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« Radical imbriqué » : différence entre les versions

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Anne Bauval (discuter | contributions)
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m satisfait mon refnec du 23/11/2018 traduit de la v.o. (qui a, depuis, été remplacé là-bas par un TI)
Annulation de la modification de Braveheidi (d) je rétablis encore les modifs, supprimées par Braveheidi sans raison mathématique (voir notre échange sur sa page de discussion) ; je crois et j'espère que la ref ajoutée par Anne Beauval est conservée...
Balise : Annulation
Ligne 20 :
:<math>\sqrt{3+\sqrt8}=1+\sqrt2</math> ;
:<math>\sqrt{5-\sqrt{24}}=\sqrt3-\sqrt2</math> ;
:<math>\sqrt{2+\sqrt3}=\sqrt{3\frac32over2}+\sqrt{1\frac12over2}</math> .
SiSoient {{mvar|a}} et {{mvar|b}} sont des [[nombreNombre rationnel|rationnels]] positifs tels que {{<math|{{>\sqrt|'' b''}}}}</math> soit [[Nombre irrationnel|irrationnel]] et (strictement) inférieur à {{mvar|a}}, pour.

Pour pouvoir mettre
:<math>\sqrt{a\pm\sqrt b}</math>
sous la forme
:<math>\sqrt c\pm\sqrt d\quad(c,d\in\Q_+)</math> ,
il faut et il suffit que le nombre
:<math>R:=\sqrt{a^2-b}</math>
soit rationnel. La solution est alors :
:<math>c=\frac{{a+R}2\over2}~\text{ et }~d=\frac{{a-R}2\over2}</math> .
:
{{Démonstration|contenu=
En élevant au carré, par exemple,
:<math>\sqrt{a+\sqrt b}=\sqrt c+\sqrt d</math> ,
on obtient :
:<math>\sqrt b-2\sqrt{cd}=c+d-a\in\Q</math> ,
c'est-à-dire :
:<math>c+d=a\quad\text{et}\quad b=4cd</math> .
Si {{mvar|c}} et {{mvar|d}} existent, ils sont donc les deux solutions de l'[[équation du second degré]] :
:<math>x^2-ax+{b\frac b4over4}=0</math>, ;
or <math>~\Delta=a^2-b>0</math> (par hypothèse), donc {{mvar|c}} et {{mvar|d}} existent (et sont distincts) :
{{c.-à-d.}}
:<math>c=\frac{{a+\sqrt{a^2-b}}2\over2}\quad\text{et}\quad d=\frac{{a-\sqrt{a^2-b}}2\over2}</math> .
}}
 
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