Discussion:Tribu (mathématiques)

Inclus ou appartient

Pour justifier l'annulation des modifications de IP 193.50.159.2  : B est un ensemble de parties de E, on dira donc qu'une partie appartient ou n'appartient pas à B et non pas qu'une partie est incluse dans B. HB 20 juin 2006 à 10:32 (CEST)

Exemple

A quoi correspond le P dans le premier exemple? Probabilite? Si oui, peut-on le preciser? Serait-il possible d ajouter d autres exemples (par exemple de l anglais: Thus, if X = {a, b, c, d}, one possible sigma algebra on X is Σ = { ∅, {a, b}, {c, d}, {a, b, c, d} }. ). Je connais pas assez pour le faire moi meme... Merci! EtudiantEco (d) 30 décembre 2008 à 17:31 (CET)

$P(\Omega )$ est l'ensemble de toutes les parties de $\Omega$. J'ai précisé le sens de la notation et complété par un exemple. Mais la section suivante donne d'autres exemples de tribus , celles-ci engendrées par un ensemble de parties de $\Omega$. HB (d) 30 décembre 2008 à 17:53 (CET)

Etymologie

Ca serait sympa d'indiquer d'où ça vient, ce n'est pas marqué dans le Litré.

tiré du Littré : "Provenç. trip, trep ; espagn. tribu ; ital. tribù, tribo ; du lat. tribus, qui représente, d'après Saumaise, la traduction en grec par, gens. Au contraire, Corssen, Ausspr. I, 163, le tire de tri, trois, et un radical bu, représentant le sanscr bhu, le latin fu, le grec, être." mais, à mon avis, sans intérêt pour la compréhension de la notion mathématique ??? Bon, en tout cas, je vois pas ...--Chassaing 10 avril 2009 à 18:30 (CEST)

D'après Serge Mehl et bibmath, le terme aurait été inventé par Bourbaki, avec le mot clan, il faut dire que les mots groupe, corps, anneau, module, algèbre étaient déjà pris pour désigner d'autres groupements d'objets qui partageaient entre eux des caractéristiques communes.HB (d) 10 avril 2009 à 19:56 (CEST)

J'ai indiqué quelques info étymologiques ; moi ce qui m'ennuie c'est plutôt que je ne sais pas ce que signifie σ dans σ-algèbre, et que je ne sais pas qui a donné ce nom-là à ça. J'ai même lu un opuscule de Lebesgue sur l'intégration (ses cours au Collège de France), et il n'utilise ni tribu, ni σ-algèbre. Nucleos (d) 26 mai 2009 à 10:59 (CEST)

le σ fait référence à l'union dénombrable, on le retrouve dans la mesure σ-additive (additive pour une union dénombrable d'ensemble disjoints), une mesure σ -finie (une union dénombrable d'ensemble de mesure finie a une mesure finie), un σ-compact : réunion dénombrable de compact et dans la notation Fσ pour une réunion dénombrable de fermés dans les espaces de Baire[1]. Qui a donné le nom en premier ? Je n'en sais rien. La σ-additivité semble dater de Borel[2] mais je ne sais pas pour la notation. HB (d) 26 mai 2009 à 12:04 (CEST)

Ze veux une étoile !!!!!

La phrase « Harnack, en 1885, est le premier à avoir l'idée novatrice de considérer les réunions dénombrables (et non plus finies) d'intervalles qui contiennent la partie de la droite réelle à mesurer. » est-elle sourcée ? Car l'idée de déterminer une mesure par une limite de suite (d'accord, pas dans R et même sans idée de ce qu'est une suite) est très ancienne et vient de l'Antiquité.

D'ailleurs, ce qui serait bien (si possible et sourcé), c'est d'expliquer pourquoi on a choisi ces axiomes pour la définition. J'ai dans l'idée que le découpage provient du "découpage" et l'union du "collage" très souvent utilisés en algèbre géométrique. Mais bon, ce serait du bonus. Rien de rédhibitoire pour ta médaille. ---- El Caro ^bla 21 février 2010 à 20:24 (CET)

Ce qui est nouveau, ce n'est pas de considérer une suite, c'est que _chacun_ des éléments de la suite est lui-même le résultat d'une sommation de série. La mesure extérieure de Harnack est une $\lim _{n\to +\infty }(\sum _{k=0}^{\infty })$, ce qui semble en effet très novateur. Justifier pourquoi on s'est stabilisé sur ces axiomes, en sourçant, ce n'est pas évident ! Le Rudin en appendice explique qu'on peut définir sur les sigma-anneaux mais que c'est un peu moins bien. Si je me souviens bien des sources que j'ai feuilletées rapidement, il y a quelques franc-tireurs aujourd'hui (enfin le "aujourd'hui" c'est plutôt des bouquins qui ont 40 ou 50 ans) définissent les mesures sur des sigma-anneaux ou des delta-anneaux. Mais ça concerne plutôt l'article sur la mesure. Expliquer pourquoi la définition de tribu c'est ça et pas autre chose, je ne sais pas trop faire non. L'union dénombrable, ben elle est expliquée par l'idée de Harnack, le « non vide » c'est difficile d'expliquer pourquoi on ne veut pas faire la théorie de rien, le « stable par complémentaire » c'est le truc le plus pas évident à expliquer parce que c'est là où il y a une part d'arbitraire. Touriste (d) 21 février 2010 à 20:31 (CET)

