Utilisateur:Else If Then/Brouillon
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modifierConjectures de Weil
modifierEnoncé des conjectures
modifierMotivation et notations
modifierLe langage algébrique moderne diffère quelque peu de celui des années pendant lesquels ont germés les conjectures de Weil. À ce titre, on distinguera deux énoncés, l'un historique : la conjecture de Riemann en caractéristique p, et l'autre moderne, les conjectures de Weil. On a besoin à ce titre d'introduire quelques objets.
Enoncé courbes
modifierCorps de fonctions
modifierSoit p un nombre premier et F un corps global de caractéristique p, c'est à dire une extension finie du corps K(t) où K=Fq est un corps fini. On forme sa fonction zêta où P est prit sur les premiers de F, |P| dénote le cardinal du corps résiduel associé à P et A est un diviseur entier de F. La notation |A| est définie par multiplicativité sur composantes premières de A.
Lemme — La fonction zêta associée à F converge absolument sur le demi-plan Re s>1. De plus, s'étend méromorphiquement à C, avec deux pôles simples en 0 et 1.
On peut alors formuler l'analogue de l'hypothèse de Riemann en caractéristique p, abrégée HRp :
Conjecture (HRp) — Les zéros de la fonction sont sur la droite de partie réelle .
Courbes algébriques
modifierOn reformule en terme géométrique l'énoncé de la conjecture HRp. Soit Γ une courbe algébrique irréductible de genre g, définie sur K=Fq, alors F = K(Γ) le corps de fonctions de la courbe Γ est un corps global de caractéristique p. Les premiers de F correspondent aux points fermés de X. Soit n>0, on note NX(qn) le cardinal de l'ensemble des Fq^n-points de la courbe X. Alors la fonction
coincide à la fonction zêta définie plus haut. Il s'avère qu'en la variable , est une fraction rationnelle.
Conjecture (deuxième formulation) — Les zéros de sont des nombres de Weil de poids i pour i < 2g
Enoncé général
modifierLien à l'hypothèse de Riemann
modifierApproche des conjectures
modifierEntre les années 1921 et 1940, les mathématiciens distinguent progressivement trois points d'intérêts relatifs aux fonctions zêtas sur les corps finis : leur rationalité, les équations fonctionnelles, et, l'hypothèse de Riemann associée. Ainsi, avant de parler des conjectures de Weil, il sera plus justement question de la conjecture de Riemann sur les corps finis (HRp) définit et recherché bien avant que Weil démontre le cas des courbes et formule l'énoncé géométrique moderne. RHp prend naissance dans les travaux d'Emil Artin en 1920, bien que ce dernier n'y attache pas un intérêt marqué. F. K. Schimdt généralise la théorie des fonctions zêta d'Artin dans sa thèse et seq. durant les années qui suivent, et démontre la rationalité de ces dernières dans le cas des courbes. Harold Davenport et Helmut Hasse découvre que leurs travaux sont englobés par cette conjecture, et Hasse dévouera une grande partie de son temps jusqu'en 1940 à essayer de démontrer RHp. En 1933, le cas des courbes elliptiques (courbes de genre 1) est résolu par Hasse, et donne plus tard une autre preuve plus conceptuelle sur une idée de Max Deuring.
Après de nombreux échanges dans les années 1930 impliquant le mathématicien français André Weil, Hasse, et Mordell, les besoins théoriques pour s'atteler au cas de courbes de genre supérieur sont fixés. Weil remarque que la théorie des variétés jacobiennes existe dans un autre langage : celui de la géométrie algébrique italienne.
Dans cette section, est un nombre premier et une puissance de . désigne l'unique corps fini de cardinal , à isomorphisme près. Les notations ne sont pas celles utilisées historiquement.
Prélude
modifierThèse d'Artin (1921)
modifierLa théorie des idéaux, des unités des fonctions zêtas et de leurs équations fonctionnelles ainsi que l'existence du genre a été développée par Dedekind, autour des années 1860, dans le cas des corps de nombres (les extensions finies des rationnels) et de l'anneau . Peu était alors connu sur les corps de fonctions en caractéristique positive : les extensions finies d'un corps de caractéristique — i.e. extensions de finiment engendrée, de degré de transcendance 1. La thèse d'Emil Artin (1898-1962) soutenue en 1921 à Leipzig contient la première étude arithmétique complète des corps de fonctions quadratiques avec un polynôme à coefficients dans sans carré. Elle est structurée en deux parties :
Une « partie arithmétique » traite de la clôture intégrale de , et plus précisément établie :
- L'existence une décomposition des idéaux en idéaux premiers : est un anneau de Dedekind ;
- Le contrôle de la ramification d'un élément dans selon la divisibilité de par .
