L'ordre des termes dans l'expression « adjonction tenseur-hom » reflète leur relation : ⊗ est l'adjoint de gauche, tandis que Hom est l'adjoint de droite.
Supposons que R et S soient des anneaux (éventuellement non commutatifs) et considérons les catégories des modules à droite sur R et S (une proposition similaire est valable pour les modules à gauche) :
Soit un -bimodule et soient et les foncteurs définis comme suit:
Il s'agit en fait d'un isomorphisme de groupes abéliens. Plus précisément, si est un -bimodule et est un -bimodule, alors c'est un isomorphisme de -bimodules. C'est un des exemples motivant la structure de bicatégorie fermée. [1]
Comme toutes les adjonctions, l'adjonction tenseur-hom peut être décrite par les transformations naturelles de counité et d'unité. En utilisant la notation de la section précédente, la counité
Le foncteur Hom commute avec des limites arbitraires, tandis que le produit tensoriel le foncteur commute avec des colimites arbitraires qui existent leurs catégorie de définition. Cependant, de manière générale, ne commute pas avec les colimites, et ne commute pas avec les limites ; cet échec se produit même avec des limites ou des colimites finies. Cette incapacité à préserver les suites exactes courtes motive la définition du foncteur Ext et du foncteur Tor.