Matrice symétrique copositive modifier

En mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire et en optimisation, une matrice symétrique copositive est une matrice réelle carrée symétrique, dont la forme quadratique associée est positive sur l'orthant positif.

La notion de matrice symétrique copositive a été introduite et étudiée par Motzkin (1952[1]).

La description des matrices copositives non nécessairement symétriques est faite ailleurs.

Notations modifier

On note

l'ensemble des premiers entiers naturels non nuls.

Les inégalités vectorielles de la forme , avec , doivent se comprendre composante par composante ; ainsi l'inégalité précédente signifie que pour tout .

On note

  • , l'ensemble des matrices réelles d'ordre symétriques,
  • , le cône des matrices de qui sont symétriques semi-définies positives.

Définition modifier

Matrice symétrique copositive — Une matrice symétrique copositive est une matrice telle que

L'ensemble des matrices symétriques copositives d'ordre est noté .

L'ensemble est donc un ensemble plus grand que .

Cône des matrices symétriques copositives modifier

Aspects géométriques modifier

Cône tangent modifier

Cône normal modifier

Rayon extrême modifier

Annexes modifier

Notes modifier

  1. Selon Cottle, Pang et Stone (2009), la notion de matrice copositive symétrique a été introduite et étudiée par Motzkin en 1952 dans un rapport sans titre du National Bureau of Standards, le rapport 1818, pages 11-12.

Articles connexes modifier

Bibliographie modifier

  • (en) A. Berman, N. Shaked-Monderer (2003). Completely Positive Matrices. World Scientific, River Edge, NJ, USA.
  • (en) S. Bundfuss (2009). Copositive Matrices, Copositive Programming, and Applications. Dissertation, Technischen Universität Darmstadt.
  • (en) P.J.C. Dickinson, L. Gijben (2011). On the computational complexity of membership problems for the completely positive cone and its dual. Optimization Online
  • (en) M. Hall, M. Newman (1963). Copositive and completely positive quadratic forms. Proceedings Cambridge Philos. Soc., 59, 329–339.

copositive