- Le théorème des unités, et le caractère fini du nombre de classe de .
- La loi de réciprocité quadratique : soient P et Q deux polynômes unitaires et irréductibles de distincts de degrés n et m. Avec le symbole de Legendre :
En particulier, le symbole de Jacobi est définit par multiplicativité et Artin montre la propriété suivante, utile pour la démonstration de la rationalité de la fonction zêta en deuxième partie :
Lemme — Soit le degré de . Alors la somme portant sur les polynômes unitaires de degré :
La « partie analytique » traite de la fonction zêta de l'anneau de Dedekind . Notons que la fonction zêta diffère de introduite dans la section énoncé des premiers en l'infini : Artin définit une fonction zêta affine ; F. K. Schmidt quatre ans plus tard définira la fonction zêta birationnellement invariante. Il y a un ou deux premiers à l'infini selon que est imaginaire ou réel : Dans tous les cas, Artin démontre la rationalité de sa fonction zêta :
Proposition — Avec , on dispose d'un polynôme de degré tel que Explicitement, avec les notations du lemme précédent
La situation est donc assez différente du cas d'une extension quadratique de . Artin en est conscient et note dans sa thèse
« qu'une preuve générale [de l'hypothèse de Riemann pour les corps de fonctions quadratiques] fera face à des problèmes analogues à ceux rencontrés avec le cas de celle de Riemann , bien qu'ici la situation est plus claire et limpide en ce qu'elle ne concerne que des polynômes. »
Dans sa thèse est ensuite démontré la localisation des zéros (non-triviaux) de (i.e. de dans la région ; la formule du nombre de classes, donnant le résidu de en en fonction du nombre de classe de l'anneau et l'équation fonctionnelle entre et . Seulement Artin lui-même ne croit pas tellement en une hypothèse de Riemann pour ses fonctions zêtas, et sa thèse ne contient pas de formulation de conjecture explicite.
Lettres à Herglotz
modifierAprès publication de sa thèse, les points d'annulation de intéressent de plus en plus Artin. Celui écrit à son directeur de thèse et unique « maître académique » Gustav Herglotz en novembre 1921 à propos de deux idées importantes.
1. La première est que la conjecture de Riemann pour les corps de fonction quadratiques ne dépend pas du corps de base. En effet, en notant le changement de corps de base, Artin démontre la
Proposition 1 — Soit la clôture algébrique correspondant à l'extension . On a la formule :
En conséquence, l'hypothèse de Riemann est vérifiée pour r=1 dès qu'elle l'est pour un r supérieur. En particulier, on peut supposer que D(t) se scinde dans . 2. Dans une seconde lettre, Artin démontre qu'il suffirait d'obtenir une majoration du coefficient pour tout r. Plus précisément, on peut noter que s'écrit, dans le cas d'un corps de base , comme où est le nombre d'idéaux premiers de degré 1 dans l'anneau . Le critère d'Artin s'énonce :
Proposition 2 (critère d'Artin) — S'il on dispose d'une constante ne dépendant que du degré de telle que
Alors HRp est vraie pour les corps de fonctions quadratiques.
Il vérifie ce critère sur une quarantaine de cas. Ce type de bornes s'avèrera crucial dans la démonstration d'André Weil et plus tard de Pierre Deligne.
Artin abandonne subitement son travail sur HRp suite à un exposé donné la même année à Göttingen pendant lequel l'attitude « hautaine » et « mandarinale » de David Hilbert à l'égard du travail d'Artin décourage ce dernier.
Apport de Schmidt : fonctions zêta et théorème de Riemann-Roch (1925—1931)
modifierNous l'avons vu, Artin a transposé la théorie des corps de nombres et de leurs fonctions zêta associées dans le cadres des corps de fonctions quadratiques seulement. Durant les années 1925 à 1931, F. K. Schmidt généralise la construction d'Artin en tout degré.
D'une part, la thèse de Schmidt (1925) étend à tous corps de fonctions, non nécessairement quadratique, la « partie arithmétique » de la thèse d'Artin. D'autre part, dès l'année suivante est abordée la généralisation de la « partie analytique » (fonction zêta, formule du nombre de classes) et en particulier la définition projective de la fonction zêta attachée à un corps de fonction.