1. À la lecture de l'article, je ne vois pas où est écrit que « chacun des éléments de la suite est lui-même le résultat d'une sommation de série » ou synonyme, d'où mon erreur.
2. Dans l'idée d'attribuer un label, et donc d'être lu par des non-matheux complets, je crains que des « En utilisant seulement la stabilité de ${\mathcal {B}}$ par passage au complémentaire, on vérifie sans mal que les atomes constituent une partition de $\Omega$. Il est également facile de voir que tout élément de ${\mathcal {B}}$ est réunion d'atomes » ne fassent tousser.
3. Les tournures avec des "on" risquent de ne pas plaire aussi, mais tu le sais sans doute déjà. ---- El Caro ^bla 22 février 2010 à 14:22 (CET)

1. Ce n'est évidemment pas écrit comme ça, je passe rapidement sans expliquer exactement la définition de l'Inhalt de Harnack - dans une partie historique de l'article sur la mesure ça se justifierait sans doute de rentrer davantage dans le détail, ici je suis convaincu que non. Si tu veux comprendre de quoi il s'agit plus précisément, la définition de la mesure extérieure est transcrite au moins dans l'article tribu de Lebesgue. Là tu y verras la sommation (mais pas la suite, c'est présenté comme un "inf" ce qui est plus naturel). Pour dire les choses autrement, vois-tu un exemple historiquement antérieur où on _inclut_ l'ensemble à mesurer dans une réunion dénombrable de quoi que ce soit ? Si oui je suis prèt à continuer à discuter, si non je me déclare gagnant par KO
2. Et bien que ça fasse tousser. J'assume. Et garde [3] en réserves si on me cherche.
3. J'assume aussi, peut-être un peu moins. Je mets en réserve [4]. Touriste (d) 22 février 2010 à 16:36 (CET)

1. Pour le KO, tiens, prends cet uppercut : Bourbaki où il est dit que Harnack se contente des unions finies (avec le "finies" en italique et tout). Harnack ne se serait-il pas limité à prouver que les ensembles dénombrables sont de mesure nulle par les unions dénombrables, sans "voir" l'intérêt plus général de cette méthode ? C'est ce que je crois comprendre de ça et de Bourbaki. Bon, je crois que j'ai enfin compris ce paragraphe...
2. Une petite démo serait-elle de trop ?
3. Je te soutiens, bien sûr, il s'agit de "style mathématique" archi-sourçable. ---- El Caro ^bla 22 février 2010 à 17:56 (CET)

1. Embarrassé par ta première remarque, qui me fait prendre conscience que, sans être à côté de la plaque complètement, mon paragraphe sur Harnack est à la limite de l'imprécis voire du trompeur. Mettons tout sur la table, je te donne toutes les sources dont je dispose. JP Pier en parle suffisamment brièvement pour que je puisse traiter ça via le droit de courte citation et recopier intégralement (en espérant que ce que j'ai quand même coupé au début, qui parle du Inhalt en général n'est pas trop vital) : « ... mais alors, si par exemple, $E=\mathbb {Q} \cap [0,1]$, on obtient 1. Ce type de difficulté disparaît chez Harnack qui se met à considérer des recouvrements pour une infinité dénombrable d'intervalles. ». Quant au bouquin de José Ferreirós Domínguez également utilisé, je le connais par Google Books voici le lien : [5] voir les pages 165-168 et surtout la 167. En relisant attentivement, Harnack n'a pas modifié la définition de la mesure extérieure mais a _envisagé_ de le faire, constaté que ça menait à un résultat qui lui semblait aberrant (rendre nulle la mesure de $\mathbb {Q}$) et renoncé à le faire. Si je comprends bien. Faudrait peut-être retaper mon paragraphe, voire le compléter : une recherche Google sur « Harnack "Inhalt von punktmengen" » : [6] renvoie pas mal de choses même sans aller sur Books ou Scholar - il y a manifestement plus de trois ou quatre historiens qui ont travaillé ça et consulter un peu plus de sources ne pourrait faire de mal. Je mets tout ça dans mon todo-list pour la semaine, n'hésite pas à modifier toi-même le paragraphe au vu des pièces que je te fournis.
2. Sur l'autre point restant en suspens (les « facile ») j'assume. Je me suis demandé comment montrer que les atomes font une partition, je sais faire sans rencontrer d'obstacle mais pas faire en très très bref et trouve que ça nuirait à la fluidité de la lecture de passer trop de temps sur ce détail technique. C'est bien sûr discutable, mais c'était un choix réfléchi quand j'ai tapé ce paragraphe. Touriste (d) 23 février 2010 à 08:53 (CET)

Pas très très bref mais pas très long non plus :

D'une part, l'union des C(x) donne bien $\Omega$. D'autre part deux atomes C(x) et C(y) sont toujours confondus ou disjoints. En effet, ou bien x et y sont indissociables pour tout élément A de${\mathcal {B}}$, et alors C(x)=C(y), ou bien il existe deux éléments disjoints de ${\mathcal {B}}$, l'un contenant x, l'autre, complémentaire du premier, contenant y, et dans ce cas C(x) et C(y) sont disjoints.

mais il est vrai que c'est plutôt un résumé de démonstration et que cela casse un peu le rythme. HB (d) 23 février 2010 à 09:58 (CET)

