Utilisateur:Ggsab/Brouillon

Une catégorie bicartésienne est, en mathématiques — et plus précisément en théorie des catégories — une catégorie qui a tous les produits finis et les coproduits finis .

Une catégorie bicartésienne fermée a de plus tous les objets exponentiels.

Une catégorie cocartésienne a tous les coproduits finis, on peut donc dire qu'une catégorie bicartésienne est une catégorie cartésienne et cocartésienne, et qu'une catégorie bicartesienne fermée est une catégorie cartésienne fermée et cocartésienne.

Définition

Soit ${\mathcal {C}}$ une catégorie. ${\mathcal {C}}$ est une catégorie bicartésienne si pour toute catégorie discrète et finie ${\mathcal {I}}$ et pour tout diagramme $D:{\mathcal {I}}\to {\mathcal {C}}$ il existe un cône limite et un cocône colimite de base $D$ dans ${\mathcal {C}}$.

${\mathcal {C}}$ est une catégorie bicartésienne fermée si ${\mathcal {C}}$ est bicartésienne et pour toute paire d'objets $(A,B)$ dans ${\mathcal {C}}$ il existe un objet exponentiel $A\multimap B$ dans ${\mathcal {C}}$ avec pour domaine interne $A$ et pour codomaine interne $B$.

Propriétés

• Une catégoriee bicartésienne fermée est distributive (i.e. le morphisme canonique $(A\times B)+(A\times C)\to A\times (B+C)$ est un isomorphisme);

Démonstration

Soit ${\mathcal {C}}$ une catégorie bicartésienne fermée et soient $A,B,C$ trois objets de ${\mathcal {C}}$. Soit $f:(A\times B)+(A\times C)\to A\times (B+C)$ le morphisme de factorisation canonique. Construisons l'inverse de $f$.

Puisque ${\mathcal {C}}$ est fermée, on peut curryfier l'injection canonique $A\times B\to (A\times B)+(A\times C)$ en $B\to (A\multimap (A\times B)+(A\times C))$. De même, on curryfie la deuxième injection canonique $A\times C\to (A\times B)+(A\times C)$ pour obtenir $C\to (A\multimap (A\times B)+(A\times C))$.

Grâce à ces deux jambes on peut construire un morphisme $B+C\to (A\multimap (A\times B)+(A\times C))$. En appliquant le foncteur $A\times -$, on obtient le morphisme $A\times (B+C)\to (A\times (A\multimap (A\times B)+(A\times C)))$ qui composé avec le morphisme d'évaluation de l'objet exponentiel nous donne l'inverse voulu $A\times (B+C)\to (A\times B)+(A\times C)$.

 

• une catégorie bicartésienne fermée qui a les objets coexponentiels (autrement dit une catégorie cartésienne fermée et cocartésienne cofermée) est un préordre.

Démonstration

Dans une catégorie cocartésienne ${\mathcal {C}}$, un objet $X$ est initial si et seulement si pour tout objet $Y$, $X+Y\cong X$. Montrons d'abord que pour tout objet $Y$ de ${\mathcal {C}}$, $0+Y\cong Y$.

Sur le diagramme de gauche, $q_{2}^{-1}$ est le morphisme canonique de la colimite en pointillé jusqu'au cocône sur Y. On en déduit $q_{2};q_{2}^{-1}=Id_{Y}$. Sur le diagramme de droite, il ne peut y avoir qu'un unique morphisme canonique de la colimite au cocône sur $0+Y$, on en déduit $q_{2}^{-1};q_{2}=Id_{0+Y}$.

Montrons que dans une catégorie cartésienne fermée et cocartésienne cofermée, deux morphismes $f,g:1\to X$ qui ont pour domaine un objet terminal sont égaux.

 

Articles connexes

• catégorie cartésienne
• topos