Discussion:Théorème de la bijection

Ce n'est pas le théorème de bijection

houla !!! ce qui s'appelle THEOREME de la bijection, c'est le fait que la bijection réciproque soit elle aussi continue. Le fait que f restrainte à I et f(I) soit bijective est facil : la surjectivité c'est le f(I) et l'injectivité provient de la stricte monotonie, d'ailleurs pour ca y'a pas besoin de continuité.

Je suis d'accord avec toi, du moins partiellement, tout fonction définie sur I est une surjection de I sur f(I). Si de plus elle est strictement monotone, c'est une bijection de I sur f(I). La version actuelle du théorème masque la partie importante du théorème, c'est à dire la nature de f(I). Si f est continue, f(I) est un intervalle et sa forme est connue avec précision grâce à la monotonie de f. La version de départ (novembre 2004) était à mon avis beaucoup plus claire. Je tente une réécriture.

En revanche, je ne suis pas d'accord avec ta version de dire que le théorème de bijection doit parler de la continuité de la réciproque. (voir Terracher par exemple). HB (d) 22 juillet 2009 à 08:26

le fait que f(I) soit un intervalle c'est le théorème des valeures intermédiaires (mais là on, n'a besoin que de la continuité pas de la bijectivité) que les bornes soient données par les limites aux bornes ca va aussi, je crois vraiment que la difficulté réside dans le fait que la réciproque est continue... faudrait voir quel nom il donne à ça dans la littérature.

Oui, bien sûr, ce n'est qu'un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. . La seule chose que je peux te dire c'est que le terme de théorème de bijection est couramment employé, en France , en TS, pour désigner ce corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. La propriété de la continuité de la réciproque n'y est, pour la plus part des cas, jamais évoquée. Sur le net je trouve ta propriété (une fonction continue strictement monotone sur un intervalle I possède une réciproque définie sur f(I), continue et de même sens de variation), elle est parfois citée sous le nom de théorème de l'application réciproque. Je ne sais pas s'il faut créer un petit article sous ce nom, ou compléter cet article. J'en parle sur le thé. HB (d) 24 juillet 2009 à 08:34

J'utilise (cours de prépa TSI) la version suivante : si f est une application de $I=[a,b]$ dans R et $J=[c,d$] avec c=min(f(a),f(b) et d=max(f(a),f(b)) , alors deux des trois propriétés suivantes impliquent la troisième : f est continue  ; f est strictement monotone ; f est une bijection de I vers J. Mais (à part mon cours :-)) j'ai pas de références pour ça, ni de nom pour ce théorème Dfeldmann (d) 25 juillet 2009 à 01:43

Le résultat est formulé de façon maladroite mais il est correct dans l'idée. Cependant, si l'expression « théorème de bijection » n'est référencée que dans le cours d'un enseignant en TSI, ça ne justifie pas la dénomination d'un tel article. Je préconiserais la redirection vers l'article « Théorème des valeurs intermédiaires » avec au besoin la rédaction d'un court paragraphe sur ce corollaire. Ambigraphe, le 26 juillet 2009 à 17:07

Le terme n'est pas utilisé seulement par un prof de TSI mais existe dans de nombreux bouquin de TS. L'énoncé n'est jamais celui de Dfeldmann qui présente lui une version originale et intéressante (mais non référencée). Les version de TS sont en général de la forme suivante

Une fonction continue et strictement monotone sur intervalle [a;b], détermine un bijection de [a;b] sur [f(a); f(b)] (si f est croissante ) ou sur [f(b), f(a)], si f est décroissante. On admet que ce résultat se généralise à des intervalles ouvert ou semi-ouverts

Je ne suis pas très favorable à une fusion avec le théorème des valeurs intermédiaires car je préfère des articles courts où l'information est immédiatement disponible plutôt qu'un article long où il faut se farcir de nombreuses considérations sur le théorème des valeurs intermédiaires pour en lire un corollaire.