1. J'ai rapidement fait un brouillon : Utilisateur:El Caro/Test. Il est sans doute trop tôt pour le critiquer à fond, mais comme je vais décrocher, vous pouvez toujours y jeter un œil pour voir si ça part dans la bonne direction.
2. Touriste donne le bâton pour se faire battre. Si on ne veut pas que les relecteurs posent des questions sur les démonstrations, il faut être plus vicieux et rédiger sans parler de démonstration, en cachant bien toute la poussière sous le tapis. Car si les démo étaient si faciles, on pourrait les mettre dans l'article (comme dans la partie "propriétés élémentaires"). Là, on dirait que Touriste essaie de se cacher derrière les rideaux, mais il a les pieds qui dépassent ;-) Si on choisit de ne pas mettre les démo, une rédac comme « La stabilité de ${\mathcal {B}}$ par passage au complémentaire entraîne que les atomes constituent une partition de $\Omega$. De plus tout élément de ${\mathcal {B}}$ est réunion d'atomes » et basta ! Quand Touriste dit "je sais faire sans rencontrer d'obstacle mais pas faire en très très bref", je crains que ce ne soit pas une synonyme de "facile" pour 99% de la population francophone.---- El Caro ^bla 23 février 2010 à 10:22 (CET)

1. C'est évidemment mieux que ce que j'ai mis dans l'article. J'ai quand même une interrogation : autant parler de Harnack me semble s'imposer, autant la mise en contexte du premier paragraphe ne peut faire de mal, autant les paragraphes sur Cantor puis Jordan me semblent avoir leur place dans les articles mesure de Lebesgue, tribu de Lebesgue, mesure extérieure, voire mesure mais être plutôt hors sujet sur l'article "tribus" : le lien n'est qu'au second degré. Attention à ne pas faire tourner la partie "Histoire" à une histoire générale de la théorie de la mesure et de l'intégration. Je n'ai par ailleurs pas bien pigé pourquoi tu fais intervenir Fréchet si vite - est-ce simplement parce que c'est un brouillon inachevé, je suppose ? Parce que je ne vois pas de raison nette d'éliminer Borel et Lebesgue. En conclusion, il me semblerait une très bonnne idée de substituer au premier paragraphe de ce qui est actuellement dans l'article ton texte, du début jusqu'à « (...) dense est « très grand » » et te laisser caser les paragraphes suivants dans d'autres articles si tu le souhaites. Qu'en penses-tu ?
2. Boaf il va de soi que "facile" est à mettre à l'échelle du niveau du sujet traité. Après avoir vérifié que ce genre d'appréciation sur des coupes dans les preuves est banal en style encyclopédique, je ne vois pas pourquoi je m'en priverais - c'est quand même une info pour le lecteur de savoir si on a coupé un morceau de preuve parce qu'il est trop facile ou au contraire parce qu'il est trop technique. On pinaille beaucoup sur quelques mots, moi j'aimerais bien les garder. Touriste (d) 24 février 2010 à 09:05 (CET)

@ HB : Bien vu ta preuve, elle est claire et relativement courte, c'était l'ordre de grandeur de chose que je savais faire ; dès lors qu'elle ressemble à ce que j'avais en tête quand j'ai décidé d'être plus elliptique dans l'article elle ne me fait pas changer d'avis. Un article encyclopédique n'est pas un corrigé de devoir, il n'a pas vocation à fournir les preuves dans le même niveau de détail qu'on exigerait d'un étudiant - passer vite sur ce qui est relativement routinier pour mettre le reste en valeur me semble préférable. J'ai l'impression que d'ailleurs, pour cette preuve dans cet article, nous somme à peu près d'accord non ? Touriste (d) 24 février 2010 à 08:56 (CET)

Assez d'accord en effet (démonstration abordable) avec une faible préférence pour mettre la poussière sous le tapis en supprimant facile et aisé (POV) mais tu es maitre de l'article in fine. HB (d) 24 février 2010 à 11:25 (CET)

Tribu-trace

Pourquoi mettre un trait d'union ? Ambigraphe, le 22 février 2010 à 16:00 (CET)

Certaines sources utilisent le trait d'union, d'autres non. Les plus neutres utilisent les deux écritures dans la même phrase [7]. ---- El Caro ^bla 22 février 2010 à 16:06 (CET)

Comme écrit dans mon commentaire de diff : [8],«  Les traits d'union sont fidèles à la source ! » (et donc aussi leur apparente incohérence dans les cinq définitions alignées à la suite). Mais bon je reconnais que j'ai été un peu gamin, là, je rectifierai le tout, puisque El Caro me signale que des sources sérieuses utilisent aussi l'expression sans trait d'union. Touriste (d) 22 février 2010 à 16:25 (CET)

Le choix des mots

Je rappelle la question évoquée dans la section "etymologie". Le lecteur curieux va se poser la question  : Pourquoi le mot tribu ?", Pourquoi le mot algèbre ? pourquoi le mot sigma ?. Il ne me semble pas que l'article mette en évidence des réponses.

• Sur algèbre, il serait souhaitable de renvoyer rapidement sur l'article (créé récemment - merci Touriste) algèbre d'ensembles (et éventuellement créer une page d'homonymie: algèbre (homonymie) pour permettre un accès facile sur les structure d'algèbre sur un corps, sur un anneau, et algèbre d'ensemble) )
• sur la présence de sigma, étayer avec source si possible la relation avec dénombrabilité et l'écrire une fois en toute lettre dans le résumé introductif (pour ceusse pas familiarisés avec le grec)
• Sur le terme tribu, trouver l'origine de l'utilisation du mot serait un plus : la piste Bourbaki semble se confirmer [9] avec une citation de Pierrre Dugac "Bourbaki a été toujours guidé dans son choix des mots par leur sens "intuitif" et "naturel". Ainsi, les mots clan (division ethnique de la tribu) et tribu (groupe fondé sur une certaine parenté) invoquent une certaine "stabilité", en particulier pour la "réunion" ("finie" pour le clan, "dénombrable" pour la tribu)» à vérifier si possible.

