Discussion utilisateur:Dfeldmann/Impossibilité (mathématiques)
Bonjour, J'ouvre le feu !
- Il faut éviter (à mon avis) de traiter de problèmes qui ont des solutions ! l'équation x²=-1 a des solutions même si elles ne sont pas réelles. C'est justement tout le génie mathématique que de trouver des moyens de résoudre un problème qui, posé crûment, n'en a pas. J'avais, lors de la rédaction de l'article équation (mathématiques), proposé et rédigé un paragraphe qui expliquait partiellement cette question. Mais suite à une intense polémique ce paragraphe a disparu.
- des exemples manifestement faux ! exp(-x²) a bien une primitive qui ne s'exprime pas en termes finis mais elle existe.
Claudeh5 (d) 2 août 2009 à 12:40 (CEST)
- Oui, mais non : 1) dire que la quadrature du cercle est impossible, c'est "avec la règle et le compas seul" , idem pour ertf(x): l'impossibilité absolue est-elle envisageable? a-t-elle seulement un sens? 2) réciproquement, pendant longtemps, les solutions de x^2=-1 sont vécues comme "absurdes", etc.,mais acquièrent progressivement droit de cité, tandis que les infiniments petits, au contraire, suscitent une méfiance croissante... Jusqu'à Robinson, qui était le plus "impossible " des deux ? 3) évidemment, j'envisage de rappeler tous les enjeux (c'est le sens de mon dernier point : mathématiciens et impossibilité), et de sourcer les débats. Mais ça risque de faire un article assez gigantesque, si on fait pas attention.
- Bref, merci de tes remarques, mais à ce stade, je ne pense pas encore avoir raté un élément essentiel de la question. Mais mes premiers essais me montrent à quel point le ton encyclopédique est difficile sur ce genre de sujet.--Dfeldmann (d) 2 août 2009 à 15:23 (CEST)
Perso je pige que dalle à tout ça mais deux petites choses :
- Brouillonner de son côté est une bonne chose (j'ai plus de 2900 éditions de ma page de test ce qui représente plus de 12 % de mes contributions totales).
- Mon allergie revient : pour info, les "guillemets droits" sont proscrits et doivent être remplacer par les « guillemets français » (voir Wikipédia:Conventions typographiques#Guillemets).
Voilà, bonne continuation. --'toff [tailler le bout de gras] 2 août 2009 à 14:00 (CEST)
- Pas de problème si j'y pense (mes fichiers TeX persos le font automatiquement, alors ici j'ai du mal). Mais je suis certain que d'autres contributeurs tatillons (ou ardents défenseurs de la langue, c'est selon) de ton genre se feront une joie de venir me corriger si j'oublie--Dfeldmann (d) 2 août 2009 à 15:23 (CEST)
- Sous GNU/Linux j'utilise AltGr+w pour « et AltGr+x pour » il y a aussi en principe un raccourci pour les guillemet anglophone AltGr-² et AltGr-& mais chez moi ça marche pas (avec ma config) Mai 2014
Commentaires
modifierCe sujet est intéressant, mais hautement polémique : je pense que son sourçage devrait être en béton, et j'espère que tu pars de sources pour l'établir.
Un des pièges du sujet est de distinguer des impossibilités relatives (par rapport à quelque-chose, un jeu d'axiomes donné, un corps donné (pour x²=-1), la règle et le compas etc..), des impossibilité plus fondamentales (dixième problème de Hilbert et tout ce qui est lié au théorème d'incomplétude de Gödel, les démonstrations (pas encore démontrées impossibles, mais supputées impossibles) de P=NP, de l'hypothèse de Riemann etc.. qui sont beaucoup plus intéressantes AMO.
