Utilisateur:Jean-Charles.Gilbert/Brouillon3

Matrice symétrique copositive

En mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire et en optimisation, une matrice symétrique copositive est une matrice réelle carrée symétrique, dont la forme quadratique associée est positive sur l'orthant positif.

La notion de matrice symétrique copositive a été introduite et étudiée par Motzkin (1952).

La description des matrices copositives non nécessairement symétriques est faite ailleurs.

Notations

On note

$[\![1,n]\!]:=\{1,\ldots ,n\}\equiv [1,n]\cap \mathbb {N}$

l'ensemble des $n$ premiers entiers naturels non nuls.

Les inégalités vectorielles de la forme $v\geqslant 0$, avec $v\in \mathbb {R} ^{n}$, doivent se comprendre composante par composante ; ainsi l'inégalité précédente signifie que $v_{i}\geqslant 0$ pour tout $i\in [\![1,n]\!]$.

On note

• ${\mathcal {S}}^{n}$, l'ensemble des matrices réelles d'ordre $n$ symétriques,
• ${\mathcal {S}}_{+}^{n}:=\{A\in {\mathcal {S}}^{n}:x^{\top }Ax\geqslant 0~{\mbox{pour tout}}~x\in \mathbb {R} ^{n}\}$, le cône des matrices de ${\mathcal {S}}^{n}$ qui sont symétriques semi-définies positives.

Définition

Matrice symétrique copositive — Une matrice symétrique copositive est une matrice $A\in {\mathcal {S}}^{n}$ telle que

$\forall \,x\geqslant 0:\quad x^{\top }Ax\geqslant 0.$

L'ensemble des matrices symétriques copositives d'ordre $n$ est noté ${\mathcal {C}}^{n}$.

L'ensemble ${\mathcal {C}}^{n}$ est donc un ensemble plus grand que ${\mathcal {S}}_{+}^{n}$.

Annexes

Articles connexes

• Matrice complètement positive
• Matrice copositive (non nécessairement symétrique comme ici)
• Optimisation copositive

Bibliographie

• (en) A. Berman, N. Shaked-Monderer (2003). Completely Positive Matrices. World Scientific, River Edge, NJ, USA.
• (en) S. Bundfuss (2009). Copositive Matrices, Copositive Programming, and Applications. Dissertation, Technischen Universität Darmstadt.
• (en) P.J.C. Dickinson, L. Gijben (2011). On the computational complexity of membership problems for the completely positive cone and its dual. Optimization Online
• (en) M. Hall, M. Newman (1963). Copositive and completely positive quadratic forms. Proceedings Cambridge Philos. Soc., 59, 329–339.

copositive