Voilà quelques suggestions possibles pour rendre l'article attractif au non-agrégatif. A prendre ou à jeter si cela ne correspond pas à ton idée de l'article. HB (d) 24 février 2010 à 11:28 (CET)

J'avais justement quelques idées qui vont un peu dans le même sens.

• Pour algèbre, la nécessité de mettre ce lien tôt m'apparaissait justement en faisant la queue pour mon repas, après que tu l'eus demandé mais avant que je ne te lise. Je suis donc télépathe. Ce sera fait. Plus généralement je me disais que j'avais consulté assez de source pour pouvoir envisager de faire une page globale sur tous les machins qui servent en théorie de la mesure, qu'on pourra lier à l'occasion.
• Pour "sigma", puisque vous êtes deux à le suggérer dès le résumé introductif, je décide que vous avez raison.
• Pour l'origine de tribu, j'ai modifié ce que tu avais introduit il y a un an (attribution à Bourbaki) en considérant que Pier était plus fiable : atribution précise à de Possel (membre de Bourbaki - cf. fin de la section « Historique »). Je ne suis pas du tout passionné par la toponymie, donc ce n'est pas moi qui m'y collerai pour développer ça - simplement si on le développe ça doit rester à une place raisonnable (pas trop en évidence : l'article porte sur un concept mathématique pas sur un mot français - je note d'ailleurs en ouvrant quelques interwikis que personne n'a jugé bon de mentionner cette curiosité très francophonocentrée). L'hypothèse Bourbaki pourquoi pas mais elle semble en contradiction avec les faits : si de Possel utilise le mot en 1936, ce peut être l'indice que les membres de Bourbaki l'ont choisi dans leurs brouillons, dans leurs discussions préparatoires mais on ne sait trop. J'arrête là mais reviendrai peut-être, vu que je découvre que ces brouillons sont disponibles sur le web, on trouve tout sur le web. Je vais un peu fouiller les sources primaires et reviendrai peut-être pour ajouter quelque chose. Touriste (d) 24 février 2010 à 13:08 (CET)

Me revoilà. J'ai ouvert toutes les pièces de [10]. Il en ressort que le 25 février 1935, Bourbaki disait encore "sigma-corps" : [11] mais que plus tard, mais à une date non connue, il utilisait "tribu" dans un brouillon de plan de son fascicule d'intégration : [12]. Je vais continuer à ouvrir de sources primaires. La toponymie ne m'amuse pas, mais le travail collectif d'enquête policière sur Wikipédia, oui. Touriste (d) 24 février 2010 à 13:24 (CET)

Si on lit la collection do « journal de Bourbaki » [13] (ne pas confondre avec le journal de Mickey), on constate que c'est initialement Szolem Mandelbrojt qui était en charge de la rédaction du chapitre d'intégration, que début 1937 c'est pourtant Jean Dieudonné qui fournit un premier jet de premier chapitre et que Bourbaki parle de « tribus » en discutant ce premier jet le 16 mars 1937 [14]. Touriste (d) 24 février 2010 à 13:37 (CET)

Le document "non daté" où est mentionné "tribu" remonte quasi-certainement à la réunion de Besse de l'automne 1935 : cf sa cote "Delbe" (Delsarte - Besse) et son absence dans la page [15]. Il semble donc désormais attesté que "tribu" apparaît dans les discussions internes de Bourbaki _avant_ le papier de de Possel. Touriste (d) 24 février 2010 à 13:47 (CET)

Pardon, je n'avais pas lu correctement la partie sur l'historique du concept puisque la dernière phrase m'avait échappé et merci pour ce lien vers les comptes rendus du groupe Bourbaki. C'est une mine de renseignements sur la naissance des livres, les débats, les accrochages, les choix éditoriaux... Au hasard de mes lectures, j'ai ainsi découvert qu'outre le clan et la tribu, le groupe avait aussi envisagé la phratrie[16] (qui si je ne m'abuse correspond à l'anneau d'ensembles). Je partage ton avis sur le Delbe07 qui doit correspondre au congrès de Besse. Autrement, on trouve aussi le terme au congrès d'Escorial[17] (sept 1936) mais est-ce avant ou après la publication du volume 15 du journal de mathématiques de 1936 ? (...elle se débarrasse de la poussière et des toiles d'araignées récoltées dans cette plongée dans l'histoire...). Quel que soit ce que tu comptes mettre dans l'article (De Possel et/ou Bourbaki), je te remercie de m'avoir permis ainsi d'en découvrir davantage sur nos bourbakistes. HB (d) 24 février 2010 à 15:05 (CET)

tribu image réciproque

Je voudrais initier un sondage. J'ai un petit problème avec le vocable « tribu image réciproque ». En probabilité, σ(X) est appelée « tribu engendrée » par X, et à vrai dire je ne l'ai jamais vu appelée « tribu image réciproque ». Briane Pagès, qui semble être ta source (et une bonne source, me semble-t-il) serait une exception, à mon avis. Evidemment, comme tu définis la tribu engendrée par une famille d'applications, il suffit de mentionner que cela inclut les familles réduites à un seul élément, pour se conformer à l'usage (à mon avis dominant) en probabilités. Mais il serait mieux de conférer des statuts égaux aux deux terminologies « tribu image réciproque » par X et « tribu engendrée » par X en les mentionnant comme équivalentes dans la même (première) phrase de la section. Ceci en vertu du « principe de moindre surprise » ... Je vais un peu fouiller les livres et polys que j'ai sous la main.--Chassaing 24 février 2010 à 15:50 (CET)