Bon courage ! et n'oublies pas les sources ! Cordialement --Jean-Christophe BENOIST (d) 2 août 2009 à 17:11 (CEST)
Autre remarque, qui prolonge un peu celles que je viens de faire. Tu sembles (pour le moment) te focaliser sur des impossibilité assez "faibles" et "relatives", comme x²=-1, ou 1/0 (qui admet des interprétations mathématiques, notamment sur la sphère de Riemann). Tu as déjà eu, et tu aura encore, des remarques sur leur impossibilité tout à fait relative. Une "impossibilité" algébrique beaucoup plus intéressante, serait plutôt d'aborder la valeur de "0^0".. --Jean-Christophe BENOIST (d) 2 août 2009 à 17:41 (CEST)
- Je ne suis pas tout à fait d'accord : certes , est relatif (à R), quoique l'histoire soit nettement plus compliquée, vu que même les nombres négatifs étaient regardés avec méfioance) ; 1/0, c'est déjà moins clair : la division par zéro est essentiellement impossible dans tout anneau (impossibilité algébrique), et l'idée de prolonger la fonction 1/x à la shère de Riemann est d'un tout autre type, menant plutôt aux questions liées à la valeur de ln (-1), à mon avis. Mais d'autre part, y a t-il vraiment des impossibilités absolues, ou plutôt ne se ramène-t-on ps toujours à "si (T) (un système d'axiomes donné) est supposé vrai, alors P, de la forme , est toujours fausse" ? Et où est le problème avec 0^0 ? La seule chose impossible est de prolonger en (0,0) par continuité, mais cela n'empêche nullement de prendre sans grand inconvénient 0^0=1. Enfin, si en effet Gödel est essentiel, le fait qu'une conjecture actuelle doive finalemant s'avérer indécidable, bien qu'intéressant, mérite plutôt qu'on analyse d'abord les situations de ce type (genre "hypothèswe du continu", sans même parler de l'axiome du choix) qui se sont déjà produites, et de voir ce que les professionnels ont décidé à leur sujet... --Dfeldmann (d) 3 août 2009 à 02:54 (CEST)
- Oui, j'ai fait attention à ne pas parler d'impossibilité absolue, mais plutôt d'impossibilité fondamentale. Mais tout ces termes (relatif, absolu, fondamental etc..) sont des termes pour exprimer et faire sentir un avis dans une discussion, mais je ne crois pas qu'ils soient réellement employés pour qualifier "impossible" dans le domaine mathématique. Ce qui nous ramène au problème majeur potentiel de cet article : il faut absolument partir d'une ou plusieurs source(s) qui traite de ce sujet, et il me semble que ce n'est malheureusement pas le cas. Sinon, on va tout droit vers un travail inédit, ou plutôt une synthèse inédite, et je connais des articles qui ont été supprimés pour bien moins que cela. Surtout pour un sujet, encore une fois, potentiellement polémique ou ce qui est "impossible" selon Dfeldmann ne parait pas si impossible que cela à d'autres. Il faut sortir du "impossible selon Dfeldmann", ou "impossible selon JCB", et aller vers les "impossible selon XXXX", XXXX étant un mathématicien reconnu.
- Car il serait dommage que ton travail soit en définitive rejeté, et c'est un risque réel, car tu as un réel potentiel en tant que contributeur sur Wikipédia, et j'apprécie en ce qui me concerne ton style et ta clarté.
