Discussion:Point à l'infini

Article à approfondir

La notion de point à l'infini, spécifique de la géométrie projective mérite un développement plus sérieux. Malheureusement ce n'est pas mon domaine donc je ne peux pas faire grand chose.

En particulier j'ai laissé cette phrase qui me semble très obscure

De plus, chaque droite est, dans $\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} )$, une droite projective : chacune à son propre point à l'infini. Deux droites d'un espace affine sont parallèles si et seulement si elles ont le même point à l'infini.

En revanche, j'ai supprimé dans l'introduction le fait que l'on pouvait parler de point à l'infini en géométrie affine; Ce n'est pas le cas à moins de plonger l'espace affine dans un espace projectif. HB 4 juin 2006 à 17:11 (CEST)

Je pense que la majorité de l'article est de moi, mais je ne suis pas spécialiste en géométrie... Mon point de vue vient de l'étude des courbes elliptiques en cryptographie et on n'est pas assez formel dans ce contexte-là pour les critères normaux des mathématiciens... Bref, je ne sais pas si je peux l'améliorer non plus... sauf un hasard qui m'amènerait à en lire plus sur le sujet. Gene.arboit 4 juin 2006 à 21:34 (CEST)

géométrie affine

Oui mais le programme du CAPES en parle, du point à l'infini du plan complexe, tout à la fin du chapitre "Géométrie affine", comment le justifier ? Je crois que c'est juste pour introduire les inversions, qui conservent les droites et cercles, une droite étant alors un cercle qui passe par l'infini.

Equivalence des articles sur les autres wikis - complétion du plan

Les renvois vers les autres wikis ne sont pas tous équivalents. L'article anglais est proche du nôtre, quoique plus clair à mon avis. Sont proches dans le concept les articles Néerlandais, Portugais et Espagnols. Je ne trouve pas que les articles Allemands et Italiens soient équivalents à l'article Français. Je suis incompétent pour juger des autres langues. Par ailleurs, il me semble que dans l'article en Français, il n'est pas assez distingué de deux notions de complétion à l'infini du plan. On peut compléter le plan à l'infini par une droite à l'infini (processus usuel en géométrie projective) ou par un unique point à l'infini (sphère de Riemann; analyse complexe), mais les ensembles obtenus sont différents quant à leurs propriétés topologiques ( ils ne sont pas homéomorphes.).Par respect du travail effectué, et conscient que de plus compétents que moi le feront mieux, je m'abstiens de reprendre le texte, mais je crois franchement qu'il contient des imprécisions graves qui peuvent induire un lecteur non-prévenu en erreur. Cordialement,LEMEN (d) 31 mars 2011 à 12:03 (CEST)

Je suis d'accord que ce serait mieux de supprimer les interwikis allemand et italiens.

Les complétés sont différents, oui, et celui par une droite n'est pas détaillé autrement que par des liens. Je trouve ça normal puisque ce n'est pas le sujet de l'article.

Quelles "imprécisions graves" vois-tu ?

Anne Bauval (d) 31 mars 2011 à 12:54 (CEST)

A brûle pourpoint, je trouve qu'il n'est ni donné de définition du point à l'infini, ni (si on ne veut pas en donner) mentionné que ce concept n'est pas susceptible d'une définition univoque simple (la notion même de point à l'infini (existence) est trop peu esquissée si tu préfères), de sorte qu'on ne sait pas si on parle de la chose ou de l'utilisation de la chose;

je trouve également qu'on y mêle très abruptement l'idée de complétion d'un corps (commutatif (?) je ne suis pas sûr qu'on ne puisse pas définir la notion de point à l'infini sur un corps non commutatif ou même un anneau, voire un ensemble infini de nombres non bornés), avec celle plus géométrique de complétion d'ensembles de points;

je touve aussi :

• que le lien avec la notion de complétion est peu explicite;
• qu'on n'insiste pas assez sur le fait qu'on obtient des ensembles différents en utilisant des notions de point à l'infini non-identiques (ou des complétions non-identiques (?));
• qu'on n'y parle pas des points complexes à l'infini si importants pour la géométrie projective.

La notion même de point à l'infini demeure pour moi assez étrange, et je ne sais pas comment l'introduire d'une manière non-historique. En revanche c'est je crois aussi une notion très importante de mathématique, mais sans doute cette perception m'est-elle personnelle, puisque je vois que l'article est classé de priorité faible. Je ne suis donc probablement pas la bonne personne pour en parler.

