Discussion:Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel

Fondation

L'axiome de fondation fait ou non partie de ZF suivant les livres non ? Proz (d) 26 août 2008 à 21:07 (CEST)

Il n'est p.-e. pas mentionné dans tous les livres mais j'ai toujours cru qu'il faisait partie de ZF au moins dans sa formulation contemporaine. Je crois (je vais vérifier) que par ex. Cori et Lascar dit : ZF^- + {AF} = ZF. Mais je peux me tromper. --Epsilon0 ε₀ 27 août 2008 à 18:55 (CEST)

Bon, je me suis trompé. Justement le Cori et Lascar ZF n'inclut pas AF (et ZF^- est ZF sans l'axiome de l'infini). Par contre dans L'universalis (Jacques Stern), Devlin the joy of sets et Barwise et Etchemendy the Liar (qui parle d'antifondation) on a bien ZF^- + AF = ZF. Que disent Krivine et d'autres (Halmos semble ne pas parler d'AF)?

Il me semble que si le choix du Cori et Lascar est minoritaire, il faudrait maintenir dans wp que ZF inclut AF, en précisant dans une note que cela n'est pas le cas dans tous les ouvrages; le choix inverse semblerait moins "naturel" (surtout en parlant de ZFC), non? --Epsilon0 ε₀ 27 août 2008 à 21:18 (CEST)

Le tout est qu'on fasse partout la même chose sinon on ne sait plus de quoi l'on parle. Mais comme AF semble venir des initiateurs de la théorie formalisée des ensembles, c'est naturel de considérer que par défaut il y est.

Halmos ne pose pas cet axiome (ce qui entraîne quelques acrobaties pour démontrer qu'un entier naturel n'est pas sous-ensemble de l'un de ses éléments) mais il dit que aεa « n'est certainement pas vrai d'un ensemble raisonnable que quiconque ait jamais vu ». Bourbaki non plus n'a pas AF, mais son bazar est assez spécial - il n'a pas non plus l'axiome du choix, d'ailleurs.--Michel421 (d) 27 août 2008 à 23:59 (CEST)

Dans Krivine c'est aussi ZF et ZF+AF, tout ça n'est pas très important, il faut juste signaler que les deux se font, et préciser dans chaque article où ça a une importance (vite vu pour le moment) si AF fait ou non partie de ZF. L'axiome de fondation intervient dans des développements déjà un peu avancés de la théorie des ensembles, donc n'est pas signalé ou marginal dans les exposés très introductifs (il me semble). Ca me semble plus important de signaler que tout le monde ne fait pas la même chose que de faire partout la même chose. Rien à voir avec le sujet : dans la théorie de Bourbaki, qui n'intéresse je crois plus grand monde, l'axiome, et même le principe, du choix est donné par le tau). Proz (d) 28 août 2008 à 12:55 (CEST)

Pierre Casteran de Bordeaux revisite le tau (qu'il appelle epsilon) pour des preuves constructives de terminaison et des notations ordinales. Pierre de Lyon (d) 29 août 2008 à 14:51 (CEST)

Oui je sais, le tau de Hilbert qui n'est pas un tau mais c'est très en amont, au niveau du calcul des prédicats.

Conformément au paragraphe précédent, j'ai ajouté une mention pour dire que AF était inclus ou non dans la théorie, selon les auteurs.--Michel421 (d) 28 août 2008 à 20:49 (CEST)

Introduction

Je ne comprends pas bien l'intérêt d'ajouter une phrase accompagnée du modèle "pourquoi". Autant ne rien mettre non ? Si on ne sait pas pourquoi comment peut-on juger que c'est pertinent ? Ca me semble un détournement d'usage, ces modèles sont à utiliser (avec parcimonie ama, la pdd permet d'être plus explicite) pour demander une explication au sujet d'une phrase que l'on n'a pas écrite (on espère souvent une réponse de l'auteur s'il est encore actif), pas pour que les rédacteurs fassent état des questions qu'ils se posent.