- Cordialement --Jean-Christophe BENOIST (d) 3 août 2009 à 09:33 (CEST)
- Je vois bien ce que tu veux dire. Bon, plutôt que d'entrer dans un débat sur d'éventuelles polémiques futures, au risque d'une récursivité redoutable, ne pourrais-tu plutôt jeter un coup d'oeil au brouillon actuel, qui devrait te donner une idée de ce que j'envisage, et me dire si, à ce stade, ça te parait ou non aller dans le mur? Mais sur le fond, "impossible" en général, effectivement, je suis pas sûr qu'on trouve ; ça me parait quand même pas redhibitoire vu que si on va par là, "équation", par exemple, on a du mal à trouver aussi... --Dfeldmann (d) 3 août 2009 à 10:07 (CEST)
- Pourtant de redhibitoire ça l'est dans le consensus actuel : un sujet -article traité fort médiocrement à partir d'un ouvrage le prenant sous un angle limité aura le suffrage quand un sujet-article visant l'exhaustivité et la rigueur sera rejeté s'il est composé par picorage d'ouvrages divers et variés, non propres au sujet. J'espère qu'on dépassera cela un jour, mais ce n'est pas pour demain. En tout cas, le "Il faut sortir du "impossible selon Dfeldmann" " est à considérer prioritairement pour Wikipédia. TigHervé (d) 4 août 2009 à 16:17 (CEST)
- Je vois bien ce que tu veux dire. Bon, plutôt que d'entrer dans un débat sur d'éventuelles polémiques futures, au risque d'une récursivité redoutable, ne pourrais-tu plutôt jeter un coup d'oeil au brouillon actuel, qui devrait te donner une idée de ce que j'envisage, et me dire si, à ce stade, ça te parait ou non aller dans le mur? Mais sur le fond, "impossible" en général, effectivement, je suis pas sûr qu'on trouve ; ça me parait quand même pas redhibitoire vu que si on va par là, "équation", par exemple, on a du mal à trouver aussi... --Dfeldmann (d) 3 août 2009 à 10:07 (CEST)
Un commentaire général sur le projet et son titre. Au fond, le sujet n'est-il pas plutôt: la vérité mathématique, ou la vérité en mathématique. Ce qui est mathématiquement vrai - et il convient ici de définir ce qu'est le mathématiquement vrai - est non seulement possible mais vrai depuis toujours et définitivement. Le mathématiquement faux est l'impossible. Il doit être possible de se passer de l'axiomatique pour aborder cette question (pour éviter de définir le mathématiquement faux ou l'impossible comme l'ensemble des propositions pour lesquelles il n'existe, pour chacune d'elles, aucun système cohérent d'axiomes dans lequel elle est vraie). Est dite mathématiquement vraie, une proposition qui est toujours et inconditionnellement vraie. Exemple: "il y a des choses" (ce qui reprend d'ailleurs l'axiome numéro un et non dit de toute axiomatique: il faut bien partir de quelque chose). La proposition 7 + 5 = 11, lorsque l'on a préalablement défini le 7, le 5 et le 11 est mathématiquement fausse. Abordée ainsi, cette discussion amène à la question (selon moi majeure): qu'est-ce que le mathématique ? Sujet qui est relié à la question, plus générale encore, de l'être (et de la logique). Druonserge (d) 5 juillet 2013 à 15:10 (CEST)
Problèmes sans solution
modifier(d'abord, pourquoi mettre un s à solution quand il n'y a pas de solution ?).
- Je ne comprends pas pourquoi traiter de "x²=-1 (dans R)". Ce type de problème a des solutions dans C et est du même type que résoudre 3x=2 dans N qui n'a pas non plus de solution.Même si historiquement les choses sont plus compliquées, il ne s'agit mathématiquement que d'une extension algébrique qui n'a rien de particulier par rapport à l'extension algébrique de N en Z ou de Z en Q donc pourquoi faire une fixation sur l'extension algébrique de R en C ?(de ce point de vue, l'extension algébrique de Q en R est beaucoup plus difficile)
- Vous semblez confondre les problèmes "impossibles" avec les problèmes "impossible par certains moyens".La quadrature du cercle est possible mais pas avec la règle et le compas. Trouver une primitive de exp(-x²) n'est pas impossible (puisqu'il s'agit d'une fonction continue) mais l'exprimer en termes finis faisant intervenir des fonctions standards (closed form), non.
