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La turbulence désigne l'état de l'écoulement d'un fluide, liquide ou gaz, dans lequel la vitesse présente en tout point un caractère tourbillonnaire : tourbillons dont la taille, la localisation et l'orientation varient constamment. Les écoulements turbulents se caractérisent donc par une apparence très désordonnée, un comportement difficilement prévisible et l'existence de nombreuses échelles spatiales et temporelles. De tels écoulements apparaissent lorsque la source d'énergie cinétique qui met le fluide en mouvement est relativement intense devant les forces de viscosité que le fluide oppose pour se déplacer. Pour cette raison, les turbulences sont plus faciles à produire au sein de fluides à faible viscosité et inversement^[1].

À l'inverse, on appelle laminaire le caractère d'un écoulement régulier.

La découverte et l'étude de la turbulence est très ancienne, elle a été décrite par exemple par Léonard de Vinci qui, après lui, n'a pas progressé durant presque 400 ans, avant que l'ingénieur irlandais Osborne Reynolds prolonge ses travaux en 1883.

Description

Osborne Reynolds, qui a relancé à la fin du XIX^e siècle l'étude de la turbulence.

La communauté scientifique qui étudie les écoulements turbulents (autant divers soient-ils), font consensus pour définir les caractéristiques communes à ces différents écoulements, leur conférant ainsi une certaine universalité. Ces caractéristiques, qui servent de critères pour une définition analytique de ces écoulements, sont les suivantes^[2] :

L'écoulement est tridimensionnel. Bien que le concept de turbulence bidimensionnelle existe. Il est né dans le monde de la recherche océanographique et météorologique, dans lequel on étudie des films de fluides (atmosphère, océan) dont la profondeur est très petite devant les autres dimensions. En dehors de ces très grandes échelles (de plusieurs centaines ou milliers de kilomètres), les plus petites (de l’ordre du centimètre ou du mètre) sont rigoureusement tridimensionnelles.

L'écoulement est instationnaire (ce qui exclus les écoulement stationnaire, bien qu'il peuvent présenter des propriétés complexes comme le chaos lagrangien) .

Le rotationnel (et donc la vorticité) est non nul.

L'écoulement est fortement diffusif, ce qui se traduit par des fluctuations de vitesses qui assurent un mélange rapide et efficace.

L'écoulement présente une grande gamme continue d'échelles dynamiquement actives, ce qui signifie que l'énergie cinétique (ou la densité spectrale d'énergie cinétique pour être exacte) dans l'écoulement est continue et non nulle à différentes échelles.

L'écoulement est chaotique, en ce sens qu'une petite perturbation apportée à un écoulement sera continuellement amplifiée avec le temps. Cela implique qu'une description strictement déterministe d'un écoulement turbulent a peu d'intérêt, car les champs instantanés issus à différents instants d'un même écoulement peuvent être très différents. Par conséquent, cette propriété implique que l’étude des écoulements turbulents doit être réalisée au moyen d’outils statistiques.

En raison de sa complexité, la turbulence a longtemps résisté à une analyse physique détaillée. Les interactions au sein de la turbulence créent un phénomène très complexe. Richard Feynman a décrit la turbulence comme le plus important problème non résolu de la physique classique^[3].

Nombre de Reynolds

Article détaillé : Nombre de Reynolds.

Le régime d'un écoulement (laminaire ou turbulent) peut être prédit par le nombre de Reynolds, nombre sans dimension qui fait état du rapport entre l'énergie cinétique et l'amortissement visqueux existant dans un écoulement fluide donné. Les valeurs de nombre de Reynolds communément admise (pour les écoulement en charge) sont :

$Re<2000$ implique un régime laminaire,
$2000<Re<4000$ implique un régime de transition entre laminaire/turbulent,
$Re>4000$ implique un régime turbulent.

En pratique, le nombre de Reynolds doit être convenablement choisi pour l'application désirée. Souvent, pour des écoulements en charge dans des applications industriels on cherche à obtenir un régime d'écoulement turbulent (notamment pour sa capacité à optimiser les effets diffusifs et les mélanges).

Méthodes et outils statistiques

Le comportement complexe des écoulements turbulents doit la plupart du temps être abordé par la voie statistique. On peut ainsi considérer que l'étude de la turbulence fait partie de la physique statistique.

Soit des variables muettes $\phi _{i}({\vec {x}},t),i=(1,N)$ qui représente de manière générique les variables physiques associée à un écoulement turbulent (vitesse, vorticité, pression...). Pour utiliser les outils statistiques usuels, on fait l'hypothèse que les fluctuations turbulentes sont telles que les variables $\phi _{i}$ peuvent être assimilées à des variables aléatoires et qu'elles sont statistiquement stables dans le temps.

Soit $X$ une vitesse variable, de sorte que ce soit un évènement correspondant à $\phi _{i}$ . Dans le contexte des écoulements turbulents, les quantités telles que les composantes de la vitesse, la pression et d'autres propriétés du fluide à un point donné et à un moment donné sont souvent modélisées comme des variables aléatoires.