Il y a tout de même des points positifs dans l'article Français : il est court et bien senti; on y fait référence à des notions importantes comme la sphère de Riemann ou les compactifiés d'Alexandrov. Si on compare avec le wiki Portugais, nous n'avons pas à rougir, mais d'habitude la différence est plus marquée, et reste même souvent notable quand on compare aux wikis Anglais, Allemands, ou Italiens. Je profite de cette réponse pour te renouveler mes excuses pour ma confusion d'hier sur le théorème de von Staudt-Clausen... A ta disposition, cordialement,LEMEN (d) 31 mars 2011 à 15:53 (CEST)

J'ai déplacé ces 3 phrases dans la section "exemples en géométrie projective" parce qu'elles m'y semblent plus à leur place, d'ailleurs les 2 premières y étaient plus ou moins déjà donc j'ai fusionné. Dans la 3^e, que je ne comprends pas, j'ai mis des liens rouges. J'ai remis le bandeau signalant qu'il manque un résumé introductif, que je ne suis pas capable de faire. Anne Bauval (d) 1 avril 2011 à 18:43 (CEST)

Mais c'est justement cette même phrase que je ne comprends pas bien non plus; c'est que je ne suis pas sûr de ce qu'est un "cercle complexe dans le plan projectif complexe" (est-ce que le "plan projectif complexe" dont on parle est supposé paramétré "en x+iy" (avec x et y réels) ou "en x+iy" (avec x et y complexes)?). Tel que c'est écrit, je comprends (avec des doutes) que le plan complexe envisagé est un plan ayant quatre dimensions réelles; une sorte de modèle géométrique des quaternions ou quelque chose du genre. Ce n'est pas pour moi un objet très familier. Donc, compte tenu de ma "connaissance modérée" (euphémisme pour dire nulle) de la géométrie projective à plusieurs dimensions sur le corps des complexes, "je passe" comme on dit au bridge.

Par ailleurs, le renvoi vers "ombilic page de redirection" me semble très "hard". Il me paraît que la notion de point ombilical d'une surface n'est pas si évidemment liée que celà à celle de "point cyclique" (je serais intéressé de connaître le lien s'il existe). En tout cas, ce lien ne me semble pas trivialement "grand public". Or sur la page de renvoi, les deux notions sont livrées "comme tu veux tu choises". Le renvoi "sec" à partir de l'article devient donc à mon avis passablement technique. Je crains que l'auteur ne se soit pas rendu compte du niveau lamentable de ses lecteurs. En tout cas, je ne peux plus suivre.LEMEN (d) 1 avril 2011 à 22:04 (CEST)

La phrase en question.