- par contre, il n'existe pas et il n'existera jamais d'algorithme permettant de dire si une équation diophantienne quelconque admet ou non des solutions. Là, il s'agit d'une vraie impossibilité.Claudeh5 (d) 7 août 2009 à 07:02 (CEST)
- Parce qu'il y a plusieurs problèmes :-) (mais bon, d'accord)
- Le problème "résoudre x²=-1(dans R)" n'a pas de solution. Pas plus que "construire un polygone régulier à 7 côtés (à la règle et au compas)". La parenthèse crèe l'impossibilité. Pour le reste, je n'envisage pas (surtout si on cherche des références) de me concentrer sur le point de vue contemporain : non seulement l'histoire de la question est essentielle, mais le passage à C, curieusement, n'est pas de même nature que les autres : il y a une construction naturelle de tous les "nombres" (les surréels) aboutissant au plus grand Corps ordonné (avec une majuscule, parce que ce n'est pas un ensemble), mais on ne peut récupérer ainsi directement ni les complexes, ni les p-adiques. Plus fondamentalement, une impossibilité ne doit pas (pas forcément, en tout cas) être analysée du point de vue des méthodes ayant conduit à sa solution, surtout quand elles sont multiples. En fait, c'est plus un heureux miracle qui fait que R[i] est algébriquement clos ; avec les p-adiques (et même avec les rationnels), ça ne marche pas du tout et les moyens de construire respectivement les nombres algébriques et sont nettement plus sophistiqués... Ce qui m'intéresse prioritairement, c'est de savoir ce que veulent dire d'Alembert, Euler, Galois, etc. affirmant que telle ou telle chose est impossible (les contemporains aussi, bien sûr)
- Ben non, je confonds pas... C'est même pourquoi il y a 4 ou 5 sections...
- Mouais. Dangereux, ça... Ou on suppose que la thèse de Church est vraie (voire démontrable), ce qui m'a l'air assez "idéologique", ou c'est une impossibilité "par certains moyens", à savoir des algorithmes. Bon, je me fais un peu l'avocat du diable, mais, comme toujours, un résultat mathématiques (à savoir le théorème de Turing sur le problème de l'arrêt, combiné avec les résultats de Matiyasevic ; et à ce compte, je trouve les résultats de Chaitin encore plus impressionnants) ne doit pas (ou avec beaucoup de pincettes) être étendu à des conclusions "philosophiques", d'impossibilité absolue, ici. --Dfeldmann (d) 7 août 2009 à 08:55 (CEST)
- En tout cas, ce qui est sûr (vrai et démontrable, il n'y a pas besoin de la thèse de Church pour cela), c'est que personne ne pourra jamais apporter un programme tournant sur un ordinateur (même quantique) pour évaluer une équation diophantienne (peut-être l'hypercalcul le permettra, mais cela reste très spéculatif); c'est une certaine forme d'"absolu", mais je préfère le terme "fondamental". Clairement, il y a des impossibilités "fondamentales", c'est à dire contournables (éventuellement) seulement en remettant en cause les fondements des mathématiques, et non fondamentales, qui trouvent une solution dans le cadre des mathématiques sans remettre en cause leur fondement ([réf. nécessaire] bien sûr ). Cordialement --Jean-Christophe BENOIST (d) 7 août 2009 à 09:36 (CEST)
- Parce qu'il y a plusieurs problèmes :-) (mais bon, d'accord)
- mouais... Construction de C à partir de R:
elle s'effectue à partir des deux lois + et . de R étendues. On crée l'ensemble RxR produit cartésien qu'on munit de deux lois notées provisoirement @ et * ainsi définies:(a,b) @ (c,d)= (a+c,b+d) et (a,b)*(c,d)=(a.c-b.d,a.d+b.c)
- Il reste alors à vérifier que (RxR,@,*) est un corps. On vérifie facilement que l'ensemble {(a,0),@,*} est un corps identifiable à (R,+,.). Par la suite on appelle ensemble C des nombres complexes les éléments du corps (RxR,@,*) qu'on notera plus simplement a+ib au lieu de (a,b), @ sera notée + et * x.
- construction de Q à partir de Z:
- on forme le produit cartésien ZxZ* qu'on munit de deux lois notées provisoirement @ et * ainsi définies:(a,b)@(c,d) =(a.d+b.c,b.d) et (a,b)*(c,d)=(a.c,b.d). On identifie deux éléments (a,b) ~ (c,d) ssi ad=bc et que cette relation est une relation d'équivalence compatible avec @ et *. Ce qui permet de faire le quotient ZxZ* par ~.
- On vérifie que (ZxZ*/~,@,*) est un corps dont ({(a,1)}/~,@,*) est un sous-anneau identifiable à (Z,+,.). On appelle Q l'ensemble quotient ZxZ*/~ munit des deux lois @ et * renommées en + et x.