En turbulence on distingue les valeurs moyennes et les valeurs fluctuantes de grandeurs physiques. Les outils statistiques sont utilisés pour l'études des grandeurs fluctuantes qui se répartissent autour d'une valeur moyenne, et comment les fluctuations adjacentes sont liées. L'étude des distributions autour d'une valeur moyenne nécessite l'introduction de la densité de probabilité et de sa transformée de Fourier (appelée fonction caractéristique). L'étude entre fluctuations voisines nécessite l'introduction de l'autocorrélation et également de sa transformée de Fourier^[2].

La transformée de Fourier permet d'analyser comment les quantités physiques se répartissent parmi les différentes échelles d'un écoulement en passant d'un domaine temporel à un domaine fréquentiel.

Fonction de distribution

La fonction de distribution cumulée d'une variable aléatoire $\phi$ , notée $F_{\phi }(X)$ est définie par : $F_{\phi }(X)=P(\phi \leq X)$

où $P(\phi \leq X)$ représente la probabilité que $\phi$ prenne une valeur inférieure ou égale à X.

Cette fonction admet les propriétés suivantes ^[4] :

$F_{\phi }(-\infty )=0$
$F_{\phi }(+\infty )=1$
$F_{\phi }(X_{b})\geq F_{\phi }(X_{a})$ , pour $X_{b}\geq X_{a}$

La densité de probabilité $f_{\phi }(X)={\frac {dF_{\phi }(X)}{dX}}$

Cette fonction admet les propriétés suivantes :

$f(X)\geq 0$ , car elle représente une fraction de temps.
$\int _{-\infty }^{+\infty }f(X)dX=1$
$f(-\infty )=f(+\infty )=0$

Normalisation

Il est parfois plus arrangeant de travailler avec des variables aléatoires normalisées. La normalisation de ces variables aléatoires signifie que leur moyenne est nulle et leur variance vaut 1. Par exemple, la variable aléatoire normalisée de $\phi$ , notée ${\hat {\phi }}$ , est : ${\hat {\phi }}={\frac {\phi -{\overline {\phi }}}{\sigma _{\phi }}}$

Sa densité de probabilité devient : ${\hat {f_{\phi }}}(X)=\sigma _{\phi }f\left({\overline {\phi }}+\sigma _{\phi }{\hat {X}}\right)$

Moments des Variables Aléatoires

Moyenne

La première grandeur a définir est la moyenne ${\overline {\phi }}$ (définie comme une moyenne d'ensemble) :

${\overline {\phi }}\equiv \int _{-\infty }^{+\infty }Xf(X)dX$

Ou de manière générale, si $Q(\phi )$ est une fonction de $\phi$ , la moyenne de $Q(\phi )$ est^[4] :

${\overline {Q(\phi )}}\equiv \int _{-\infty }^{+\infty }Q(X)\cdot f(X)dX$

Cette moyenne existe seulement si cette intégrale converge absolument.

La fluctuation de $\phi$ est définie comme étant : $\phi '\equiv \phi -{\overline {\phi }}$ .

A noter :

La moyenne de la moyenne donne la moyenne, c'est-à-dire : ${\overline {\overline {\phi }}}={\overline {\phi }}$ .

Dans la littérature on peut retrouver la moyenne écrite $\langle \phi \rangle$ .

Variance

La variance est définie comme étant la fluctuation quadratique moyenne^[4] :

$var(\phi )\equiv {\overline {\phi ^{2}}}=\int _{-\infty }^{+\infty }(X-{\overline {\phi }})^{2}f(X)dX$

Écart type

En considérant une série de $n$ mesures en un point, l'écart type peut être défini tel que :

\sigma _{X}:={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X-{\overline {\phi }})^{2}}}={\sqrt {var(\phi )}}={\sqrt {\overline {\phi ^{2}}}}

Si $X$ est une vitesse instantanée $u_{i}$ à l'instant $n_{i}$ et ${\bar {\phi }}$ une vitesse moyenne ${\bar {U}}$ associée au même écoulement.

Par commodité on peut exprimer un taux de turbulence. La turbulence exprimée en %, souvent notée $Tu$ , correspond alors à:

Tu[\%]={\frac {100*\sigma _{X}}{\bar {U}}}

Moments d'ordre supérieurs

Les moments d'ordre supérieur des distributions de probabilités sont des statistiques utilisées pour décrire différentes caractéristiques de la distribution au-delà de la moyenne (moment d'ordre 1) et de la variance (moment d'ordre 2). Les moments d'ordre supérieur couramment utilisés incluent le moment d'ordre 3 (asymétrie, ou skewness en anglais) donne des information sur sur l'asymétrie de la fonction de distribution par rapport à sa moyenne, et le moment d'ordre 4 (l'aplatissement, ou kurtosis en anglais) mesure le pic de distribution par rapport à une loi normale.

Les moments d'ordre supérieur à l'ordre 4 existent et peuvent fournir des informations supplémentaires sur la forme des distributions de probabilités, mais ils sont rarement utilisés dans la pratique en raison de leur complexité, de leur sensibilité aux valeurs extrêmes, et de leur utilité pratique limitée. Les moments d'ordre 1 à 4 suffisent généralement pour les besoins analytiques dans la plupart des domaines.