Cela peut aussi avoir des répercussions sur l'article « tribu engendrée ».--Chassaing 24 février 2010 à 15:51 (CET)

J'ai fouillé une bibliothèque pas très riche en livres en français et ai trouvé mention de ce terme dans le cours d'Intégration d'André Gramain publié chez Hermann. Donc la source Briane-Pagès n'est pas source unique. En effet, dire "engendrée par une variable aléatoire" paraît évident quand on s'exprime en contexte probabiliste, en même temps en contexte analyse (mais en contexte analyse au niveau de ce que je peux lire il est vrai qu'on bidouille fort peu les tribus), l'expression "engendrée par une fonction" me paraitrait un peu bizarre. Je ne sais trop, disons qu'il est indispensable en effet de mentionner qu'il y a deux variantes, je ferai sous peu. Touriste (d) 25 février 2010 à 15:48 (CET)

La terminologie « tribu image réciproque », indépendamment de sa fréquence d'emploi, me semble plus explicite (mais aussi un peu plus lourde) que « tribu engendrée par f ». Cela dit, Barbe et Ledoux Probabilités, page 5, ou le poly de Le Gall page 100 introduisent la « tribu engendrée par f », Sidney I. Resnick "A probability Path" p. 83 ou Kallenberg "Foundations of Modern probability" page 5 ou Fristedt & Gray "A modern approach to probability Theory" page 123 introduisent la « sigma algebra generated by X ». La terminologie « tribu image réciproque » est à mon avis assez (voire totalement) marginale en probabilités. Mais il faudrait poursuivre le sondage pour en être plus sûr (j'ai fait avec les quelques livres que j'avais sous la main, et que je considère comme des sources fiables, mainstream et (ou) prestigieuses).--Chassaing 25 février 2010 à 20:07 (CET)

Cohérence des notations entre articles

Je suis embêté en touchant à pas mal d'articles de potentielles incohérences entre les notations. Non des incohérences mathématiquement incorrectes, mais des désagréments rendant la lecture désagréable pour le lecteur qui sautille de wikilien en wikilien.

Voici quelques exemples de notations :

• dans cet article les espaces mesurables sont notés $(\Omega ,{\mathcal {B}})$ (héritage de l'existant). Il en est de même dans espace probabilisable ;

• dans espace probabilisé, c'est $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ ;

• dans mesure (mathématiques), c'est $(X,{\mathcal {A}})$ ;

davantage au pif, dans théorème d'Egoroff, c'est $(E,{\mathcal {A}})$. Il doit y avoir d'autres variantes.

Au vu de l'existant partout ailleurs, je regrette que la tribu s'appelle ${\mathcal {B}}$ dans cet article (et ce depuis longtemps, j'ai poursuivi avec la notation qui existait avant que je n'y mette les pieds), et ai l'intention de remplacer tous les ${\mathcal {B}}$ par des ${\mathcal {A}}$. C'est fastidieux mais utile. Je sonde si personne ne pense que ça aurait des effets de bord désagréables, je ne pense pas (à part les innombrables lapsus que je laisserai au passage, enfin j'essaierai de me concentrer).

En revanche, ce pourrait être l'occasion de prendre des décisions sur le nom des espaces. Dans les articles de théorie de la mesure, X est dominant (mais on rencontre aussi E, en probas c'est bien sûr $\Omega$, X étant bouffé par les variables aléatoires. Je suggère de passer à X ici aussi et de réserver $\Omega$ aux articles qui sont _exclusivement_ probabilistes, de passer systématiquement aux lettres latines dans les articles à cheval entre la théorie de la mesure en général et les probas. Des objections, en particulier des probabilistes ? Touriste (d) 26 février 2010 à 22:13 (CET)

remplacer tous les ${\mathcal {B}}$ par des ${\mathcal {A}}$ me semble conforme à pas mal d'usages, et devrait améliorer la lisibilité (je n'osais pas le suggérer). Passer à X ici me semble raisonnable. En général, laisser $\Omega$ si l'article est à dominante proba ne devrait pas géner la lisibilité pour les analystes « purs », qui n'ont peut-être pas une tradition aussi ancrée pour nommer l'espace sous-jacent. A discuter au cas par cas, à mon avis. Sur les articles sur les tribus qui t'occupent actuellement, X est très bien. --Chassaing 26 février 2010 à 22:44 (CET)

Ordre des sections

Peu après l'ouverture du vote pour le label BA, Poppy (d · c · b) fait la critique suivante, pour l'instant non détaillée :

« Le plan est assez étrange avec des parties Motivation et Histoire placés à des positions qui sont loin d'être idéales. »

Depuis, El Caro et moi avons échangé quelques idées là-bas ; El Caro notamment m'a convaincu que le plan actuel est perfectible - mais pour l'instant nous avons deux plans alternatifs différents à proposer.

Voici le sien :

« Exemples/Motivations-Histoire/Constructions dans cet ordre »

à interpréter en y incorporant quelques remarques qu'il a faites plus haut, notamment la bizarrerie de détacher Boréliens et Lebesgue-mesurables des autres exemples, et les tribus engendrées des autres constructions.