Mais nous nous éloignons de la question de l'IP. Selon elle, le théorème de bijection serait, si j'ai bien compris, Une bijection continue de I sur J possède un réciproque continue de J sur I. Oui ? Non ?Faut-il compléter cet article en parlant des propriétés de la réciproque ? Faut-il créer un mini article pour énoncer et démontrer cette propriété ? Si oui - quel nom lui donner ? HB (d) 26 juillet 2009 à 22:58

Dans les bouquins que j'ai consulté (de prépas essentiellement), le théorème s'énonce plus ou moins de cette manière : soit $I$ un intervalle, $f$ continue et strictement monotone de $I$ dans $\mathbb {R}$. En notant ${\tilde {f}}$ la même fonction restreinte à l'arrivée à $f(I)$, on a alors 1. $f(I)$ intervalle de $\mathbb {R}$ 2. ${\tilde {f}}$ bijective 3. ${\tilde {f}}^{-1}$ strictement monotone de même sens que $f$ 4. ${\tilde {f}}$ est continue sur $f(I)$. Valvino ^(discuter) 26 juillet 2009 à 23:11

Comme les différents programmes scolaires n'ont pas l'air d'accord on pourrait prendre l'initiative : il y a la dedans deux difficultés qui, AMHA, méritent le nom de théorème. "l'image continue d'un intervalle en est un" c'est reconnu sous le nom de théorème des valeurs intermédiares, et dans le cas d'une application continue strictement monotone sur un intervalle le fait qu'elle induise un homéomorphisme (et j'insiste encore, la vraie difficulté est bien la continuité de la réciproque). En plus il me semble que pour les applications c'est bien pratique de savoir que les arcsinus, arcosinus, arctangente et leurs sosies hyperboliques sont continues...

aie, je ne suis toujours un peu réticente quand il s'agit de prendre l'initiative sur une définition car nous nous devons seulement de rendre compte de l'état des connaissances sur ce sujet. Sur 9 livres de TS consultés, 4 nomment le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires énoncé sous une forme voisine de ce que j'énonçais plus haut le théorème de bijection. Il me semble que ceux qui ont eu cette formation et uniquement celle-là méritent de retrouver cette notion dans l'article. Valvino affirme que le théorème de bijection dans le supérieur se complète par la notion d'homéomorphisme . Dans les trois livres du supérieur que j'ai consultés, cette propriété est bien citée mais ne porte pas de nom. Valvino peut-il confirmer l'attribution du nom de théorème de la bijection à sa version ? Sur le net, dans les cours de supérieur, le théorème de bijection fait effectivement référence à la continuité de la réciproque. Pourquoi donc ne pas faire figurer ici les deux acceptions. avec une introduction indiquant la polysémie du terme. du genre

en analyse réelle, on appelle théorème de la bijection un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires prouvant l'existence d'une bijection entre deux ensembles; Cette version se complète dans le supérieur par des propriétés touchant la réciproque de la bijection ainsi obtenue .

Ensuite, on pourrait envisager un découpage en deux sections I - Corollaire des valeurs intermédiaires (de niveau TS) II - Homéomorphisme (où apparaitrait la forme proposée par Valvino ainsi que les remarques de Dfeldmann). Cela demanderait une 4eme refonte de l'article mais si cela peut apporter plus de clarté pourquoi pas. HB (d) 27 juillet 2009 à 15:09

Mon bouquin de référence niveau prépa (les Monier) nomme le théorème que j'ai cité "théorème de la bijection réciproque". Je suis pour ta refonte. Valvino ^(discuter) 27 juillet 2009 à 15:13

Une bijection continue de I sur J possède un réciproque continue de J sur I ce me semble absolument évident et ne peut être qu'un corollaire facile.Claudeh5 (d) 27 juillet 2009 à 19:14

