Discussion:Logique intuitionniste

Archives

1. Archive 2006 à 2020

Mieux exploiter et expliquer l'exemple relatif à la constante EM ?

Bonjour. Je reviens sur les échanges relatifs à l'affirmation "une proposition comme « la constante d'Euler-Mascheroni est rationnelle ou la constante d'Euler-Mascheroni n'est pas rationnelle » n'est pas démontrée de manière constructive car la tautologie classique « P ou non P » (tiers exclu) n'appartient pas à la logique intuitionniste" qui apparait dès le RI. Et je prie les contributeurs ayant déjà parcouru ce chemin de m'excuser si je repasse sur leurs pas.

Cet exemple présenté comme illustratif de la différence entre logique classique et logique intuitive appelle, je pense, les remarques suivantes:

1) Il me parait incorrect d'affirmer que cette la proposition n'est pas démontrée de façon constructive "car la tautologie classique « P ou non P » n'appartient pas...", mais il me semblerait plus correct de dire que "puisqu'aucune des deux affirmations qu'elle contient n'est (à ce jour) démontrée de façon constructive, cette affirmation ne l'est pas en logique intuitionniste qui IMPOSE de construire la démonstration de l'un (ou de l'autre) membre de la proposition".

2) l'exemple donné mériterait d'être repris dans la suite de l'article, notamment pour illustrer pourquoi le raisonnement suivant n'est pas acceptable en logique intuitionniste :

P1 : la constante EM existe, et c'est un nombre réel (si P1 n'est pas "prouvable", toute discussion sur les propriétés éventuelles de EP a-t-elle un sens, et lequel?)

P2 : tout nombre réel est soit rationnel, soit irrationnel (s'agissant de la définition des nombres réels, est-il besoin de "construire" une preuve de P2?)

P3 : "donc" EM est soit rationnelle soit irrationnelle. (P3 est-elle ainsi "prouvée"?)

Si j'ai bien compris les définitions, exemples et raisonnements donnés dans l'article, c'est le passage "automatique" de P1+P2 à P3 qui est refusé par la logique intuitionniste : ceci ne mériterait il pas une explication?

Ceci permettait aussi, je crois, de bien illustrer la différence entre vrai/faux (logique classique) et prouvable/non prouvable/non prouvé/faux.

Par ailleurs, en lisant l'article sur la constante EM, je vois qu'il a été prouvé que l'une au moins des constantes EM ou EG est irrationnelle. Ceci pourrait il fournir un autre exemple pour expliquer comment interpréter (différemment) l'affirmation suivante "au moins l'une des deux constantes d'Euler–Mascheroni et d'Euler–Gompertz est irrationnelle" en logique classique et en logique intuitionniste? Olinone (discuter) 14 juin 2025 à 12:57 (CEST)

Je comprends que la logique intuitionniste soulève beaucoup de problèmes, mais je pense qu'il serait contre-productif, autrement dit, il ne serait pas didactique, de s’appesantir sur la constante d'Euler-Mascheroni, car incidemment cela soulève beaucoup de problèmes, comme :

• Qu'est-ce qu'un nombre réel, en logique intuitionniste ?
• Qu'est-ce qu'un nombre irrationnel, en logique intuitionniste  ?

Pierre Lescanne (discuter) 15 juin 2025 à 10:54 (CEST)

Non, ce n'est pas ça. C'est que P2 n'est pas vraie en logique intuitionniste. On ne peut pas montrer qu'un réel quelconque est rationnel ou ne l'est pas. On ne peut même pas montrer qu'un réel quelconque est égal ou différent de 0. Mais je suis d'accord qu'il ne faut pas trop s'appuyer sur cet exemple. JeanCASPAR (discuter) 15 juin 2025 à 23:40 (CEST)

Utilisateur:PIerre.Lescanne et Utilisateur:JeanCASPAR, merci de vos réponses, qui m'amènent aux remarques et propositions suivantes.

1) arguments concernant l'exemple relatif à la constante EM : soit cet exemple est pertinent et il faut le rendre compréhensible, soit il ne l'est pas (ou il est trop compliqué) et il faut en trouver un autre. Mais il me parait indispensable de donner dans l'article un (ou même plusieurs) exemple(s) illustrant la différence fondamentale (et, troublante, c'est sûr) entre logiques classique et intuitionniste : le fait qu'en logique intuitionniste (P ou non P) n'est pas une tautologie. Et d'essayer aussi de montrer que, dans certains cas, on peut cependant prouver (P ou non P) (cf Q1 ci-dessous).

2) Je pense qu'il serait possible de rendre cette différence plus compréhensible en prenant l'exemple de 2 propositions qui, à première lecture, paraissent très semblables :

Q1 : tout entier naturel est pair ou impair

Q2 : tout nombre réel est rationnel ou irrationnel

Q1 comme Q2 sont évidemment "vraies" en logique classique.

Q1 est "prouvable" en logique intuitionniste car il existe au moins un mode opératoire (la division par 2 et l'examen du reste, par exemple) qui permet de vérifier, pour tout entier naturel, s'il est pair ou impair.

En revanche Q2 ne l'est pas car il n'y a pas (à ma connaissance ? à ce jour ? ou même a-t-on prouvé qu'une telle méthode ne peut exister ?) de méthode calculatoire qui permette de déterminer, pour tout réel quelconque, s'il est rationnel ou s'il est irrationnel.

3) Sur les 2 questions posées par Pierre Lescanne : en lisant (attentivement ...et avec un peu de peine car tout cela n'est pas "trivial", au moins pour moi...) les sources en ligne sur les fondements de la logique intuitionniste, il me semble que les 2 questions posées (reflétant celles posées au sujet des propriétés P1 et P2 de ma première intervention) ne me semblent (plus) poser problème. P1 est prouvable. P2 et P3 ne le sont pas.