Voici le mien :

« 1) Définition 2) Motivation 3) Exemples, y compris boréliens et tribu de Lebesgue 4) Propriétés élémentaires 5) Cardinalité 6) Constructions (s'ouvrant par la tribu engendrée) 7) Histoire »

Vous en pensez quoi vous ? Touriste (d) 28 février 2010 à 14:08 (CET)

Il y a eu des suggestions de Chassaing en page de vote "BA". Un point est consensuel : par rapport à ma proposition descencre plus bas la cardinalité (échanger le 5 et le 6 en gros). Il propose aussi d'échanger 3 et 4 ce qui semble à première vue une bonne idée (évite d'être obligé de se coltiner des espaces polonais avant de revenir aux propriétés élémentaires), je me demande quand même si les propriétés élémentaires avant les exemples très faciles ça va bien ou non (vu qu'elles sont assez longues, donc les exemples attendent beaucoup). Je m'interroge un peu à haute voix et vous interroge ici, si vous avez un avis (ce qui n'est pas forcé !). Touriste (d) 1 mars 2010 à 23:07 (CET)

Je trouve pour ma part que la très courte section "exemples" pourrait être fondue dans la section "définition" via le modèle « exemple », ce qui irait dans le sens de ta répugnance à reculer cette section, puisque cela reviendrait à l'avancer. Je trouve que la section « motivation » étant longue, on attend trop longtemps pour voir des exemples simples. Par ailleurs cette section « exemple » est beaucoup plus courte que les autres sections, avec un contenu moins substantiel, et détonne en pareille companie, alors qu'il y a un intérêt pédagogique majeur à faire apparaître des exemples simples juste après la définition, et avant cette longue section « motivation ». Je souhaiterais pour ma part un plan du type suivant :

1. Définition(+Exemples)
2. Motivations
3. Propriétés élémentaires
4. Constructions de tribus
   1. Tribu engendrée par un ensemble de parties
   2. Tribu image réciproque
   3. Tribu produit
   4. Tribu image
   5. Tribu trace
   6. Tribu complétée
   7. Deux exemples importants : les tribus de Borel et de Lebesgue
5. Cardinalité des tribus
6. Histoire du concept

En effet, que ce soit « Tribu engendrée par un ensemble de parties » ou « Deux exemples importants : les tribus de Borel et de Lebesgue » ne me semblent pas mériter clairement de constituer des sections à part entière du moment que (Tribu image réciproque, Tribu image, Tribu trace, Tribu produit, Tribu complétée) sont des sous-sections. Surtout, ce que je propose diminue le nombre de sections principales, ce qui me semble mieux structurer l'erticle.

J'ai été nombriliste et j'ai mis en tête des sous sections de « Constructions de tribus » les 3 constructions qui servent le plus en probabilités (Tribu engendrée par un ensemble de parties, Tribu image réciproque, Tribu produit), mais j'admet que c'est arbitraire. Par ailleurs la tribu de Lebesgue est complétée donc je la verrai plutôt après « Tribu complétée ». --Chassaing 2 mars 2010 à 00:21 (CET)

J'ajoute qu'à mes yeux la section « Cardinalité des tribus » reste un peu le vilain petit canard là-dedans (au niveau de l'urgence et de l'utilité). L'intérêt de cette section est, à mes yeux, la construction d'un isomorphisme avec une tribu triviale (dans certain cas) ce qui revient à donner dans certains cas une description explicite de tribus, alors qu'en général les tribus envisagées sont implicites plutôt qu'explicites, sont des tribus engendrées, dont on ne peut « énumérer  » les éléments. Cette construction d'atomes a l'intérêt de rendre la notion de tribu plus concrète, peut-être. Le résultat sur la cardinalité est joli et m'avait émerveillé à une époque lointaine, mais à mes yeux c'est un byproduct, la cerise sur le gateau. Cela dit ça fait pas de mal, on peut voir cela comme une illustration, ça a vraiment sa place. Finalement, tel qu'il est, l'article est une immense amélioration, comparé à ce qui existait au début de Février. L'histoire de la terminologie est amusante. Faut-il voir dans l'orthographe si spéciale de « phratrie » une séquelle d'un passage en classe prépa de nos bourbakistes (cf. l'orthographe khâgne ou kholle qu'on y rencontre) ?--Chassaing 2 mars 2010 à 00:50 (CET)

Je m'apprêtais à exécuter, tout ne me convainc pas quand même : je trouve que ça renvoie les boréliens bien loin ta suggestion. Je suis en revanche tout à fait d'accord pour remonter les exemples un peu plus haut, et au contraire exiler vers le bas la cardinalité. Allez je cesse de consulter tous azimuths, j'ai le temps ce soir pour faire ce chamboulement pas très passionnant (se concentrer pour bien gérer les "op. cit." bof bof) et j'exécute un truc inspiré de ta dernière suggestion, mais qui laisse quand même un peu plus haut la tribu engendrée par un ensemble de parties et à sa suite les boréliens. Touriste (d) 10 mars 2010 à 20:48 (CET)

Bien fait ! Avec le modèle {{m:harvsp}} tu n'aurais pas été obligé de gérer les "op. cit." Hé, hé ! ---- El Caro ^bla 11 mars 2010 à 07:45 (CET)

Illustrations ?

