Groupe de Steinberg (K-théorie)

Dans le domaine mathématique de la K-théorie algébrique, le groupe de Steinberg St(A) d'un anneau unitaire A est un groupe défini par générateurs et relations, à partir de certaines relations vérifiées par les matrices élémentaires de transvections. Il est nommé d'après Robert Steinberg et est relié aux premiers groupes de K-théorie, en particulier K₂ et K₃.

Relations de Steinberg

Les matrices élémentaires de transvections e_pq(λ) pour p ≠ q — avec des 1 sur la diagonale, un coefficient λ en position (p, q), et des 0 partout ailleurs — vérifient les relations suivantes, appelées relations de Steinberg :

${\begin{aligned}e_{ij}(\lambda )e_{ij}(\mu )&=e_{ij}(\lambda +\mu ),\\\left[e_{ij}(\lambda ),e_{jk}(\mu )\right]&=e_{ik}(\lambda \mu )&{\text{si }}i\neq k,\\\left[e_{ij}(\lambda ),e_{kl}(\mu )\right]&=\mathbf {1} &{\text{si }}i\neq l{\text{ et }}j\neq k.\end{aligned}}$

Le groupe de Steinberg « stable » St(A) est défini par les générateurs x_ij(λ) (i, j ∈ ℕ*, i ≠ j, λ ∈ A), soumis à ces relations. C'est la limite inductive des groupes de Steinberg « non stables » St_n(A), définis de même mais pour i, j ≤ n.

Le groupe général linéaire « stable » GL(A) est défini comme la réunion croissante des GL(n, A), via l'identification de toute matrice carrée M de taille n à la matrice diagonale par blocs diag(M, 1), de taille n + 1. Par construction, il existe un unique morphisme de groupes φ : St(A) → GL(A) qui envoie les x_ij(λ) sur les e_ij(λ).

D'après le lemme de Whitehead, l'image de φ est le groupe dérivé de GL(A), c'est-à-dire que les matrices élémentaires de transvections engendrent, dans GL(A), le même sous-groupe que les commutateurs. Ce sous-groupe est noté E(A).

Liens avec la K-théorie

K₁

Le groupe K₁(A) est défini comme l'abélianisé de GL(A), c'est-à-dire le quotient de GL(A) par son sous-groupe dérivé E(A). Autrement dit, c'est le conoyau de φ.

K₂

Milnor a défini K₂(A) comme le centre de St(A).

C'est aussi le noyau du morphisme φ : St(A) → GL(A), de sorte qu'on a une suite exacte

1 → K₂(A) → St(A) → E(A) → 1.

Cette suite est en fait l'extension centrale universelle du groupe parfait E(A). Autrement dit, K₂(A) est le multiplicateur de Schur de E(A). Il s'écrit donc aussi comme un groupe d'homologie : K₂(A) = H₂(E(A), ℤ).

K₃

Gersten a démontré que K₃(A) = H₃(St(A), ℤ).

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Steinberg group (K-theory) » (voir la liste des auteurs).