Ce qui est facile pour toi Claude, ne l'est pas forcément pour tout le monde. La notion est certes abordable en bac +1 et relativement facile à démontrer mais il me semble qu'il vaut mieux bien expliquer cette propriété et en montrer les limites. Il me semble important de dire qu'il faut se méfier des évidences et de signaler qu'il existe des bijections continues de A vers B dont la réciproque n'est pas continue (il suffit de prendre A sous forme de deux intervalles disjoints) ou des bijections de R dans R continues en a dont la réciproque n'est pas continue en f(a). La notion parait donc simple en bac + 6 mais pas tant que cela en bac + 1. HB (d) 27 juillet 2009 à 20:02

Et j'avais oublié ce contre-exemple précis (celui de f^-1 non continue en f(a)), alors je suis bien content que l'article l'incorpore à présent, bac +n ou pas ;-) Dfeldmann (d) 5 août 2009 à 14:33

La première phrase, qui date de janvier 2010, est en tous cas à revoir (cf. réponse d'HB le 22/7/2009 au début de cette discussion) : le théorème de la bijection ne se contente certainement pas d'affirmer « qu'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle constitue une bijection entre cet intervalle et son image » (ce qui n'utilise pas le TVI). Anne 27/2/2009, 19 h 44

Le point 2 du § Homéomorphisme est tout aussi navrant. Anne, 8/3/17, 20 h 02 Je viens d'amender ce § mais le RI reste à revoir. Anne, 22 h 07

Question sur une preuve

Bonsoir, la preuve de la continuité de f^{-1} ne me semble pas si évidente que ça. J'ai l'impression qu'il y a une erreur de logique dans la preuve présentée (continue => image est un intervalle, donc image un intervalle => continue. Mauvais raisonnement :) sauf si j'ai mal compris). Si g : J -> I est monotone et bijective, je vois la preuve de la continuité de g comme ça: soit $b\in I$, soit V un voisinage de b dans I. On veut montrer que $g^{-1}(V)$ est un voisinage de $g^{-1}(b$). On peut supposer que V contient un intervalle fermé [c, d] voisinage de b. Comme g est monotone, l'intervalle K d'extrêmités $g^{-1}(c),g^{-1}(d)$ est contenu dans $g^{-1}(V$). Si c et d sont différents de b, K est un voisinage de $g^{-1}(b)$. Si par exemple c=b, alors b est une extrêmité de I, et K reste un voisinage de $g^{-1}(b)$. Bon, ce n'est pas très joli, mais je ne vois pas comment faire mieux tout de suite. Liu (d) 30 octobre 2009 à 01:10 (CET)

A priori, je ne vois pas de faille, j'utilise une remarque démontrée plus haut : Pour f monotone sur un intervalle I, f non continue sur I =>f(I) n'est pas un intervalle. et j'utilise sa contraposée : ici, la fonction que tu appelles g est monotone sur J, g(J) est un intervalle donc g est continue. La question qui se pose est donc: faut-il être Bourbakiste en utilisant une propriété démontrée ailleurs ou faut-il en faire une autre spécifique? Question d'autant plus justifiée que cela ne t'a pas paru évident.HB (d) 30 octobre 2009 à 08:47 (CET)

Mille excuses, j'avais lu en diagonal. Pardon. Pour les étourdis comme moi, ne pourrait-on pas préciser un peu plus la référence (genre la dernière assertion de la remarque) ? J'en profite pour faire une remarque sur Remarque :). Personnellement je préfère les énoncés positifs et éviter autant que possible les négations. Donc j'aurais dis:

- une fonction injective continue sur I est nécessairement strictement monotone.

- une fonction monotone surjective d'un intervalle sur un intervalle est continue.

Mais c'est une question de goût. Liu (d) 30 octobre 2009 à 22:21 (CET)

L'énoncé donné par l'article n'a pas d'intérêt. Le fait qu'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle constitue une bijection entre cet intervalle et son image ne mérite pas le nom de théorème. Pour ce résultat, il n'y a d'ailleurs pas besoin que la fonction soit continue, ni qu'elle soit définie sur un intervalle. La phrase "Ce théorème n'est pas vrai sur les nombres rationnels" est fausse si le théorème est le premier énoncé de l'article. Bref, il y a besoin d'un sérieux nettoyage ! — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 2A01:CB00:36:4700:8034:6B4A:B6E2:873B (discuter), le 21 septembre 2019 à 21:30 (CEST)

Corollaire ?