J'ai écrit cette phrase trop vite sans me méfier de l'absence des prérequis--. effectivement il s'agit de P(C²), non pas de P(R^^4). Mais dans wp-france il manque pour l'instant un article P(C²), il existe juste en anglais "Complex projective plane" comme tu l'as fait remarquer. Il manque aussi ce qui serait "Ombilics (géométrie)" ou "Points cyclique (géométrie)". Il n'y a pas d'article "Droite isotrope (géométrie)", l'article "Vecteur isotrope" existe, il n'a absolument aucune source, aucune référence; en revanche il contient un petit théorème, celui-ci: lorsque E est un espace vectoriel complexe de dimension supérieure ou égal à 2, toute forme bilinéaire sur E admet au moins un vecteur isotrope. voilà c'est un peu léger . Sans aller jusqu'à pré-requérir les formes bilinéaires, j'ai regardé "Produit scalaire" mais cet article me semble un véritable embrouillamini, il semble quelquefois exiger que le corps commutatif K ait des propriétés telles qu'il n'existe pas de vecteur isotrope non-nul, donc pas d'espoir de ce côté. J'avais trop vite parlé de cercle imaginaire (ou complexe)-- mais déception, l'article "Cercle" ne cite aucune source, alors là aussi, prudence si l'on veut introduire la notion de "cercle complexe". L'article "Structure d'incidence" n'existe pas non plus, en allemand "Inzidenzstruktur" existe.. Si j'avais à définir le plan projectif complexe P(C²), je dirai que c'est un ensemble de points et de droites muni de la "structure d'incidence" (Inzidenzstruktur), chaque droite étant une sphère de Riemann et chaque point étant (je ne sais pas exactement quelle définition généraliste j'utiliserai--). C'est seulement ensuite que je parlerai de droites isotropes. Ensuite, mon parachutage de "cercles complexes" était prématuré. La page d'homonymie Faisceau donne une piste : En géométrie traditionnelle, le terme est utilisé pour désigner des familles simples de parties d'un espace (affine ou projectif) dépendant d'un seul paramètre. Voir les articles détaillés faisceau dedroites, faisceau de cercles, faisceau de coniques. On voit que faisceau de coniques est rouge sur WP-France, encore un manque à combler. Et la notion de faisceau dans un plan projectif n'est pas suffisante pour la petite phrase que j'avais écrite, ce qu'il faut c'est le concept de Réseau de coniques, je crois qu'ils ont été étudiés par L. Cremona et J. Steiner (Luigi Cremona et Jakob Steiner), un réseau de coniques comprenant une infinité de faisceaux de coniques reliées par une propriété commune. Par exemple, mais ce n'est qu'un exemple, dans P(C²), le Réseau des coniques passant par les deux "points cycliques" est l'ensemble des "cercles complexes" du plan P(C²). Est-ce que toutes ces concepts vieux de plus de 150 ans intéressent quelques lecteurs de WP-France? Je n'en sais rien. Et pour tous ces concepts il faudrait que j'aille chercher des références bibliographiques, dans des librairies comme Eyrolles, Gibert, Flammarion, ou sur le web, activité absolument chronophage, je n'en ai pas le temps ni le courage. On verra bien dans quelques mois comment les choses auront évolué. Sincèrement vôtre. Michelbailly (d) 3 avril 2011 à 13:29 (CEST)

Plan projectif complexe

Rebonsoir Michel, au sujet de ma modif dont nous venons de parler au Thé, et que j'avais expliquée ici (section 3 ci-dessus), je n'ai pas plus détruit ta phrase concernant le plan projectif complexe et les points à l'infini de ses droites que celle, identique et déjà présente, concernant le plan projectif réel : j'ai juste fusionné les deux en enlevant les mots "réel" et "complexe". Anne Bauval (d) 4 avril 2011 à 01:33 (CEST)

Pour avoir été en conflit dès le départ (à mes torts, sans doute) avec Anne Bauval, je lui reconnais une bonne foi jamais démentie depuis (et une grande implication convaincue , je lui pique ses smileys). Il s'agit d'un malentendu ? Les contributions de chacun(e) sont utiles, j'espère que Michelbailly relativisera et poursuivra sa participation. Asram (d) 4 avril 2011 à 03:52 (CEST)

Rebonjour. Merci, voilà plusieurs bonnes nouvelles de la part de Anne et Asram. Moi aussi je recopie les smileys de Anne car je n'ai pas trouvè où les trouver ailleurs.

Relativisons, relativisons. Ce n'était pas une coupure malveillante, c'était juste une fusion, tant mieux, mais je n'ai pas eu d'hallucination.

Anne est d'une bonne foi jamais démentie, OK, je confirme (jusqu'à cette modif où j'ai eu un doute), doute maintenant dissipé puisqu'il s'agissait d'une fusion.

Je suis moi aussi partisan de la concision, quand on peut exprimer une idée commune en 1 phrase, autant faire 1 phrase plutôt que 2. Mais il faut aussi trouver le meilleur compromis entre la concision et l'explicitation d'un sujet tout de même abstrait.

Il faut voir sur l'historique que tout s'est passé très vite, du 31 mars au soir au 3 avril après-midi.

Le 31 mars, je me disais qu'il serait élégant de faire le parallélisme d'exposition; au-dessus il y avait 2 cas, P1(R) et P1(C) avec des jolis dessins, en-dessous il y avait un cas, P²(R), alors je me suis dit, parallélisons l'exposé en parlant de P²(C), ce qui n'était pas sorcier. En plus j'ai commis 2 erreurs, placer ma phrase dans la section = =Autres exemples= = (erreur vénielle), et parler des points cycliques et du réseau des cercles, ce qui eût nécéssité des pré-requis dont je n'avais pas vérifié l'absence, jai voulu faire trop vite.

Immédiatement après, voir la modif de 23h29, j'ai exprimé mon début de phrase de manière mathématiquement plus correcte. "chaque droite projective complexe a UN point à l'infini. Celui-ci se trouve sur la droite à l'infini complexe du plan projectif."