Je sais que c'est futile, qu'il y en a déjà 2, et qu'il ne faut pas en abuser. Mais je verrais bien 2 illustrations de part et d'autre du texte introductif et sommaire (genre : remonter Borel, quitte à mettre quelqu'un d'autre à sa place actuelle, et ajouter Lebesgue). Hélas, ces photos ne sont pas très sexy. Je n'ai pas de meilleure idée. Anne Bauval (d) 28 février 2010 à 16:01 (CET)

Pour la même raison que j'essaie de refuser de remonter l'histoire plus tôt, je suis en désaccord avec ça - car ça aurait un parti pris éditorial qui mettrait trop l'accent sur le caractère historique par rapport à son poids dans l'article. De plus, quand on discute d'histoire, ça me semble poser aussi un problème de mettre trop des bobines de gens ; ça met à mon sens trop en relief l'histoire comme histoire d'individus - on n'échappe pas à énumérer des noms propres dans une section historique, et en même temps l'histoire ne se réduit pas à l'énumération des actions des Grands Hommes, fussent-ils ministres de la Marine. Touriste (d) 28 février 2010 à 16:08 (CET)

T'inquiète pas, Anne, en insistant, on peut mettre "la bobine" de quelqu'un dès l'intro d'un article écrit par Touriste, et même une photo de foot !

Bon, ceci dit, je m'étais posé la question du "manque" d'image sur cet article il y a quelques jours, et je ne vois pas trop quoi mettre non plus. ---- El Caro ^bla 28 février 2010 à 16:30 (CET)

Pas fais gaffe à "trop d'histoire". 100% d'accord. Ouatabout des "patates colorées" figurant les opérations ensemblistes en jeu ? (ou "pomper" sur de meilleures idées dans des bouquins ?) Anne Bauval (d) 1 mars 2010 à 14:03 (CET)

Boaf là pas contre par principe mais grosse flemme pour faire. Je pensais aussi qu'on peut illustrer le fait que les morceaux de plan unions finies de rectangles forment une algèbre d'ensembles engendrant la tribu borélienne (ou du moins les boréliens dessinables, genre les disques ouverts) en dessinant des unions finies de rectangles formant une suite croissante qui remplit un disque. Mais là aussi j'ai la flemme, et je ne suis pas sûr que je saurais faire quelque chose de présentable. Touriste (d) 1 mars 2010 à 23:10 (CET)

usage des indices

salut, noter une union avec juste n élément de N comme indice me semble être un raccourci regrettable. c'est peut-être naturel pour vous mais pour moi pas. y a-t il une bonne raison de faire ainsi?

prière de signer SVP. Cela dit la question n'est pas assez explicite pour etre tout à fait claire, vous pourriez plutôt, par exemple, reproduire ici à l'identique la notation qui vous gène, et nous montrer par la même occasion l'alternative qui vous conviendrait mieux ... Si il s'agit des notations de la section Tribu (mathématiques)#Définition, avec $n\in \mathbb {N}$ ou $i\in I,\$ sous le signe union, la théorie en regorgeant, elles sont plutôt moins lourdes et plus économiques, tout en étant parfaitement précises. Il y a des occasions où l'ensemble d'indices est compliqué et où ce type de notation est le seul praticable, et encore, à la limite. A mon avis, habituer le lecteur à ce type de notation qu'on retrouve dans la plupart des manuels est le meilleur service qu'on puisse lui rendre ... (pas sûr que je ne réponde pas à côté). Chassaing 26 mai 2011 à 16:43 (CEST)

Grossière et triviale

On assiste à une valse hésitation sur la définition des deux mots. Une première recherche me fait penser que dans la littérature on rencontre deux définitions contradictoires [18], [19]. Ne faudrait-il pas affiner les choses en présentant un auteur de référence ou admettre que la définition des termes n'est pas universelle et se contenter de les exposer sans les nommer ? HB (d) 21 mars 2013 à 10:17 (CET)

Personnellement, je n'utilise pas l'adjectif « trivial » pour une tribu, mais de façon cohérente avec la topologie, je parlerai plutôt de tribu grossière et tribu discrète ou totale. Le vocabulaire avancé par le deuxième lien me semble donc très douteux. Ambigraphe, le 25 mars 2013 à 16:48 (CET)

Bon, déjà, il faut modifier notre article qui écrit « La tribu dite grossière (aussi appelée discrète) : ${\mathcal {A}}=\{\varnothing ,X\}$ » qui me semble en contradiction avec le vocabulaire de topologie. Ensuite, on pourrait employer discrète et grossière qui ne prête pas à ambiguité et sourcer les propos pour éviter des modifications intempestives. malheureusement pour l'instant je ne peux sourcer que par des livres de topologie. HB (d) 25 mars 2013 à 17:50 (CET)

ca me semble tres raisonnable, j'ai peut-être une idee de source, et je reviens avec tout de suite. Chassaing 25 mars 2013 à 19:40 (CET)

Désolé, chou blanc. Chassaing 27 mars 2013 à 17:00 (CET)

Tribu cylindrique : théorème faux ?

Salut,

Dans la section « Tribu cylindrique », on peut lire ceci :

=== Tribu cylindrique ===

Définition et théorème — Soit $((X_{n},{\mathcal {A}}_{n}))_{n\in \mathbf {N} }$ une suite d’espaces mesurables, et $X=\prod \limits _{n\in \mathbf {N} }X_{n}$. On appelle tribu cylindrique la tribu sur $X$ engendrée par l’ensemble des cylindres $C=\left\{A_{1}\times \dots \times A_{k}\times \prod \limits _{n\geq k+1}X_{n}\mid k\in \mathbf {N} ^{*},(A_{1},\dots ,A_{k})\in {\mathcal {A}}_{1}\times \dots \times {\mathcal {A}}_{k}\right\}$.

