Discussion:Transvection
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Condition équivalente 1 à la définition d'une transvection ?
modifierBonjour, Il me semble que la condition "f linéaire et (f - id)² = 0" (qui équivaut à Im(f - id) inclus dans Ker(f - id)) n'implique pas que f soit une transvection. Dans R^4 je prends comme exemple la matrice M de f dans une base B : [(1, 0, 0 ,0); [(1, 1, 1 ,0); [(0, 0, 1 ,0); (0, 0, 1 ,1)] (lire (1, 0, 0, 0) : première ligne, etc ...) Si mes calculs sont exacts, on a bien (f - Id)² = 0 mais Ker(f - Id) est engendré par les deux vecteurs (0, 0, 0 ,1) et (0, 1, 0, 0). Ker(f - Id) n'est donc pas un hyperplan de E = R^4 et f n'est pas une transvection. On a : {0} inclus dans Ker(f - id) inclus dans Ker(f - id)² = E mais dim E = n n'implique pas que dim Ker(f - id) = n - 1 (hyperplan). On peut seulement dire que dim Ker(f - id) < n. 92.135.113.48 (d) 4 octobre 2010 à 22:19 (CEST) Lanh
- Oui, je rectifie. Anne Bauval (d) 4 octobre 2010 à 22:48 (CEST)
A propos de la direction Im(f - id) de la transvection f.
modifierUne question qui m'a aussi posé problème (je ne connaissais pas jusqu'à présent le sujet des transvections) : il n'est pas évident que Im(f - id) soit une droite vectorielle (direction de la transvection). La définition dit seulement que Im(f - id) est inclus dans Ker(f - id), ce dernier étant un hyperplan de E. Je propose la démonstration suivante (à vérifier car je ne suis pas sûr de moi) Notons H = Ker(f - id) et soit G un supplémentaire de H. Donc dim G = 1 et E = G + H (somme directe) Soit v ౬ G, v ≠ 0. Alors w = f(v) - v ౬ Im(f - id) et w ≠ 0 (car v n'appartient pas à H). Tout élément x ౬ E se décompose de façon unique sous la forme x = xG + xH. Il existe λ ౬ K tel que xG = λv donc f(xG) = λf(v) = λ(v + w) = xG + λw et f(x) = f(xG) + f(xH) = xG + λw + xH = x + λw. Ainsi f(x) - x ౬ Vect{w}. Puisque Im(f - id) est un sous espace vectoriel on a Im(f - id) = Vect{w}. Peut-être peut-on rajouter cette propriété à l'article ? 92.135.113.48 (d) 6 octobre 2010 à 15:21 (CEST) Lanh
- Complètement d'accord, mais on peut aussi (c'est fait maintenant) invoquer le théorème du rang. C'est vrai que ça manquait, merci. Anne Bauval (d) 6 octobre 2010 à 20:32 (CEST)
Illustration redondante
modifierbonjour, la première illustration de l'article (issue du site anglais) devient redondante après l'ajout d'une illustration dans le paragraphe "exemples". Je propose de la supprimer.--Stfj (discuter) 18 décembre 2018 à 07:29 (CET)