- Je ne vois pas en quoi cela diffère sensiblement entre C et Q.
- on ne peut pas trouver une relation d'ordre total sur C compatible avec la structure de corps de C.Claudeh5 (d) 7 août 2009 à 10:53 (CEST)
- Oui, il me semble avoir déjà vu cela quelque part :-). Mais d'abord, ce ne sont que des constructions parmi d'autres. C peut être défini à partir de matrices , ou par quotient de par , etc. ; Q, c'est un peu plus délicat, mais Conway construit directement les rationnels dyadiques. Ensuite, du point de vu historique, ce qui est défini en premier, c'est N et les rationnels positifs. Et de toute façon, le problème n'est absolument pas de savoir quelle est le consensus moderne sur la question (et y a-t-il consensus?), mais de déterminer en quoi les complexes étaient ressenti comme plus (ou moins) impossibles que les infinitésimaux... A la limite, c'est ta position sur ces derniers qui m'intéresserait plus, parce que des réels (ou des "pseudo-réels") plus grands que tout entier (ou plus petit que tout inverse d'entier), ça semble bien impossible aussi... --Dfeldmann (d) 9 août 2009 à 01:40 (CEST)
- A mon avis, c'est, techniquement parlant, la construction de C qui est la moins chère et la plus simple (sauf à admettre l'existence d'un nombre i dont le carré est -1 ...). La construction de Q est de ce point de vue plus chère puisque nécessitant une relation d'équivalence.
- Pour les infinitésimaux, je n'ai franchement pas d'avis. Il ne semble pas y avoir de véritable construction des infinitésimaux avant l'analyse non standard (les premières constructions de nombres semblent être datées de Meray vers 1850 si l'on excepte l'interprétation géométrique des complexes qui est de toute façon postérieure à 1780 (Truel, si l'on suit Cauchy, ou Wessel, Argand, Mourey et Bellavitis, ...).Etant né après Cauchy, je ne connais pas le point de vue des anciens sur ces questions, point de vue qui ne semble pas être exempt de tout reproche quant à la rigueur, vue le nombre des interprétations des infiniments petits pour reprendre le terme de L'Hospital. Les explications de Newton, Bernoulli ou Leibniz, ... ne sont pas plus sérieuses. Il faut attendre Cauchy et Weierstrass pour avoir une définition des limites qui tiennent un peu la route, et cela au prix de la disparition des infiniments petits ! Là, franchement, je nesais tropquoi répondre.Claudeh5 (d) 9 août 2009 à 08:38 (CEST)
histoire ?
modifierun des pièges de ce genre d'articles est aussi de cibler correctement son sujet. S'agit-il d'un article à caractère historique ? sinon, la remarque concernant le fait que les anciens ont fait des fractions avant de définir les entiers négatifs n'a pas de sens. Je m'étais figuré qu'il s'agissait plus d'un article d'aujourd'hui sur l'impossible mathématique.Claudeh5 (d) 13 août 2009 à 15:20 (CEST)
- À vrai dire, dans mon esprit, c'était forcément surtout historique, préciésment parce que ce vocabulaire n'est plus tellement utilisé aujourd'hui (sauf peut-être, justement, en rapport avec des questions d'impossibilité absolue à la Chaitin). En même temps, quand on voit les questions que se posent les non-mathématiciens (genre : est-ce que c'est possible d'avoir un hypercube de dimension -4,7, pour prendre un exemple d'un truc rencontré récemment) , on se dit qu'il y a quand même besoin d'un article quelque part...--Dfeldmann (d) 14 août 2009 à 00:21 (CEST)
Orthographe
modifierComme je ne suis pas censé corriger l'orthographe de ce brouillon, je signale plusieurs fautes d'orthographe dans la section Propositions indémontrables.