Pour pousser l'analyse plus loin d'autres méthodes existent comme l'analyse spectrale, les quantiles, les fonctions de densité de probabilité empiriques, ou les méthodes non paramétriques sont préférées pour obtenir des informations détaillées sur les distributions, sans recourir aux moments d'ordre très élevé.

Corrélation de variables

Une analyse plus fine du champ fluctuant peut être obtenue en mesurant la corrélation en 2 points ( ${\vec {x}}$ et ${\vec {y}}={\vec {x}}+{\vec {r}}$ ) et en 2 temps ( $t$ et $t'=t+\tau$ ). Ainsi, une quantité souvent utilisée est le tenseur des corrélations en 2 points de vitesses : $R_{ij}({\vec {x}},{\vec {r}},t)\equiv {\overline {u'_{i}({\vec {x}},t)~u'_{j}({\vec {x}}+{\vec {r}},t)}}$ .

Pour un scalaire passif l'autocorrélation spatiale est : $R_{T}({\vec {x}},{\vec {r}},t)\equiv {\overline {T'({\vec {x}},t)~T'({\vec {x}}+{\vec {r}},t)}}$ .

L'analyse statistique via la mesure des différents moments statistiques des champs fluctuants ne donne pas directement accès à des informations sur l'écoulement. Elle considère uniquement des couplages dynamiques entre les variables lorsque les corrélations sont élevées.

Passage du micro au macro

L'analyse statistique des écoulements turbulents est souvent réalisée en considérant les équations d'évolutions de grandeurs statistiques. Les plus courantes sont les tensions de Reynolds, l'énergie cinétique et le flux de scalaire turbulent. Ces équations d'évolutions sont obtenues en combinant les moyennes statistique et manipulations algébriques aux équations de Navier-Stokes.

Les grandeurs statistiques sont plus intéressantes car plus stables que les grandeurs fluctuantes instantanées et peuvent admettre un caractère plus universel permettant de développement de théorie physique à partir de celles-ci.

Dans le cadre de la mécanique des milieux continus, on rencontre souvent dans les équations d'évolutions les phénomènes :

De diffusion : ${\frac {\partial \phi }{\partial t}}=\kappa \cdot {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x_{j}^{2}}}$ ,
D'advection : ${\frac {\partial \phi }{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial \phi }{\partial x_{j}}}=0$
De termes sources (de production : ${\frac {\partial \phi }{\partial t}}={\mathcal {P}}_{\phi }$ ou destruction : ${\frac {\partial \phi }{\partial t}}=-\varepsilon _{\phi }$ ).

Démonstration

L'évolution de l'état d'un gaz est décrit par la variation d'une fonction de distribution, $f_{is}({\vec {x}},{\vec {v_{s}}},t)$ où s indique l'espèce considérée, le long d'une ligne de courant. En formulation eulérienne, l'équation obtenue est l'équation de Boltzmann :

${\frac {df_{is}}{dt}}\equiv {\frac {\partial f_{is}}{\partial t}}+{\vec {v_{s}}}\cdot {\vec {\nabla }}f_{is}=J$

Où J représente l'effet des collision entre les particules. Ce terme doit être explicité pour avoir une équation résolvable. De nombreux modèle existent pour expliciter ce terme, nous considérons ici l'un des plus simple. En considérant le système comme isolé, on applique la conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie ce qui donne :

$\sum _{s}\sum _{i}\int _{\vec {v_{s}}}J\cdot m_{s}~d{\vec {v_{s}}}=0$

$\sum _{s}\sum _{i}\int _{\vec {v_{s}}}J\cdot m_{s}\cdot {\vec {v_{s}}}~d{\vec {v_{s}}}=0$

$\sum _{s}\sum _{i}\int _{\vec {v_{s}}}J\left({\frac {1}{2}}\cdot m_{s}\cdot u_{s}^{2}+\epsilon _{is}\right)d{\vec {v_{s}}}=0$

Les équations macroscopiques de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et d'énergie sont obtenues en multipliant l'équation de Boltzmann respectivement par $m_{s}$ , $m_{s}{\vec {v}}_{s}$ et ${\frac {1}{2}}m_{s}{\vec {v}}_{s}^{2}+\varepsilon _{is}$ , puis en sommant sur l'ensemble des vitesses possible. On obtient :

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot (\rho {\vec {v}})=0$

$\rho {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=\rho \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\bar {\bar {\nabla }}}\right){\vec {v}}=-{\vec {\nabla }}\cdot {\bar {\bar {\Pi }}}$

$\rho {\frac {dE}{dt}}=\rho \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)E=-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {q}}-{\bar {\bar {\Pi }}}:({\bar {\bar {\nabla }}}{\vec {v}})$

On reconnait une forme générale des équations de la mécanique des fluides. Les tenseurs ${\bar {\bar {\Pi }}}$ et ${\vec {q}}$ doivent être explicité ce qui implique qu'il faut modéliser le terme $J$ . Pour cela on considère un modèle de chocs élastiques (on considère donc des sphères indéformables) Les collisions sont donc d´ecrites de manière élémentaires au moyen des lois de Newton, en appliquant pour chaque paire de particules les principes de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et d’énergie. Pour les gaz non réactifs dans des conditions usuelles de température et de pression, la conservation de l’énergie est simplifiée en ne conservant que l’énergie cinétique, menant à un modèle purement mécanique.