Bonjour ! J'ai l'impression d'être un peu seul dans ce cas, mais je trouve que qualifier ce théorème de "corollaire du TVI" est hautement problématique. Un corollaire est censé être une conséquence immédiate d'un autre résultat ; ici, la démonstration de l'unicité de l'antécédent n'est certes pas très longue, mais elle apporte une véritable nouveauté ; et je ne parle même pas de la démonstration de la continuité de la réciproque. À mon sens il faudrait avoir un "théorème de surjectivité" (qui serait véritablement un corollaire du TVI) et un "théorème d'injectivité" (conséquence de l'hypothèse de stricte monotonie). 2001:861:8C81:4480:705A:58A8:722A:6958 (discuter) 1 juillet 2024 à 11:26 (CEST)

Je partageais un peu le caractère abusif du mot corollaire et m'apprêtais à changer le RI lorsque j'ai redécouvert un problème que je pointais déjà du doigt en 2009, corrigé, puis réintroduit. Une fonction strictement monotone est toujours une bijection de I sur f(I). En écrivant :

(...) le théorème de la bijection est un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, affirmant qu'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle constitue une bijection entre cet intervalle et son image.,

le RI ne met donc pas en évidence le rôle de la continuité et du th des V. I. dans ce théorème. Je proposerais bien quelque chose du genre

V1 : le théorème de bijection affirme le caractère bijectif de toute fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I à valeur dans f(I) et précise la nature de l'intervalle f(I). C'est une conséquence du théorème des valeurs intermédiaires.

Ou bien

V2: le théorème de la bijection est une conséquence du théorème des valeurs intermédiaires affirmant qu'une fonction $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle de bornes $a$ et $b$ constitue une bijection entre cet intervalle et un intervalle de bornes $\lim _{a}f$ et $\lim _{b}f$

mais ces versions ne me satisfont qu'à moitié.

En 2009, je proposais une autre formule plus vague mais qui a été retoquée par Ambigraphe

V3 en analyse réelle, on appelle théorème de la bijection un corollaire (conséquence?) du théorème des valeurs intermédiaires prouvant l'existence d'une bijection entre deux ensembles; Cette version se complète dans le supérieur par des propriétés touchant la réciproque de la bijection ainsi obtenue .

Il a peut-être des formulations plus heureuses. Des propositions? des avis? HB (discuter) 2 juillet 2024 à 09:33 (CEST)

Merci HB pour cette réponse ! Je propose, en mêlant V1 et V2 :

En analyse réelle, le théorème de la bijection affirme qu'une fonction $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ réalise une bijection de $I$ dans $f(I)$. La nature de $f(I)$, à savoir un intervalle de bornes $\lim _{a}f$ et $\lim _{b}f$, est une conséquence du théorème des valeurs intermédiaires. 2001:861:8C81:4480:9F77:8D0C:80EA:A30B (discuter) 4 juillet 2024 à 14:50 (CEST)

(conflit de version) Je ne me souviens pas d’avoir retoqué cette version, mais si j’ai une critique à faire à cette formulation, en dehors du vocabulaire employé de corollaire déjà mis en question plus haut, c’est que ce n’est pas un théorème d’existence. Le théorème de bijection est une propriété universelle. Il améliore effectivement le théorème des valeurs intermédiaires au sens où il énonce à la fois pour chaque valeur (strictement) comprise entre les limites aux bornes de l’intervalle l’existence et l’unicité d’un antécédent. C’est ainsi qu’il est utilisé dans le contexte scolaire.