Jusqu’ici c’est très bien (à part que l’alignement est moche), mais ensuite :

Si de plus $(\mu _{n})_{n\in \mathbf {N} }$ est une suite de mesures définies sur les espaces mesurables précédents, alors il existe une unique mesure $\mu$ sur $(X,\sigma (C))$ telle que :

$\forall k\in \mathbf {N} ^{*},\forall (A_{1},\dots ,A_{k})\in {\mathcal {A}}_{1}\times \dots \times {\mathcal {A}}_{k},\mu \left(A_{1}\times \dots \times A_{k}\times \prod \limits _{n\geq k+1}X_{n}\right)=\mu _{1}(A_{1})\times \dots \times \mu _{k}(A_{k})$

Or, construire une mesure produit n’est normalement pas aussi simple… L’outil de base étant le théorème d'extension de Carathéodory, en général il faut une hypothèse de σ‐finitude pour l’unicité, et des hypothèses de stabilité de l’ensemble générateur pour l’existence (ceci dit l’ensemble des cylindres a des propriétés de stabilité qui suffisent pour certaines versions du théorème de Carathédory)… Et la σ‐additivité de μ (ce qui n’est pas évident, même pour un produit fini). Même le cas fini demande plus d’hypothèses que ce qui est écrit là.

Donc dans le doute c’est complètement faux (ça ferait tache dans un « bon article »), mais je préfère attendre confirmation.

— Maëlan 16 juin 2017 à 03:14 (CEST)

En effet ! Cet ajout est postérieur à la promotion en bon article. Je notifie  Pic-Sou :. Anne (discuter) 16 juin 2017 à 09:35 (CEST)

Je vais vérifier mes sources. Il paraît manifeste que la σ-additivité manque pour avoir l’unicité de la mesure sur la tribu : dans la mesure où c’est (semble-t-il) essentiellement dans le domaine des probas que cette construction trouve à s’appliquer (j’ai fait cet ajout parce que ce résultat est nécessaire pour faire proprement une partie du programme de maths spé post-2015, le jeu de pile ou face infini doit être traité par exemple), j’avais surtout en tête le cas fini…

Ensuite, il me semble que c’est une application du théorème de Carathéodory sur les semi-anneaux d’ensembles (les cylindres en forment un). Le point qu’il reste à vérifier, c’est que la mesure définie sur les cylindres est bien σ-additive, et je crois que ça fonctionne un peu de la même façon que pour le cas fini (voire que ça s’y ramène).

Je retire à titre provisoire la section avant d’être sûr que tout est bon.

Cordialement --Pic-Sou 16 juin 2017 à 12:09 (CEST)

En effet, l’ensemble C des cylindres forme un semi‐anneau, ça suffit pour Carathéodory donc pas besoin d’hypothèse supplémentaire de ce côté‐là.

Et en effet, pour montrer la σ‐additivité sur C de μ on se ramène souvent à l’additivité tout court (qu’on montre sans hypothèse) grâce à la propriété de Borel‐Lebesgue (de toute recouvrement d’un cylindre par des cylindres, on extrait un sous‐recouvrement fini, en particulier dans le cas d’une union disjointe). En revanche ça demande une hypothèse de quasi‐compacité, qu’on a dans le cas de produits d’espaces finis (de façon élémentaire, grâce au lemme de König) ou plus généralement quasi‐compacts (grâce au très bourrin théorème de Tychonoff). L’hypothèse est suffisante, nécessaire je ne sais pas.

Quant à la σ‐finitude, la définition de la mesure produit dans le cas infini implique de toute façon que les mesures μ_n soit de probabilités (μ₀(X₀) × … × μ_k-1(X_k-1) = μ(X) = μ₀(X₀) × … × μ_k-1(X_k-1) × μ_k(X_k)) d’où μ_k(X_k) = 1).

Si je récapitule, des hypothèses avec lesquelles le théorème marche :

• existence : σ‐additivité de μ (en particulier, espaces quasi‐compacts (en particulier, espaces finis))
• unicité : σ‐finitude (en particulier, finitude (en particulier, probabilitude)) probabilitude

Quelqu’un de plus expérimenté peut confirmer ?

— Maëlan 16 juin 2017 à 18:49 (CEST)

Bon bah j’ai mis ça dans la page.

— Maëlan 25 juin 2017 à 18:43 (CEST)

Limites d'ensembles

En lisant un cours de probabilités, je lis un "rappel" sur les limites supérieure et inférieure d'une suite de parties d'une tribu sont ... etc. Je veux en savoir davantage, et j'ai dû consulter l'article en anglais sur les tribus (sigma-algebras) où il est fait mention de ces limites très tôt dans l'article. Cependant, on trouve définition de ces limites dans l'article consacré au théorème de Borel-Cantelli. 148.66.85.49 (discuter) 29 octobre 2021 à 02:14 (CEST)

La notion de limite supérieure et limite inférieure n'est pas spécifique à la tribu. On en trouve dans tout treillis complet et en particulier dans l'ensemble des parties d'un ensemble. Je ne pense pas que cet article soit le lieu pour rappeler la définition générale. Il y a peut-être des propriétés spécifiques liées à la notion de tribu mais je n'en vois pas à part l'existence d'une limite sup et limite inf pour toute suite d'éléments de la tribu (stabilité par union dénombrable et complémentaire). Faut-il ajouter cette propriété dans l'article ? HB (discuter) 29 octobre 2021 à 07:34 (CEST)