Décomposition de Reynolds

Osborne Reynolds propose de décomposer chaque variable associée à un champ turbulent comme la somme de sa moyenne et de sa fluctuation :

$\phi ({\vec {x}},t)={\overline {\phi }}({\vec {x}},t)+\phi '({\vec {x}},t)$

Où l'opérateur de moyenne est un opérateur vérifiant les axiomes de Reynolds :

Conservation des constantes : ${\overline {1}}=1$
Linéarité : ${\overline {\phi _{1}+\phi _{2}}}={\overline {\phi _{1}}}+{\overline {\phi _{2}}}$
Commutativité : ${\overline {\frac {\partial \phi }{\partial x_{k}}}}={\frac {\partial {\overline {\phi }}}{\partial x_{k}}}$
Structure de projecteur : ${\overline {\phi '}}=0\iff {\overline {\overline {\phi }}}={\overline {\phi }}$

Équation du champ moyen

Le premier niveau de description qui est le plus employé pour les applications en ingénierie, consiste à décrire l'évolution du champ moyen de la solution turbulente. Les équations d'évolution du champ moyen sont obtenues à partir des équations de Navier-Stokes (ici pour un fluide incompressible) :

${\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{i}}}=0$

${\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\overline {u_{i}u_{j}}}=-{\frac {\partial {\overline {P}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\overline {u_{i}}}}{\partial x_{k}^{2}}}+{\overline {f_{i}}}$

Ce système peut être compléter par l'équation d'évolution d'un scalaire comme la température par exemple :

${\frac {\partial {\overline {T}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {Tu_{j}}}}{\partial x_{j}}}=\kappa {\frac {\partial ^{2}{\overline {T}}}{\partial x_{k}^{2}}}$

On remarque que les termes convectifs $\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right)$ dans ces équations font apparaître des produits moyennés qui ne sont pas exprimés en fonction des champs moyens et fluctuants. Pour obtenir une telle décomposition (appelée décomposition de Reynolds) on doit remplacer chaque terme par la décomposition "champ moyen" + "champ fluctuant".

${\overline {u_{i}u_{j}}}={\overline {{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}}+{\overline {{\bar {u}}_{i}u'_{j}}}+{\overline {u'_{i}{\bar {u}}_{j}}}+{\overline {u'_{i}u'_{j}}}={\overline {u_{i}}}{\overline {u_{j}}}+R_{ij}$

D'après les axiomes de Reynolds ${\overline {u'}}=0$ alors on a ${\overline {{\bar {u}}_{i}u'_{j}}}=0$ et ${\overline {u'_{i}{\bar {u}}_{j}}}=0$ .

De la même façon, pour un scalaire on a :

${\overline {Tu_{j}}}={\overline {{\bar {T}}{\bar {u}}_{j}}}+{\overline {T'u'_{j}}}={\bar {T}}{\bar {u}}_{j}+{\overline {T'u'_{j}}}$

Attention, ${\overline {u'_{i}u'_{j}}}$ n'est pas nulle, cette corrélation forme le tenseur de Reynolds.

Il vient alors :

${\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\overline {u_{i}u_{j}}}=-{\frac {\partial {\overline {P}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\overline {u_{i}}}}{\partial x_{k}^{2}}}+{\overline {f_{i}}}-{\frac {\partial R_{ij}}{\partial x_{j}}}$

et pour le scalaire :

${\frac {\partial {\overline {T}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {Tu_{j}}}}{\partial x_{j}}}=\kappa {\frac {\partial ^{2}{\overline {T}}}{\partial x_{k}^{2}}}-{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\overline {T'u'_{j}}}$

Les équations pour le champ moyen écrite précédemment ressemblent aux équation d'origine, écrites pour les champs moyens au lieu du champ complet (u ou T). La différence est l'apparition de termes de flux supplémentaires qui font apparaître les champs fluctuants ${\vec {u}}'$ et T'. Ce sont des termes qui peuvent être interpréter comme des flux turbulents modifiant les équations de bilan des champs moyens. Ces termes sont les seuls termes d'action du champ fluctuant sur le champ moyen. Lorsque ces termes fluctuants sont nuls, le champ moyen n'est donc pas modifié par le champ fluctuant et les solutions laminaires peuvent être retrouvées.

