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« Radical imbriqué » : différence entre les versions

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Annulation de la modification de Anne Bauval (d) je rétablis 6 petites modifs successives supprimées brutalement, surtout par incompréhention, par Anne Bauval (voir notre échange sur sa page de discussion). + nouvelle petite clarification
Balise : Annulation
m Révocation des modifications de 2A01:CB00:8697:8100:DD93:C278:57A9:1AF2 (retour à la dernière version de Anne Bauval)
Ligne 20 :
:<math>\sqrt{3+\sqrt8}=1+\sqrt2</math> ;
:<math>\sqrt{5-\sqrt{24}}=\sqrt3-\sqrt2</math> ;
:<math>\sqrt{2+\sqrt3}=\sqrt{3\over2}frac32+\sqrt{1\over2}frac12</math> .
SoientSi {{mvar|a}} et {{mvar|b}} sont des [[Nombrenombre rationnel|rationnels]] positifs tels que <{{math>\|{{sqrt |''b</math>''}}}} soit [[Nombre irrationnel|irrationnel]] et (strictement) inférieur à {{mvar|a}}., pour pouvoir mettre
 
Pour pouvoir mettre
:<math>\sqrt{a\pm\sqrt b}</math>
sous la forme
:<math>\sqrt c\pm\sqrt d\quad(c,d\in\Q_+)</math> ,
il faut et il suffit que le nombre
:<math>R:=\sqrt{a^2-b}</math>
soit rationnel. La solution est alors :
:<math>c={\frac{a+R}\over2}~2\text{ et }~d={\frac{a-R}\over2}2</math> .
:
{{Démonstration|contenu=
En élevant au carré, par exemple,
:<math>\sqrt{a+\sqrt b}=\sqrt c+\sqrt d</math> ,
on obtient :
:<math>\sqrt b-2\sqrt{cd}=c+d-a\in\Q</math> ,
c'est-à-dire :
:<math>c+d=a\quad\text{et}\quad b=4cd</math> .
Si {{mvar|c}} et {{mvar|d}} existent, ils sont donc les deux solutions de l'[[équation du second degré]] :
:<math>x^2-ax+{b\over4}frac b4=0</math> ;,
{{c.-à-d.}}
or <math>~\Delta=a^2-b>0</math> (par hypothèse), donc {{mvar|c}} et {{mvar|d}} existent (et sont distincts) :
:<math>c={\frac{a+\sqrt{a^2-b}}\over2}2\quad\text{et}\quad d={\frac{a-\sqrt{a^2-b}}\over2}2</math> .
}}
 
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