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Limites projectives

En mathématique, la limite projective est un ensemble, en général doté d’une structure, que l’on souhaite construire en connaissant seulement ses projections dans une famille d’ensembles de même structure. Si ces ensembles d’arrivée sont sans relation entre eux, la construction convenable est celle du produit ; s’il existe des homomorphismes entre eux, une construction plus élaborée est nécessaire.

Ainsi étant donné deux ensembles A et B, tout ensemble X doté de deux applications f : X → A et g : X → B admet une unique application X → A × B qui, composée avec les projections redonne f et g. Ici, la limite projective des ensembles A et B en est le produit cartésien A × B. Mais s'il existe une application A → B, on peut vérifier que la limite projective de ce diagramme est A.

Ou encore, soit p un nombre premier. Pour tout entier naturel n, la réduction des entiers modulo n : Z → Z/pⁿZ est un morphisme d'anneaux, et si n ≥ m, il en va de même de la réduction r_mn : Z/pⁿZ → Z/p^mZ. Les Z/pⁿZ forment une famille d’anneaux reliés entre eux par ces réductions, dont la limite projective est l’anneau Z_p des entiers p-adiques, avec un morphisme Z → Z_p. On constate :

1. qu’un entier p-adique (x_n)_n n’est un élément du produit des Z/pⁿZ que si ses projections sont compatibles avec les réductions : x_m = r_mn(x_n).
2. que les morphismes, ici d’anneaux, jouent un rôle important. Le bon cadre où se placer est donc celui des catégories (ici, celle des anneaux).

Définition catégorique de la limite projective

Soit donc C une catégorie quelconque et I une petite catégorie d’indices. Un foncteur A : I → C peut être vu comme un diagramme commutatif « de type I » dans C avec les objets A_i et les morphismes dits de transition A_f : A_i → A_j correspondant aux flèches f : i → j de I. On a ainsi une nouvelle catégorie F(I,C) dont les objets sont les foncteurs I → C et dont les morphismes sont les morphismes de foncteurs, ou fonctoriels (les anglo-saxons disent « naturels »).

À tout objet X de C correspond le diagramme «Konstant» K(X) : I → C défini par K(X)_i = X et K(X)_f = id_X. Un morphisme fonctoriel q : K(X) → A est ici une famille de morphismes q_i : X → A_i dans C rendant commutatifs tous les triangles : pour toute flèche f : i→j de I, on doit avoir q_j = A_f q_i. C’est ce qu’on appelle un cône projectif sur A, de sommet X. À tout morphisme X → Y dans C correspond un morphisme (fonctoriel) évident K(X) → K(Y) et par composition un morphisme (de cônes projectifs sur A) du cône de sommet Y dans le cône de sommet X. Cela définit la catégorie des cônes projectifs sur A. Une limite projective de A est un objet final p : K(L) → A s’il existe dans cette catégorie : tout objet X de C sommet d’un cône projectif sur A admet un unique morphisme u : X → L tel que q_i = u p_i. Cet objet L de C est noté limproj A ou $\lim _{\leftarrow }{\rm {A}}$.

C’est la propriété universelle de la limite projective. Résultat : on obtient un isomorphisme

Hom_C(X,limproj A) → Hom_F(I,C)(K(X),A)

La limite ainsi définie ne l’est qu’à isomorphisme unique près. Mais si on se fixe, pour chaque foncteur A une limite projective donnée, on obtient un foncteur limproj : F(I,C) → C qui est adjoint à droite du foncteur K.

Exemples

1) Si la catégorie d’indices I est vide, il n’existe pas de diagramme de type I dans C ; en revanche, les diagrammes constants K(X) existent. La limite projective correspondante (du diagramme vide !) est un objet final de C.

2) Si la catégorie d’indices I ne contient aucune flèche, un diagramme de type I dans C est simplement une famille d’objets A_i ; sa limite projective est le produit Π_i A_i dans C.

3) Si la catégorie d’indices I = {1,2} contient deux objets et deux flèches f,g : 1 → 2, un diagramme de type I dans C est une double flèche A_f, A_g : A₁ → A₂ et la limite projective de ce diagramme s’appelle un noyau de la double flèche (en franglais un égaliseur).

4) Si la catégorie d’indices I = {1,2,3} contient trois objets, et deux flèches 2 → 1 ← 3, la limite projective d’un diagramme de type I dans C est un produit fibré de A₂ et A₃ au dessus de A₁.

5) À tout ensemble ordonné I où l’ordre n’est pas nécessairement total, on peut associer une petite catégorie dont les objets sont les éléments i de I et les flèches sont les relations i ≤ j (donc il y a au plus une flèche par paire d’objets). C’est souvent le point de vue restrictif adopté dans la littérature. Ainsi aux entiers positifs N* ordonnés par n ≥ m correspond la catégorie $\cdots$ →3 →2 →1. C’est celle qui sert à construire les entiers p-adiques.

Existence de limites projectives

Lorsque la catégorie d’indices I est un ensemble ordonné, comme dans l’exemple 5, une condition souvent exigée est que l’ordre soit filtrant à gauche : deux indices arbitraires sont supérieurs ou égaux à un même troisième. On voit le rapport avec les limites en topologie où les voisinages d’un point (et plus généralement toute base de filtre), ordonnés par inclusion, forment un ensemble ordonné filtrant à gauche.

La catégorie des ensembles admet toutes les limites projectives, pour toute catégorie d’indices. C’est également le cas des variétés d’algèbres : monoïdes, groupes, anneaux, A-modules sur un anneau A donné, treillis, treillis distributifs, algèbres de Boole, etc. Le paragraphe suivant montre que les espaces topologiques acceptent aussi des limites projectives quelconques.

En général, les catégories n’admettent pas de limite projective pour n’importe quel type de diagramme. Certaines catégories n’acceptent que des limites projectives finies, c’est-à-dire lorsque I est finie ; par exemple la catégorie des A-modules de type fini sur un anneau donné ; d’autres n’acceptent même pas le produit de deux objets (le produit de deux corps n’est pas un corps : (0,1) n'a pas d'inverse).

Construction de la limite en deux étapes

Pour que toutes les limites projectives existent dans une catégorie, il faut et il suffit que les produits et noyaux existent.

Il est clair que la condition est nécessaire puisque les produits et les noyaux sont des limites projectives particulières. Qu’elle soit suffisante se montre en construisant le produit P = Π_i A_i avec ses projections p_i pour tous les indices i, et le produit Q = Π_f:i→j  A_j et ses projections p_f pour toutes les flèches f de I. On définit alors deux morphismes u,v : P → Q par les égalités :

p_f u = p_j,
p_f v = A_f p_i.

La limite projective de A est le noyau de la double flèche {u,v}.

Une notion duale où on s'intéresse aux morphismes de foncteurs A → K(X) (les cônes inductifs) s’appelle la limite inductive. Lorsqu'elle existe, c'est un adjoint à gauche du foncteur K.