A partir des équations précédentes on peut retrouver l'équation de bilan de l'énergie cinétique du champ moyen en posant $K={\frac {1}{2}}{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}$ et en multipliant l'équation précédente par ${\bar {u}}_{i}$ :

${\frac {\partial K}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}K{\bar {u}}_{j}=-{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\bar {P}}{\bar {u}}_{i}+\nu {\frac {\partial ^{2}K}{\partial x_{k}^{2}}}-\nu {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{k}}}+{\bar {u}}_{i}{\bar {f}}_{i}-{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\bar {u}}_{i}R_{ij}+R_{ij}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}$

Équation du champ fluctuant

Les moments statistiques d'ordre 2 en 1 point dans l'espace et en 1 temps jouent un rôle important car il traduit le couplage entre champ moyen et champ fluctuant dans les équations de bilan du champ moyen, ce qui explique l'importance de son étude. Pour cela il est nécessaire de trouver les équations qui décrivent les champs fluctuants ${\vec {u}}'$ et $T'$ . Pour cela, on utilise la propriété de linéarité de la dérivée :

${\frac {d({\bar {u}}+u')}{dx}}={\frac {d{\bar {u}}}{dt}}+{\frac {du'}{dt}}$

Ces équations sont obtenues en retranchant les équations du champ moyen aux équations génériques de départ :

${\frac {\partial u'_{i}}{\partial x_{i}}}=0$

${\frac {\partial u'_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(u'_{i}{\bar {u}}_{j}+{\bar {u_{i}}}u'_{j}+u'_{i}u'_{i}-R_{ij})=-{\frac {\partial P'}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}u'_{i}}{\partial x_{k}^{2}}}+f'_{i}$

et pour le scalaire passif :

${\frac {\partial T'}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(T'{\bar {u}}'_{j}+{\bar {T}}u'_{j}+T'u'_{j}-{\overline {T'u'_{j}}})=\kappa {\frac {\partial ^{2}T'}{\partial x_{k}^{2}}}$

À partir de ces équations on peut obtenir l'équation d'évolution des tensions de Reynolds $R_{ij}$ et celle pour l'énergie cinétique du champ fluctuant ${\mathcal {K}}={\frac {1}{2}}u'_{i}u'_{i}$ :

${\frac {\partial R_{ij}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}({\bar {u}}_{k}R_{ij})=-\left(R_{jk}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{k}}}+R_{ik}{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{k}}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}({\overline {u'_{i}u'_{j}u'_{k}}})-\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}({\overline {P'u'_{j}}})+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}({\overline {P'u'_{i}}})\right)+{\overline {P'S'_{ij}}}+{\overline {f'_{i}u'_{j}}}+{\overline {f'_{j}u'_{i}}}+2\nu \left({\overline {u'_{j}{\frac {\partial S'_{ik}}{\partial x_{k}}}}}+{\overline {u'_{i}{\frac {\partial S'_{jk}}{\partial x_{k}}}}}\right)$

Avec $S'_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u'i}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u'_{j}}{\partial x_{i}}}\right)$ .

${\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{l}}}({\bar {u}}_{l}{\mathcal {K}})=-R_{il}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{l}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x_{l}}}({\overline {u'_{i}u'_{i}u'_{l}}})-\varepsilon +{\overline {f'_{i}u'_{i}}}-{\frac {\partial }{\partial x_{l}}}({\overline {P'u'_{l}}})+\nu {\frac {\partial ^{2}{\mathcal {K}}}{\partial x_{l}^{2}}}$

Idem pour le flux de chaleur turbulent, pour le cas où le scalaire passif est la température.

On remarque que l'énergie cinétique du champ fluctuant ${\mathcal {K}}$ est égale à la demi-trace du tenseur de Reynolds, ${\mathcal {K}}={\frac {1}{2}}R_{ii}.$

Symétries, homogénéité et isotropie

Les écoulements turbulents peuvent admettre des symétries statistiques, c'est-à-dire que leur moments statistiques ont des symétries particulières. Cela permet de simplifier grandement les analyse (annulation de termes dans les équations de bilan), et permettent aussi de poser une base pour les écoulements plus complexes. De manière générale on distingue :

Les écoulements statistiquement stationnaires : les moments statistiques de toutes les variables sont invariantes en temps, ${\frac {\partial }{\partial t}}({\bar {\cdot }})=0$ .

Les écoulements statistiquement homogène au sens de Craya : Les moments statistiques d'ordre 2 et plus sont invariants par translation dans l'espace. Les équations bilan se simplifie car les termes de flux spatiaux turbulents s'annulent. L'avantage des écoulements homogènes est que l'analyse n'ait besoin d'être réalisée qu'en un seul point de l'espace pour pouvoir décrire complètement l'écoulement.

Les écoulements statistiquement isotropes : ce sont des écoulements homogène qui ont des moments statistiques qui sont invariant par rotation du repère et par les symétries miroir sur les axes du repère. Ce sont des écoulements qui n'admettent aucune direction privilégiée.

En considérant le cas d'une turbulence isotrope, l'équation d'évolution pour l'énergie cinétique du champ fluctuant ${\mathcal {K}}$ se simplifie en :

${\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}({\mathcal {K}}{\bar {u}}_{i})=-\varepsilon +{\overline {f'_{i}u'_{i}}}$

Analyse spectrale

Articles détaillés : Analyse spectrale et Transformation de Fourier.