Définition (Schmidt, 1926) — Soit un corps de fonctions de caractéristique p. La fonction zêta associée à est où P est prit sur les premiers de F,
Elle est birationnellement équivalente, et vérifie la relation énoncée entre et en section précédente. Le « tour de force arithmétique », la démonstration de la rationalité de dans le cas des courbes, repose dans une utilisation ingénieuse du théorème de Riemann-Roch.
Pour tout premier P de F, le corps résiduel R/P est fini sur . Par conséquent |P| est une puissance de q. Par conséquent, est une fonction de . On note .
Théorème (Schmidt, 1926) — Soit de genre , alors est une fonction rationnelle en . Plus précisément, il existe un polynôme à coefficients entiers de degré tel que
Au terme d'une analyse plus précise des coefficients en jeu, on peut écrire (rappel : N est le nombre de premiers de degré 1 sur F). Le polynôme réciproque permet de ré-exprimer l'hypothèse de Riemann sur F comme suit :
Travaux de Davenport et Hasse : le cas des courbes elliptiques (1931—1936)
modifierArrivée de Davenport
modifierAlors étudiant de Louis Mordell (1888-1972) en Angleterre, le jeune Harold Davenport (1907-1969) rejoint Hasse à Marburg en 1931. Davenport s'intéressait alors à des sommes exponentielles de la forme analogues aux sommes de Gauss, avec un polynôme unitaire de degré 4 : il obtient en particulier la borne non triviale . Or la quantité compte le nombre de solution de l'équation de sorte que
Après une rencontre avec Artin en novembre 1932, Hasse effectue la connexion ces calculs avec le critère d'Artin (cf. section précédente), qui stipule que l'exposant peut en fait être réduit à si HRp est vérifiée. Si l'élève essaye de son mieux de « réduire les exposants »[1], le maître tente de déterminé une structure algébrique sous-jacente.
De fait, la correspondance entre Hasse et Davenport durant les années 1932-1934 voit le premier résultat substantielle en direction de HRp : sa résolution pour toutes courbes elliptiques sur un corps fini. Ils traitent en outre le cas des corps de Fermat généralisé d'équation et celui des corps de fonctions dit de Davenport-Hasse , correspondant à l'équation .
Corps de fonction elliptiques
modifierRappelons ce que l'on entend par courbe elliptique et corps de fonction elliptique.
Définition — Une courbe elliptique sur le corps est une courbe algébrique complète, absolument irréductible, lisse de genre 1 sur .
Le corps de fonction correspondant à une courbe elliptique se trouve être donnée par une équation de la forme , c'est-à-dire[2]. Hasse parvient à démontrer le théorème suivant de deux manières, dont la première ne sera pas publiée ayant déjà la seconde en tête. Cette dernière donne la direction vers une démonstration générale des conjectures de Weil à toute courbe (cf. sections suivantes)
On donne une idée de la première preuve donnée par Hasse reposant sur la multiplication complexe. Le polynôme de Schmidt est de degré , et son réciproque . Soient et ses deux racines (complexes).
Si l'hypothèse de Riemann est vérifiée alors c'est à dire que le discriminant de est négatif : et sont dans un corps quadratique imaginaire . Réciproquement, s'il on dispose d'un tel corps sur , et d'un élément tel que et , alors HRp est vérifiée. Hasse détermine un tel élément, correspondant au morphisme de Frobenius de la courbe[3], et donc le :
Théorème (Hasse, 1933) — L'hypothèse de Riemann en caractéristique est vérifiée pour les courbes elliptiques.
La seconde preuve, présentée en 1936, repose sur une étude plus algébrique de l'anneau des endomorphismes de E.
Le projet de Hasse : genre supérieur à un (1933—1940)
modifierLe point décisif dans la démarche de Hasse a été l'étude de l'anneau des endomorphismes d'une courbe elliptique. Or une courbe de genre g>1 n'a plus la propriété d'être abélienne (c'est-à-dire munie d'une structure de groupe). Lors de rencontre avec Artin en 1932 déjà mentionnée, Hasse ne croyait pas à HRp en tout genre. Quelques temps après la (première) preuve pour les courbes elliptiques, il écrit à Mordell (6 mars 1933) que
« Bien sûr le cas général peut être traité de la même manière, avec 'seulement' une 'petite' généralisation analogue à Siegel de la théorie des fonctions elliptiques à celle des fonctions abéliennes ! Faites-le ! »
Hasse se réfère au travail de Siegel sur l'approximation diophantienne étudié par Mordell un an auparavant ; il a aussi en tête les méthodes utilisées par Weil dans la démonstration de son théorème avec Mordell.
