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En analyse numérique, la méthode des volumes finis est utilisée pour résoudre numériquement des équations aux dérivées partielles, c'est à dire pour calculer une solution approchée de ces équations comme la méthode des différences finies et la méthode des éléments finis. Cette méthode est particulièrement bien adaptée pour résoudre numériquement les EDP provenant de lois de conservation. Pour mettre en place la méthode, on intègre l'équation sur un volume et grâce au théorème de Stokes, on transforme les intégrales contenant un terme de |divergence en intégrales de surface. Ces termes sont ensuite évalués en tant que flux sur les surfaces de chaque volume sachant que le flux entrant dans un volume donné est identique à celui sortant du volume adjacent.
Les lois de conservation
modifierOn s'intéresse ici aux lois de conservation, leur forme générale est la suivante:
où :
De plus, est de la forme suivante :
Quelques exemples de flux
modifier- Le flux de convection / transport : , où :
- le champ de vecteur donné
- Le flux de diffusion : , où :
- dans le cas classique
- dans certains cas
- Le flux de convection et diffusion : .
Maillage du domaine
modifierSoit l'ensemble d'espace associé à l'EDP qui nous intéresse.
- Volumes de contrôle
- On appelle volumes de contrôle les éléments de la suite , cette suite ayant les propriétés suivantes :
- un ouvert de
Dimension 1
modifierSoit .
Les volumes de contrôle forment un maillage de . En dimension 1, les volumes de contrôle sont des intervalles ouverts, on note .
On note l'ensemble des interfaces ,les extrémités des volumes de contrôle.
Pour finir, on choisit un point dans chaque volume de contrôle et on note l'ensemble de ces points (on peut y ajouter les points et ).
Le maillage est donc la donnée .
Le pas (taille) du maillage est toujours important dans un schéma numérique, il sera noté et on pose
Dimension d
modifierOn considère un ouvert borné polyèdral de (polygonal si ).
est toujours l'ensemble des volumes de contrôle .
est l'ensemble des arêtes ou faces (selon la dimension) du maillage. Soit , on a alors :
- soit , est alors une arête intérieure ()
- soit , est alors une arête du bord ()
On se donne de même que précédemment, une suite de points
Le maillage de est la donnée .
On pose ici, pour le pas, .
Solution approchée
modifierPour la méthode des volumes finis, et contrairement à la méthode des différences finies, les inconnues discrètes ne sont pas les extrémités des mailles, mais les inconnues sont situées à l'intérieur des mailles. L'ensemble de ces inconnues discrètes est l'ensemble défini précédemment.
La solution approchée , avec la méthode des volumes finis, est une solution constante par maille, que l'on reconstruit de la manière suivante :
L'espace des solutions approchées pour le maillage est :
- Remarque
-
Mise en place du schéma
modifierLe méthode des volumes finis est utilisée pour discrétiser la partie spatiale des lois de conservation, le partie temporelle est quant-à-elle discrétisée par la méthode des différences finies. On considère donc ici seulement la partie spatiale, ce qui nous donne le système suivant :
On considère un maillage .
La méthode des volumes finis est basée sur l' intégration de l'EDP sur tous les volumes de contrôle du maillage.
On a, :
On sait que : est l'ensemble des arêtes du volume de contrôle .
On obtient le schéma volumes finis en faisant une approximation de la dernière égalité, ce qui donne:
* *
Propriété des flux numériques
modifierLes deux propriétés essentielles du flux numérique pour que celui-ci soit une « bonne » approximation de , sont la conservativité et la consistance.
Conservativité des flux
modifierOn impose que pour toute interface interne, le flux entrant est égal à l'opposé du flux sortant :
Consistance des flux
modifierLes flux numériques s'expriment en fonction des . On remplace alors tous les où u est la solution exacte du problème, on obtient alors .
Pour qu'on ait la consistance des flux, il suffit que :
Exemple en dimension 1
modifierOn cherche une solution classique du problème de Dirichlet suivant :
où
On utilise le maillage pour la dimension 1 défini précédemment.
On aura besoin également des paramètres suivants :
En intégrant l'équation , on obtient l'égalité suivante :
Le schéma volumes finis s'écrit alors :
Proposition — On a alors un schéma numérique pour lequel les flux sont conservatifs et consistants
Ce schéma numérique est un système d'équations linéaires:
- I inconnues :
- I équations
On peut facilement mettre ce système sous forme matricielle : est le vecteur des inconnues.
Proposition — La matrice du schéma est tridiagonale et symétrique définie positive.
Elle est alors inversible et donc le schéma admet une unique solution
Tridiagonale + symétrique : triviales
Définie positive : utilisation d'une intégration par partie discrète- Attention
- La consistance, la conservativité et l'unicité de la solution du schéma n'impliquent pas la convergence du schéma
- Remarque
- il existe des théorèmes de convergence du schéma si où si
Voir aussi
modifierRéférences
modifier- R. Eymard, T. Gallouët, R. Herbin (2000) "The finite volume method" Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, 2000, p. 713–1020. Editors: P.G. Ciarlet and J.L. Lions.
- D. Serre (1996) "Systèmes de lois de conservation,Tome1". I,Fondations . Editors: Diderot.