Il est vrai que les mêmes hypothèses suffisent à donner une propriété supplémentaire, à savoir que la réciproque est aussi continue, mais les publications scolaires ne le mentionnent pas. On peut le signaler dans le RI, en distinguant ce résultat du théorème. Ambigraphe, le 4 juillet 2024 à 14:53 (CEST)

Non, la version proposée par 2001:861:8C81:4480:9F77:8D0C:80EA:A30B (merci pour la praticité du nom) ne constitue pas l’énoncé proprement dit du théorème de la bijection, comme cela a été souligné plus haut : le fait qu’une fonction réalise une bijection sur son image est le fait de n’importe quelle fonction injective, en particulier des fonctions croissante. Si vous voulez un énoncé explicite, « le théorème de la bijection énonce que si f est une fonction continue strictement monotone sur un intervalle I, toute valeur comprise (strictement) entre les valeurs (ou les limites) aux bornes de I admet un unique antécédent par f. En ce sens, ce théorème améliore l’énoncé du théorème des valeurs intermédiaires qui assure seulement l’existence des antécédent, c’est-à-dire une propriété de surjectivité. » Ambigraphe, le 4 juillet 2024 à 14:58 (CEST)

il me semble qu'il manque un bout : « toute valeur comprise (strictement) entre les valeurs (ou les limites) de f aux bornes de I admet un unique antécédent par f ».

Personnellement, le strictement entre parenthèse me dérange car j'y ai d'abord vu une précision alors qu'il s'agit en fait d'une sorte de respectivement. On peut être plus vague : toute valeur comprise au sens large ou strict entre les valeurs ou les limites de f aux bornes de I admet un unique antécédent par f. La formule en langage sans symbolisme rend amha le discours plus difficile à comprendre mais si il n'y a pas d'autres propositions, il faudra la prendre car il est nécessaire de corriger l'intro.

Merci IP 2001:861:... d'avoir soulevé le pb mais je partage l'idée d'Ambigraphe sur le fait que ta proposition recèle une ambiguïté: le th des V.I. ne sert que pour dire que f(I) est un intervalle, la forme de cet intervalle fait de nouveau intervenir les propriétés des fonctions monotones.

Quant aux propriétés de la réciproque, je pense que le consensus obtenu en 2009 n'a pas raison de changer : focus sur la bijection puis paragraphe complémentaire sur la nature de la réciproque.

HB (discuter) 4 juillet 2024 à 15:27 (CEST)

Merci pour vos réponses ! Pour revenir à la question de départ, il me semble que les idées échangées montrent bien que le théorème de la bijection n'est en rien un simple corollaire du TVI. Il faudrait au moins corriger ça dans l'article, puisque cette fausse idée a tendance à infuser dans l'enseignement secondaire ; et par expérience, le TVI et son "corollaire" se confondant, les étudiants ont ensuite la fâcheuse tendance à justifier l'existence *et* l'unicité d'une solution d'équation par le TVI. 2001:861:8C81:4480:9F77:8D0C:80EA:A30B (discuter) 5 juillet 2024 à 00:36 (CEST)

Proposition mise en place. HB (discuter) 5 juillet 2024 à 07:54 (CEST)

Choix du contre-exemple sur Q

 Ambigraphe : pourquoi le choix d'un contre-exemple aussi compliqué au lieu de prendre $f:\mathbb {Q} _{+}\to \mathbb {Q} _{+}\,;\,x\mapsto x^{2}$ et la recherche d'un antécédent de 2, tellement plus classique? HB (discuter) 5 juillet 2024 à 11:47 (CEST)

Pour avoir un exemple non prolongeable par continuité ? Dfeldmann (discuter) 5 juillet 2024 à 11:52 (CEST)

Ah! ok. HB (discuter) 5 juillet 2024 à 13:54 (CEST)

Peut-être que cette absence de prolongement par continuité est trop spécifique pour être évoquée dans le RI ? Ambigraphe, le 7 juillet 2024 à 09:19 (CEST)