Idée de Deuring
modifierEn 1936, Max Deuring (1907-1984) annonce à Hasse qu'il a obtenu une construction généralisant l'anneau des endomorphismes à toute courbe. Plus précisément, étant donné deux corps de fonctions et de genre g, Deuring construit le groupe des correspondances , quotient des morphismes entre les jacobiennes de et . Les correspondances proviennent des diviseurs du changement de base sur .
Prenant F et E identiques, est alors muni d'une structure d'anneau pour la composition (à condition de montrer que le produit de deux correspondances reste une correspondance).
Informé que la théorie existe en tout genre, Hasse la répand autour de lui et notamment au congrès international des mathématiciens de 1936 (Oslo). Au même moment, Hasse échange avec Weil par correspondance (épistolaire)— Weil n'a pas pu se rendre à Oslo. Ce dernier le dirige vers la géométrie algébrique italienne, en particulier vers le Trattato del geometria algebrica de Francesco Severi. Au début du XXIe siècle la géométrie algébrique (sur les complexes) a connue un développement soutenu sous l'impulsion de Castelnuovo, Enriques, Rosati, et Severi mais faute de fondements solides son influence s'estompa dans les années 1930. La théorie italienne possède un langage propre et relativement fermée aux mathématiques des pays voisins, ce qui rendait son accès difficile aux algébristes comme Hasse.
Années troubles
modifierCependant les années postérieures à 1934 sont marquées par le nazisme en Allemagne qui a grandement influé sur le champ scientifique allemand. De nombreux troubles politiques altérèrent l'avancé vers une démonstration de HRp. Dès 1935 Hasse tente d'attribuer une place au jeune Deuring à Göttingen pour son habilitation, mais une lourde opposition de collègues nazis, comme Oswald Teichmüller ou Erhard Tornier, ainsi qu'administrative l'en décourage (il n'aura une place à Göttingen qu'après la guerre). Hasse lui même n'est pas accepté à l'institut de mathématiques de Göttingen pour son manque de proximité à l'idéologie nazie. Le 19 décembre 1935, Hasse écrit explicitement à Siegel :
« Malheureusement, je ne suis encore qu'aux balbutiements concernant les corps de fonction de genre . J'ai dû arrêter mon travail scientifique depuis mai 1934 et ce jusqu'à octobre dernier. »
Groupe de travail sur Severi
modifierHasse réalise qu'étudier Severi et son Trattato pourrait être utile pour le cadre géométrique d'une preuve de HRp. En 1937, Un groupe de travail est organisé comprenant entre autre des exposés de van der Waerden, et Harald Guppert, qui connaissait bien l'italien.
Il s'avère que le groupe de travail n'a pas atteint son but, à savoir de généraliser algébriquement la (seconde) démonstration de Hasse du cas elliptique.
Démonstration de Weil
modifier- Années creuses
- Lettre de Bonne Nouvelle
- deux notes aux Comptes Rendus
Vers une généralisation
modifier- cohomologie de Weil
- Background and history
- 2Statement of the Weil conjectures
- 3Examples
- 3.1The projective line
- 3.2Projective space
- 3.3Elliptic curves
- 3.4Hyperelliptic curves
- 4Weil cohomology
- 5Grothendieck's proofs of three of the four conjectures
- 6Deligne's first proof of the Riemann hypothesis conjecture
- 6.1Use of Lefschetz pencils
- 6.2The key estimate
- 6.3Completion of the proof
- 7Deligne's second proof
- 8Applications
- 9References
- 10External links
- 11References
- 1Arrière-plan et histoire
- 2Énoncé des conjectures de Weil
- 3Exemples
- 4La cohomologie de Weil
- 5Références
- « I haven't reduce any exponents recently, regret to say.» Extrait d'une lettre du 25 novembre 1932 de Davenport.
- Hasse écrivait « » lorsqu'il correspondait avec Davenport, et « » avec Mordell. Ces deux notations sont équivalentes lorsque .
- On décide d'abréger cette partie plus technique : noter que la traduction n'est pas immédiate.