Par ailleurs je mets un refnec mais la version que donne l'article des raisons de la conception ZFC est tout à fait fausse d'après ce que j'ai lu, c'est manifeste pour Fraenkel et Skolem, et au minimum très réducteur pour Zermelo 1908 qui n'est pas vraiment le sujet (le fait est bien sûr que ces théories évitent le paradoxe de Russell). La version anglaise s'engage moins même si elle reste très simplificatrice. Proz (d) 20 avril 2013 à 10:32 (CEST)

En regardant de plus près il y a des problèmes sur toute l'intro, une axiomatisation ne peut pas être modèle d'une théorie. Je crois comprendre, en allant sur en: qui n'est pas lumineux, que le début du second paragraphe devrait être "Cette axiomatisation vise la formalisation de la seule notion d’ensemble bien fondé héréditaire" (bien fondé sur l'ensemble vide plutôt que héréditaire ?). Proz (d) 20 avril 2013 à 14:53 (CEST)

Quelques explications sur ma façon de procéder peut-être pas très orthodoxe : je vais voir la page en: et j’essaie de m’inspirer plus que de traduire. Je met des demande d’explication là où la matière de en: avance des choses qui me paraissent intéressantes mais manquer de détails/sources. J’ai commencé à chercher d’autres ressources cela dit, j’ai ajouté en liens externes celles qui me paraissaient les plus intéressantes à explorer pour alimenter l’article d’assertions sourçables. Cela étant, il y a un tas d’autres activités auxquelles j’aimerais pouvoir consacrer plus de temps, aussi toute aide est la bienvenue. En résumé, je ne me mettrais certainement pas à te tirer dans le pattes si tu apportes des remaniements conséquents de mes maigres ajouts sur cette page, au pire je ferais quelques ronchonnements en pdd. --Psychoslave (d) 21 avril 2013 à 00:04 (CEST)

Pour le début, réponse sur ta pdd. En ce qui concerne l'article : l'article en: balance du vocabulaire spécialisé de façon assez inutile, surtout en intro, comme le peu courant "hériditary set" (soit ensemble qui est héréditairement un ensemble), one-sorted ..., Ur-element (tout ça pour dire qu'il n'y a pas autre chose que des ensembles), on peut simplifier. Proz (d) 22 avril 2013 à 02:50 (CEST)

Je trouve que l'introduction est à la fois peu claire et dogmatique. ZFC n'est pas la seule tentative pour éviter les paradoxes de Russell et Burali-Forti, mais c'est la plus réussie et la plus populaire. Je suis d'accord avec Proz sur l'inutilité du concept d'urélément dès l'introduction.--Pierre de Lyon (d) 22 avril 2013 à 09:46 (CEST)

J'ai fait une proposition (en renvoyant les refsou et refnec au corps de l'article, tant que c'est une ébauche tout du moins). Je pense que l'on peut vérifier dans les livres ou articles d'histoire que la théorie de Zermelo (1908) a été développée pour axiomatiser la théorie de Cantor suivant une tendance générale à l'époque vers l'axiomatisation et en réponse aux critiques suscitées par la publication par Russell de son paradoxe (qui est une contradiction dans la théorie de Frege) et d'autres, mais aussi au controverses autour de l'axiome du choix et de la démonstration de son théorème (1904), et que c'est avec ZFC (ou NBG) qu'on se rapproche vraiment de ce qu'imaginait Cantor, tout ça étant à préciser et hors intro. Proz (d) 22 avril 2013 à 22:06 (CEST)

Situer mieux l'axiome du choix

Je lis : « Le théorème de Zermelo et le lemme de Zorn peuvent se démontrer dans la théorie de Zermelo avec axiome du choix. » Il me semble (au vu de l'article sur AC) qu'on a même : dans Z tout nu, les trois sont équivalents (si oui ce serait à dire, svp). Anne (discuter) 12 août 2013 à 20:01 (CEST)

Bien-sûr, corrigé, en essayant de conserver que l'info utile c'est quand même le sens qui n'est pas entièrement évident. Proz (discuter) 19 septembre 2013 à 22:19 (CEST)

Axiomes

Question de rédaction à la suite d'interventions récente : il se trouve que dans wikipedia nous avons hérité d'un choix fait aux tout débuts avec un article par axiome. Doit-on répéter ici les énoncés des axiomes ? (contre : ça doublonne, pour : plus agréable à la lecture). Si oui à quel niveau de détail ? Les expressions formelles sont-elles utiles ? Proz (discuter) 3 février 2020 à 14:50 (CET)

Oui on a des articles sur chaque axiome car on peut développer. Je pense pertinent qu'on ait ici en un clin d'oeil tous les axiomes (comme dans bcp de bouquins) afin de les comprendre globalement les uns par rapport aux autres et autant avec l'énoncé formel précis que sa signification en français.

Sur ce dernier point c'est plus délicat car il y a plusieurs possibilités : user ou non du mot "ensemble" (qui n'est techniquement pas un terme de la syntaxe de ZF), introduire ou non des constantes d'individus (a, b, ...) pour ne pas faire "parler" les variables liées (x, y, ...) qui sont donc muettes. Il y a bien la simple lecture (comme pourrait le faire un synthétiseur vocal) des formules mais ce n'est guère intéressant. --Epsilon0 ε₀ 3 février 2020 à 23:59 (CET)