à 10:03 (CEST)

Produit cardinal

(typo : remplacer "et à donc" par "et a donc".) J'ai trop l'habitude de AC donc je n'ose plus rien affirmer sans lui : pour déduire 2 de 1 on prend A ensemble infini en quel sens, et pourquoi est-il alors équipotent à A union-disjointe A ? Anne Bauval (d) 2 juin 2011 à 15:10 (CEST)

J'ai précisé, on n'utilise pas que A équipotent à A union-disjointe A (qui se démontre avec AC, et anticipant une éventuelle question, pour la réciproque je ne sais pas, il me semble que c'est plus faible, ou alors on ne sait pas (?)). Il faut que ce soit n'importe que ensemble infini au sens non fini, car on veut en déduire que tous les ensembles sont bien ordonnés. Proz (d) 2 juin 2011 à 16:05 (CEST)

Existence

Parmi les parties de A dotées d'une relation de bon ordre figure A lui-même. Du coup, les autres sont-elles nécessaires ? Ne pourrait-on pas considérer seulement l'ensemble des relations de bon ordre sur A et terminer de la même façon ? JC.Raoult (discuter) 26 janvier 2024 à 10:46 (CET)

Déjà ça ne marche évidemment pas dans le cas fini (on obtient 1). Dans le cas infini sans AC : si A n'est pas bien ordonnable ça ne fonctionne évidemment pas (on obtient 0), donc ça ne peut pas marcher non plus. Avec AC, ça doit fonctionner, à vérifier, mais ça me paraît inutilement compliqué et surtout pas très intéresssant, car le principal intérêt du cardinal de Hartogs (voir les applications), c'est que son existence ne suppose pas AC. Proz (discuter) 26 janvier 2024 à 16:37 (CET)

En effet, utiliser AC n'a guère d'intérêt. Toutefois, si je reprends le texte, on considère l'ensemble des relations de bon ordre sur des parties de A. Qu'est-ce qui garantit que cet ensemble n'est pas vide dès que les parties sont infinies, sauf à appliquer Zermelo sur lesdites parties, ce qu'on veut éviter ? Ceci dit, je ne suis pas logicien et il y a sûrement des subtilités qui m'échappent. Mais je pense qu'elles échapperont aussi à tout lecteur attentif mais novice. JC.Raoult (discuter) 27 janvier 2024 à 11:58 (CET)

Mais c'est une conséquence de la démonstration ! Sinon par exemple 0 ∈ h_A, 1 dès que A est non-vide, etc. Il s'agit plus de familiarité avec le domaine (c'est un peu inévitable), que de subtilités cachées à mon avis. Proz (discuter) 28 janvier 2024 à 20:28 (CET)

OK, merci de vos réponses. À force d'y méditer, je pense avoir compris. JC.Raoult (discuter) 29 janvier 2024 à 09:15 (CET)