L'analyse des moments statistiques permet d'appréhender les mécanismes physiques mais ne donnent pas d'information sur le rôle des différentes échelles mises en jeu dans l'écoulement. Pour avoir accès à ces information il faut réaliser une étude spectrale des champs turbulents. Elle est classiquement réalisée à partir de la transformée de Fourier (en espace ou en temps).

Une grandeur utile en turbulence est la densité spectrale d'énergie cinétique fluctuante (aussi appelé spectre d'énergie). Cette densité est définie par intégration sur une sphère de rayon constant k

Échelles caractéristiques de la turbulence

Échelle intégrale

Micro-échelle de Taylor

Échelle et théorie de Kolmogorov

Relations entre échelles caractéristiques

Méthode de Comte-Bellot et Corrsin

Cascade d'énergie cinétique

Une propriété classiquement mise en avant d'un écoulement turbulent réside dans un processus appelé cascade turbulente (ou cascade de Richardson) : la division des grands tourbillons en tourbillons plus petits permet un transfert d'énergie des grandes échelles vers les petites échelles données par la dimension de Kolmogorov. À l'issue de ce transfert, les tourbillons les plus petits dissipent l'énergie qu'ils ont reçue des plus grands tourbillons (comme les dépressions météo et cyclones tropicaux par exemple). Pour ces petits tourbillons, en effet, la dissipation moléculaire freine les variations de vitesse trop importantes du fait de la viscosité du fluide considéré. Cette cascade turbulente explique, par exemple, l'atténuation progressive et la mort des cyclones tropicaux et dépressions météo, ainsi que la transformation de leur énergie cinétique en chaleur. Mais elle explique aussi, à plus petit échelle, la dissipation du sillage d'une voiture ou d'un avion^{[N 1]}.

Le tourbillon de rue de l'image ci-dessous peut ainsi être vu comme la dernière métamorphose du cyclone de l'image précédente (ou d'ailleurs le dernier effet local du passage d'un camion).

Boucle radar montrant l'arrivée de l'ouragan Katrina en Louisiane.
Animation d'un tourbillon au coin d'une rue.
Tourbillon et turbulences dans une rivière.

Notons que sans la dissipation permanente qu'entraîne cette cascade de Richardson, les phénomènes météo tels que dépressions, tornades et tourbillons de poussière demeureraient indéfiniment. L'apport en énergie solaire, qui est la source d'énergie de la machine planétaire (océanique et atmosphérique), ne s'interrompant jamais, on ne pourrait qu'aboutir à un renforcement continu des courants océaniques et atmosphériques. En pratique, ce processus de dissipation de l'énergie (la cascade turbulente) n'est cependant pas obligatoirement à sens unique, le phénomène d'appariement tourbillonnaire (en anglais backscatter) permettant le transfert ponctuel de petites structures tourbillonnaires (qui fusionnent) vers une ou plusieurs structures plus grandes.

Depuis les années 1970, la modélisation numérique de la turbulence permet aux chercheurs d'étudier le phénomène à petite échelle, en utilisant notamment l'approche appelée Simulation des Grandes Structures (SGS) de la Turbulence, ou Large Eddy Simulation (LES) en anglais.. La physique et la connaissance de la turbulence sont en plein essor grâce :

à la généralisation des instruments de mesure (comme les free falling optical profilers^[5] ou les sondes à effet Doppler-Fizeau pour l'étude de la turbulence en milieu aquatique) ;
à la réduction progressive du coût de ces instruments ;
aux apports de l'intelligence artificielle (apprentissage profond) appliquée aux fluides géophysiques, en particulier dans le domaine météorologique et plus encore pour la compréhension, la paramétrisations et la modélisation des turbulences, des courants et du relatif mélange océanique en zone tropico-équatoriale (qui reste l'un des principaux biais des logiciels de modélisation des océans et du climat)^[6]. Un réseau neuronal artificiel entraîné « sous contrainte physique » et à l'aide de l'enregistrement décennal d'observations hydrographiques et de turbulence dans le Pacifique tropical a par exemple récemment permis de mieux paramétriser les modèles actuelles^[6].

Effets

Dans les transports

Article détaillé : Turbulence de sillage.

La turbulence augmente la traînée de friction des objets en mouvements pour des nombres de Reynolds élevés (ceux qui régentent les mouvements des objets du quotidien : véhicules, aéronefs et projectiles de sports). Cependant, provoquer la transition de la couche limite existant autour d'un corps depuis le régime laminaire jusqu'au régime turbulent peut permettre de retarder le décollement de cette couche limite et de ce fait diminuer la traînée de pression du corps (avec une légère augmentation de la traînée de friction, le bilan restant cependant largement positif). Par exemple certaines combinaisons de nageurs sont munies d'écailles, pour générer de la turbulence ; les concavités présentes à la surface des balles de golf jouent le même rôle (voir la crise de traînée de la sphère), ainsi que les turbulateurs à la surface des avions, autrement appelés générateurs de vortex. Ces dispositifs visant à modifier l'écoulement fluide passant autour de l'objet (aéronef, projectile...) entrent dans la catégorie du contrôle des écoulements.

