Utilisateur:Ggsab/Brouillon
Une catégorie bicartésienne est, en mathématiques — et plus précisément en théorie des catégories — une catégorie qui a tous les produits finis et les coproduits finis [1].
Une catégorie bicartésienne fermée a de plus tous les objets exponentiels.
Une catégorie cocartésienne a tous les coproduits finis, on peut donc dire qu'une catégorie bicartésienne est une catégorie cartésienne et cocartésienne, et qu'une catégorie bicartesienne fermée est une catégorie cartésienne fermée et cocartésienne.
Définition
modifierSoit une catégorie. est une catégorie bicartésienne si pour toute catégorie discrète et finie et pour tout diagramme il existe un cône limite et un cocône colimite de base dans .
est une catégorie bicartésienne fermée si est bicartésienne et pour toute paire d'objets dans il existe un objet exponentiel dans avec pour domaine interne et pour codomaine interne .
Propriétés
modifier- Une catégoriee bicartésienne fermée est distributive (i.e. le morphisme canonique est un isomorphisme);
Soit une catégorie bicartésienne fermée et soient trois objets de . Soit le morphisme de factorisation canonique. Construisons l'inverse de .
Puisque est fermée, on peut curryfier l'injection canonique en . De même, on curryfie la deuxième injection canonique pour obtenir .
Grâce à ces deux jambes on peut construire un morphisme . En appliquant le foncteur , on obtient le morphisme qui composé avec le morphisme d'évaluation de l'objet exponentiel nous donne l'inverse voulu .
- une catégorie bicartésienne fermée qui a les objets coexponentiels (autrement dit une catégorie cartésienne fermée et cocartésienne cofermée) est un préordre.
Dans une catégorie cocartésienne , un objet est initial si et seulement si pour tout objet , . Montrons d'abord que pour tout objet de , .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ce/Preuve_de_0%2BY_%E2%88%BC_Y_dans_une_cat%C3%A9gorie_quelconque.svg/220px-Preuve_de_0%2BY_%E2%88%BC_Y_dans_une_cat%C3%A9gorie_quelconque.svg.png)
Montrons que dans une catégorie cartésienne fermée et cocartésienne cofermée, deux morphismes qui ont pour domaine un objet terminal sont égaux.
Références
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