Pourquoi cela? Parce que l'ancienne phrase du 31 mars 2011 à 21:02 sur P²(R) était : "Dans un plan projectif, comme le plan projectif réel , chaque droite projective a son propre point à l'infini. Celui-ci se trouve sur la droite à l'infini du plan projectif. Deux droites projectives ont le même point à l'infini si et seulement si..etc..."

ce qui était pas correctement exprimé en français, c'était contradictoire, un objet ne peut pas à la fois être propre à n personnes distinctes et être commun à ces n personnes; mais ce genre de chose arrive souvent quand on rédige, il fallait que quelqu'un s'en aperçoive, ça a été moi, et j'ai fait la modif a UN point à l'infini dans ma phrase d'abord.

Le lendemain, 1 avril à 14h21, Anne a fait sa transformation assortie d'une fusion en toute bonne foi.

Avantage de cette modif: le marquage en rouge m'a permis d'aller voir qu'il manquait tous les prérequis nécessaires au Réseau des cercles, aux droites isotropes, aux points cycliques sur wp-France.

2 Inconvénients de cette modif: elle rompait le beau parallèlisme d'exposition droite projective (sur R, sur C) // plan projectif (sur R, sur C). Et surtout la phrase commune concise adoptait en facteur commun la version incorrecte "Dans un plan projectif, chaque droite projective a son propre point à l'infini. .... Deux droites projectives ont le même point à l'infini si et seulement si...etc..."

Dans un premier temps j'ai été choqué par une telle reconduction d'erreur,

Puis le 2 avril à 19h18 j'ai rétabli la formulation correcte dans la phrase en facteur commun sur les plans projectifs, j'ai donc écrit "chaque droite projective a un et un seul point à l'infini.", dans la petite explication de la modif j'ai expliqué "(→Exemples en géométrie projective : précision de vocabulaire)"

Voilà l'explication du malentendu hier soir sur le Thé: Anne était persuadée d'avoir été fidèle à la signification en opérant une fusion le 1 avril, moi j'étais persuadé qu'il y avait eu une régression que j'avais été obligé de réparer le lendemain. Relativisons, relativisons...

Ne te fais pas de souci pour ma participation, Asram, nul n'est indispensable à la géométrie, comme je viens de l'expliquer hier sur Le Thé, il y a des milliers d'étudiants et de professionnels francophones qui savent faire des calculs linéaires et biilinéaires et des formes multilinéaires alternées en géométrie projective analytique de coordonnées homogènes, je ne tiens pas à demeurer l'unique pensionnaire du Jurassic Park de la géométrie projective pure (ou synthétique) sur wp-francophone. à plus tard, dans quelques mois chers amis.-Michelbailly (d) 4 avril 2011 à 13:12 (CEST)

Je ne suis pas sûr d'avoir tout suivi (malentendu sur le "thé"???? - pour moi, le thé est une boisson chaude ou une plante qui pousse notamment en Inde (Darjeeling etc... !!!!)), mais en tout cas, l'article est plus clair maintenant, même s'il "décolle" encore un peu vite à mon goût. Merci. LEMEN (d) 4 avril 2011 à 21:24 (CEST) le thé c'est une page Projet:Mathématiques/Le Thé

Ah d'accord !!! Je ne suis pas, malheureusement, la personne spécialiste de géométrie projective complexe que vous cherchez... (NB : Heureusement pour moi, je crois, car c'est un "truc" qui ne se pratique plus beaucoup. Si je l'étais, je serais donc "encore plus vieux", or mon âge actuel fait plus que me suffire. Cependant, je me joins à vous pour espérer que les oeufs de jeunes dinosaures ont éclos récemment.) LEMEN (d) 4 avril 2011 à 22:31 (CEST)

Oui, espérons. Finalement j'ai retiré provisoirement cette petite phrase devenue ridicule avec ses liens en rouges, ses liens en impasse, des liens existants que je pourrais rajouter mais qui mèneraient à du non-sourcé (exemple (vecteur isotrope), ce serait reculer pour mieux sauter. Si de jeunes dinosaures veulent la rétablir ainsi que la justifier par des bons liens sourcés, vaste programme, qu'ils le fassent. WAIT AND SEE. Moi aussi j'ignore si actuellemnt ce "truc" est beaucoup

pratiqué. Afin d'éviter toute mésinterprétation sur la géométrie analytique je souligne une fois de plus que j'ai les plus profonds respects et estimes pour les développeurs de CAO, DAO et géométrie épipolaire qui utilisent quotidiennement les coordonnées homogènes (en nombres réels je suppose).