En météorologie et océanographie

Article détaillé : Turbulence atmosphérique.

Il existe plusieurs phénomènes turbulents dans l'atmosphère et les océans. Certains sont reliés à convection lors du réchauffement des basses couches de ces fluides. Celles-ci deviennent moins denses que les couches supérieures et vont s'élever ce qui va changer la distribution de vitesse du fluide tant dans la verticale que dans l'horizontale.

D'autres sont reliés au glissement de couches stables, mais ayant des densités différentes, l'une sur l'autre. On parle alors de cisaillement. Les ondes de Kelvin-Helmholtz sont générés de cette manière et introduisent une rotation semblable à une vague qui déferle à l'altitude de la jonction des couches. Il y a également des turbulences mécaniques qui se produisent quand le fluide atmosphérique ou océanique est forcé de surmonter un obstacle. On obtient alors d'une onde de gravité qui peut générer de la turbulence sous forme de rotors. Il s'agit d'un phénomène météorologique complexe appelé onde orographique. Les rotors sont alors formés dans la couche sous-ondulatoire.

La turbulence explique donc les variations locales des courants marins et des vents atmosphériques.

Dans l'environnement

Elles ont un rôle écologique important.

Dans l'eau les turbulences contribuent au mélange des couches thermiques, salines, acides ou plus ou moins oxygénées ou anoxiques, mais aussi à une érosion non-homogène et par suite à la turbidité, la remise en suspension ou dans les zones de moindre turbulence aux dépôts différentiés de particules (selon masse et granulométrie). Beaucoup d’organismes aquatiques savent utiliser des turbulences et notamment les contre courants qu'elles génèrent localement pour se déplacer en consommant moins d'énergie.
Face au vent, la rugosité du paysage et en particulier la rugosité dite "molle" de la végétation (par opposition à celle des roches et des constructions par exemple) a un impact important sur les vents (atténuation de la force du vent dans les basses couches de l'atmosphère), la turbulence et, indirectement, sur les envols ou dépôts de poussières, la température, l'évaporation, le mélange de la partie basse de la colonne d'air (de la hauteur des pots d'échappement à la hauteur où sont émis les panaches de cheminées d'usine ou de chaudières urbaines par exemple), la régularité du vent (important pour les installations d'éoliennes ou de fermes éoliennes), etc.

Kalnay et Cai dans la revue Nature avaient en 2003 posé l'hypothèse que les arbres freinaient significativement le vent. En effet, en forêt tropicale dense, hormis lors des tempêtes, les effets du vent sont quasiment imperceptibles depuis le sol. La plupart des arbres n'y produisent leurs puissants contreforts que quand ils émergent au niveau de la canopée où ils sont alors exposés à un éventuel déracinement par le vent.

On a récemment réanalysé les données météorologiques de mesure des vents de surface (jusqu'à 10 mètres de hauteur) qui confirment dans l’hémisphère nord une tendance au ralentissement ; il semble que les forêts puissent, dans une certaine mesure, freiner le vent alors que la désertification l'exacerbe. Là où la forêt a regagné du terrain, la force du vent a diminué (de 5 à 15 %)^[7], et ce, de manière d'autant plus visible que le vent est fort. Les vents géostrophiques (induits par les variations de pression atmosphérique) n'ont pas diminué, et les aéroradiosondes ne montrent pas de tendance au ralentissement en altitude^[8].

Le bocage est une structure écopaysagère qui modifie également les effets du vent en créant des microclimats atténuant le vent, mais aussi les chocs thermohygrométriques et l'érosion des sols. Les turbulences générées par les arbres, haies et forêts ont une grande importance pour les microclimats bocager et forestiers, pour la circulation aériennes des pollens, d'invertébrés et microorganismes aéroportés, de propagules (ex : spores de mousses, lichens et autres épiphytes), mais aussi de phytohormones et d'odeurs aéroportées (parfum floral qui attire abeilles ou papillons pollinisateurs ou hôtes par exemple, ou hormones de stress qui attirent d'autres espèces). Le mouvement des feuilles laisse la lumière pénétrer plus profondément dans le houppier et au sol. Les buisson, bosquet, haie, ou massif forestier auront des effets différents, assez importants parfois pour freiner le vent de 5 à 15 % dans la couche des 10 à 20 m au-dessus du sol ;
Inversement, dans l'eau, la mobilité de certains animaux aquatiques (poissons, têtards en particulier, mais aussi petits organismes tels que daphnies, crustacés) sont source de turbulences et microturbulences qui jouent un rôle dans le mélange de couches. On peut parler de microturbulence ou de nanoturbulence pour les mouvements induits par les bactéries à flagelle. Le système nerveux de certains poissons est très sensible aux turbulences, ce qui leur permet notamment de détecter l'attaque proche d'un prédateur.