«entachées d'erreurs logiques plus ou moins grave»[S]
«montre seuleemnt»
«d'imdémontrabilité » (indémontrabilité)
«il restera toujous» (toujours)
«apr» => par
Malosse (d) 4 septembre 2009 à 06:13 (CEST)
- si, si, tu peux :-) Et merci d'avance--Dfeldmann (d) 5 septembre 2009 à 10:04 (CEST)
Sujet
modifierBonjour,
Merci pour avoir démarré (et même beaucoup plus!) cette page, qui est d'une richesse, à mon humble (j'y tiens) avis, exceptionnelle... De la confrontation avec ce qui est impossible, ou le parait à un moment donné, naissent souvent des idées extrêmement fructueuses. Donc l'apport dans l'histoire des sciences (et bien au-delà) de ce thème de l'impossible est absolument essentiel (selon moi, j'insiste...). Il est fondamental d'arriver à savoir où est la frontière entre ce sur quoi on peut travailler... et là où l'espoir n'est pas permis.
En final: --> je suggérerais de classer cet article à un niveau d'importance "suffisant" (que j'estime élevé)
NB: ce thème va bien au-delà des mathématiques comme écrit ci-dessus, mais c'est tellement riche... Chaque discipline devrait avoir sa page "Impossible". Gerard (in space...) (d) 11 septembre 2009 à 22:11 (CEST)
Mathématiques constructivistes
modifierEn mathématiques, si on peut construire le problème à partir de la solution, on parle de mathématiques constructivistes. Et donc on va définir l'existence d'une solution à partir de l'existence de cette construction. La solution est alors le trajet inverse de la construction.
Je pense qu'on pourrait définir l'impossibilité d'une solution à partir d'une structure qui n'est pas constructible. Autrement dit une question n'a pas de solution si ce n'est pas une construction ou si aucune construction n'est possible. Et donc impossibilité de certaines questions. On pourrait aussi définir une question comme une fonction émergente d'un problème construit ou d'un problème en construction. En psychologie, les questions métaphysiques émergent de la conscience. Le problème est le "Je", la question émergente est "qui suis-je". Et la solution le "Je qui dit Je" ou le point de départ de la concsience (étonnement ce point est très semblable au point mathématique). Bien à vous.Tranquil Pepere (d) 22 mai 2013 à 12:46 (CEST)
- Euh... Je ne répondrai qu'une chose (concernant votre définition des mathématiques constructivistes) : avez-vous des sources ? Parce que c'est un sujet que je croyais connaître assez bien...--Dfeldmann (d) 22 mai 2013 à 13:59 (CEST)
Types de classements ?
modifierBonjour Denis, juste pour apporter encore un peu plus d’eau au moulin avant de faire le tri dans tout ça et de fermer les vannes, une suggestion parmi d’autres : un article général très résumé, puis d’autres plus détaillés…:
– Impossibles dans R
– Impossibles dans C
– Impossibles dans « une vision » (a)
– Impossibles dans « une vision » (b)
– Impossibilités intuitives (???)
– Indécidables
– ... (?)
What about... (?)
P-S : Une jolie intro bien ficelée et la plus claire possible, afin de ne laisser aucun place à des trucs un peu du genre : "Impossibles dans… etc., etc. (??? – ou seulement dans etc. !))) :)
PPS : J'ai bu la tasse !
Continuer au brouillon ou non ? Oui mais pdt combien de tps ? Up to you to decide, my friend ! Good luck ! --Cm8 (d) 22 mai 2013 à 17:35 (CEST)
Retro liens
modifierJe suis arrivé ici, à partir de http://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion:Th%C3%A9orie_quantique_des_champs. Connaitre la définition d'impossibilité mathématique aide. Je trouve ça difficille de faire le lien de http://fr.wikipedia.org/wiki/Impossibilit%C3%A9 vers http://fr.wikipedia.org/wiki/Possibilit%C3%A9_et_impossibilit%C3%A9 du coup jusqu'ici. J'ai rajouté un liens dans la page de discussion de Possibilité et Impossibilités. Le mieux selon moi, c'est de créer la page de discussion sur http://fr.wikipedia.org/wiki/Impossibilit%C3%A9_%28math%C3%A9matiques%29
Aussi, précisément, pourquoi ce brouillon ne peut pas être un article wikipedia tout en le marquant comme brouillon.
Désolé pour liens en dur.