Quant aux nombres complexes, aux distributions de L.Schwartz et aux diverses Transformées de ces distributions, ils sont aussi énormément utilisés en process-control, en pilotage automatique, en traitement du signal, mais je n'en sais pas plus, peut-être que les concepteurs d'algorithmes se contentent d'1 dimension affine.

En fait j'ai un sérieux doute sur ce sujet, car depuis quelques dizaines d'années les fabricants de DSP (microprocesseurs de traitement du signal) gravent sur silicium les complexes et leurs lois de composition, même l'algo FFT (fast Fourier Transform, un algorithme très joli en forme de papillon); de là à extrapoler la supposition que certains algorithmes seraient en 3 ou 2 D complexes affines il n'y a qu'un pas.

Puis de là à supposer que d'autres algorithmes seraient en 3 ou 2 D complexes projectives (bien sûr avec des coordonnées homogènes C^^3 ou C^^4) il n'y a qu'un autre pas mais j'hésite à le franchir. Il y a des milliards de choses que j'ignore et je doute catésiennement de ce qu'on me raconte sur les sujets que je connais un peu. De plus ces trucs sont souvent "confidentiel dé fense" ou "confidentiel sec ret industriel". Bôf, il y aura bien quelqu'un du portail informatique qui pourra nous renseigner un jour. Wait and see.-Michelbailly (d) 5 avril 2011 à 12:19 (CEST)

à propos, je vous transmets ce lien signalé par HB au sujet du vocabulaire des produits scalaires : papier sur les points cycliques. Mais cela ne change rien au manque des pré-requis sur ce sujet dans WP et à ma sortie de ce jurassic park.

Cela ressemble à des souvenirs de taupe... Quoique cela me semble être passablement proche, je ne suis pas absolument certain qu'on arrive nécessairement au même résultat en complexifiant l'espace vectoriel réel et en partant directement d'une construction projective sur les complexes. Je ne suis pas sûr non plus du contraire, et, en tous cas, je vous remercie de la référence.LEMEN (d) 14 avril 2011 à 21:13 (CEST)

En électricité post-taupe, voire IUT ou BTS, il y a encore des personnes qui travaillent sur des réseaux RLC avec des impédances complexes, des différences de potentiel complexes, des intensités complexes. Je crois savoir qu'il leur arrive de résoudre des systèmes de plusieurs équations différentielles linéaires du second ordre; certains travaillent sur les complexes et passent à l'intensité et la tension réelles à la dernière étape du calcul. Il existe probablement des cas de valeurs numériques des C et L qui entraînent une résonnance dans laquelle une tension tend vers l'infini (en théorie, parce qu'un élément du circuit grille avant l'infini et le problème est terminé). L'électricité semble être un vieux "truc". Michelbailly (d) 9 mai 2011 à 14:17 (CEST)

Complété projectif d'un espace affine

Je suis intervenu sans lire cette pdd. Il me semble que la notion de point à l'infini n'a de sens que dans un espace affine affine complété en un plan projectif. Par ailleurs :

• Pensez-vous que l'on peut rediriger point impropre et élément impropre (pour point à l'infini, élément à l'infini) ici, avec précision ? C'est une terminologie peut-être démodée mais qui n'a pas disparu semble-t-il.
• La restriction corps commutatif infini est-elle justifiée ? Je ne vois pas pourquoi (et même commutatif d'ailleurs).
• faut-il vraiment 3 autres articles distincts droite à l'infini, plan à l'infini, hyperplan à l'infini comme l'indiquent les liens d'invite à la traduction vers en: ? Un seul, exclusivement consacré à la géométrie projective ne suffirait-il pas (et alors les redirections proposées plus haut seraient sur cet article) ?

Enfin il manque une explication de ce que signifie "ajouter un point à une droite affine" (et l'enlever la droite projective). Proz (d) 21 décembre 2011 à 11:50 (CET) PS. élément impropre existe incorrectement orthographié élement impropre et redirigeant vers un article mal nommé (ama). Proz (d) 21 décembre 2011 à 11:52 (CET)