En astronomie

La turbulence atmosphérique est le frein majeur aux observations astronomiques effectuées depuis la Terre. Elle a pour effet de disperser la lumière de façon fluctuante et aléatoire. Les dispositifs d'optique adaptative permettent de compenser en partie ces distorsions parasites.

La turbulence atmosphérique change chaque milliseconde.

Autres domaines

Elle est aussi étudiée en aéronautique (jets des réacteurs, chambres de combustion, sillages des aubes et compresseurs, etc.), dans l'industrie chimique (efficacité considérable du processus de mélange turbulent), ainsi qu'en acoustique, en géophysique, etc.

Notes et références

Notes

↑ Le rythme des décollages dans les grands aéroports est déterminé d'après la durée d'atténuation des sillages.

Références

↑ Schmiegel, Jürgen Barndorff-Nielsen, Ole, Lévy-based tempo-spatial modelling : with applications to turbulence, MaPhySto, 2003 (OCLC 474586660, lire en ligne)
↑ ^{a et b} Tennekes, H., & Lumley, J. L. (1972). A First Course in Turbulence. MIT Press.
↑ I. Eames et J. B. Flor, « New developments in understanding interfacial processes in turbulent flows », Philosophical Transactions of the Royal Society A, vol. 369, n^o 1937,‎ 17 janvier 2011, p. 702–705 (PMID 21242127, DOI 10.1098/rsta.2010.0332 , Bibcode 2011RSPTA.369..702E, lire en ligne)
↑ ^{a b et c} Pope, S. B. (2000). Turbulent Flows. Cambridge University Press.
↑ (en) « Free-falling Optical Profiler », sur SEA-BIRD Scientific
↑ ^{a et b} (en) Yuchao Zhu, Rong-Hua Zhang, James N Moum et Fan Wang, « Physics-informed deep-learning parameterization of ocean vertical mixing improves climate simulations », National Science Review, vol. 9, n^o 8,‎ 17 août 2022 (ISSN 2095-5138 et 2053-714X, PMID 35992235, PMCID PMC9385460, DOI 10.1093/nsr/nwac044, lire en ligne, consulté le 10 mai 2024)
↑ Robert Vautard (CEA/CNRS/UVSQ), Julien Cattiaux, Pascal Yiou, Jean-Noël Thépaut, Philippe Ciais, Northern Hemisphere atmospheric stilling partly attributed to an increase in surface roughness, ; Nature Geoscience, en ligne : 17 oct 210 (Résumé en anglais, graphiques)
↑ Gruber, C. and Haimberger, L. On the homogeneity of radiosonde wind time series. Meteorologische Zeitschrift,17, 631-643 (2008).

Voir aussi

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Bibliographie

(en) Roberto Benzi et Federico Toschi, « Lectures on turbulence », Physics Reports, vol. 1021,‎ 6 juin 2023, p. 1-106 (DOI 10.1016/j.physrep.2023.05.001 )

Articles connexes

Liens externes

« Wavelets & Turbulence : Utilisation de la représentation en ondelettes pour l'étude de la turbulence », LMD-CNRS

[5] Le rythme des décollages dans les grands aéroports est déterminé d'après la durée d'atténuation des sillages.

[1] Schmiegel, Jürgen Barndorff-Nielsen, Ole, Lévy-based tempo-spatial modelling : with applications to turbulence, MaPhySto, 2003 (OCLC 474586660, lire en ligne)

[:0-2] {a et b} Tennekes, H., & Lumley, J. L. (1972). A First Course in Turbulence. MIT Press.

[eames-quoting-feynman-3] I. Eames et J. B. Flor, « New developments in understanding interfacial processes in turbulent flows », Philosophical Transactions of the Royal Society A, vol. 369, n^o 1937,‎ 17 janvier 2011, p. 702–705 (PMID 21242127, DOI 10.1098/rsta.2010.0332 , Bibcode 2011RSPTA.369..702E, lire en ligne)

[:1-4] {a b et c} Pope, S. B. (2000). Turbulent Flows. Cambridge University Press.

[6] (en) « Free-falling Optical Profiler », sur SEA-BIRD Scientific

[IAZhu2022-7] {a et b} (en) Yuchao Zhu, Rong-Hua Zhang, James N Moum et Fan Wang, « Physics-informed deep-learning parameterization of ocean vertical mixing improves climate simulations », National Science Review, vol. 9, n^o 8,‎ 17 août 2022 (ISSN 2095-5138 et 2053-714X, PMID 35992235, PMCID PMC9385460, DOI 10.1093/nsr/nwac044, lire en ligne, consulté le 10 mai 2024)

[8] Robert Vautard (CEA/CNRS/UVSQ), Julien Cattiaux, Pascal Yiou, Jean-Noël Thépaut, Philippe Ciais, Northern Hemisphere atmospheric stilling partly attributed to an increase in surface roughness, ; Nature Geoscience, en ligne : 17 oct 210 (Résumé en anglais, graphiques)

[9] Gruber, C. and Haimberger, L. On the homogeneity of radiosonde wind time series. Meteorologische Zeitschrift,17, 631-643 (2008).

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