Merci d'avance de vos retours. Cordialement. Olinone (discuter) 16 juin 2025 à 07:33 (CEST)

Un exemple classique et sans doute plus pertinent que la constante EM, c'est de regarder si une machine de Turing s'arrête ou non. L'arithmétique de Heyting HA ne prouve pas « pour toute machine de Turing M, M s'arrête ou ne s'arrête pas » mais il y a évidemment des machines précises pour lesquelles l'arithmétique de Heyting prouve la terminaison ou la non-terminaison ; en fait, il y a même des machines M telles que HA ne montre pas que M s'arrête ou non (en prenant M une machine qui cherche une contradiction dans HA). Plus généralement, HA montre « P ou non P » seulement si HA montre « P » ou HA montre « non P ». L'article est un peu confus, c'est ma faute, je me suis laissé confondre par les différents sens de « décidable », je devrais reprendre l'article un jour.

Mais d'un autre côté, je pense que l'exemple avec un machine de Turing est un peu moins abordable que celui avec la constante EM : tous les étudiants en math connaissent la constante EM, alors qu'il y a moins de chance qu'ils connaissent la définition d'une machine de Turing, ils risquent de devoir lire un article en plus pour comprendre et ça risque de les divertir de ce qu'ils cherchent. Je ne sais pas si c'est suffisamment important pour ça.

Je suis résolument contre un exemple détaillé avec des nombres réels, parce qu'il faudrait alors introduire plein de définitions pour expliquer le contexte (les réels de Cauchy et de Dedekind ne coïncident pas en logique intuitionniste, il faut une relation d' « appartness », il y a différentes notions d'égalité, etc.). Mais ça peut être mentionné comme un exemple peu détaillé, comme l'est actuellement la constante EM ; et contrairement à la constante EM on sait que « pour tout x, x est rationnel ou non » n'est pas vrai intuitionnistiquement (mais je pense qu'utiliser « x égal 0 ou x est différent de 0 » est encore plus clair). Pour en apprendre plus sur l'analyse constructive, tu peux regarder en:Constructive analysis, et je pense que tu verras pourquoi je ne pense pas qu'un exemple avec des nombres réels doit être formel. JeanCASPAR (discuter) 16 juin 2025 à 10:17 (CEST)

@JeanCASPAR@Olinone. Je vois que JeanCASPAR et moi sommes sur la même longueur d'onde. Dès qu'on veut expliquer à un large public formé pas seulement d'étudiants en maths, mais aussi d'étudiants en philosophie (par exemple) ce qu'est la logique intuitionniste, il ne faut pas rentrer dans des détails techniques. Pierre Lescanne (discuter) 16 juin 2025 à 17:32 (CEST)

@JeanCASPAR et Pierre Lescanne ,

J'avoue que vos retours me surprennent un peu, et ce à plusieurs titres :

1) mes remarques et suggestions visaient explicitement à permettre une meilleure compréhension de la différence (ou au moins d'une des différences) entre logiques classique et intuitionniste par des lecteurs peu familiers avec la logique mathématique, voire plus généralement avec les mathématiques. Quoi de mieux que de prendre un cas concret et de l'utiliser pour une telle approche didactique, visant justement les lecteurs non spécialistes de la logique intuitionniste (qu'ils soient matheux ou non d'ailleurs)?

2) je pense que les exemples que je propose (cf Q1/Q2) sont mieux à même de "parler" à ces lecteurs que EM ou, a fortiori, la machine de Türing. Il est en effet peu risqué d'affirmer que les notions de nombres entiers et de réels sont nettement plus répandues que ne le sont celles de constante EM ou de machine de Türing... Si vous admettez cette affirmation, peut être alors sont-ce les exemples proposés (Q1 et Q2) qui vous paraissent peu opportuns? (cf discussion ci-dessous)

3) l'ensemble des réels (ou des entiers) et la logique intuitionniste : je ne comprends pas comment on peut d'une part prendre un exemple concernant un nombre réel (ce qui est le cas de l'article), puis considérer (cf réponse de JeanCASPAR) qu'il vaudrait mieux éviter de tels exemples (et la lecture de l'article en anglais, au passage très mal sourcé, n'éclaire en rien ce sujet)! Si le problème vient de la définition de R (ou de N) dans le cas intuitionniste, voilà bien un "détail technique" (cf réponse de Pierre Lescanne) qu'on pourrait "enjamber" dans l'article, quitte à mentionner en note que "la définition de cet ensemble en logique intuitionniste dépasse le cadre de cet article" et, si possible trouver une source pour expliciter ce sujet. Ou alors on crée un paragraphe donnant, à titre d'exemple, la construction de N ou R en logique intuitionniste et les différences avec celle réalisée en logique classique...

4) sur quoi peuvent porter les propositions P? Le texte utilise plusieurs formules comme "il existe x tel que", "pour tout élément x", "objet", etc. qui semblent désigner des "choses" sur lesquelles les propositions s'appliquent. Comme il s'agit d'un article de mathématiques, le lecteur peut assez naturellement penser que ces "choses" peuvent être des nombres, d'autant que certains exemples discutent le cas x>1, ou x<0, etc. Certains paragraphes sont plus explicites d'ailleurs quant à cette possibilité : par exemple "double négation" ou encore "disjonction". Donc l'article contient déjà des utilisations d'exemples sur R...alors pourquoi s'en priver pour expliquer simplement (et pourquoi pas dès le RI, sans la justifier alors) l'une des différences importantes entre les 2 logiques?

Cordialement. Olinone (discuter) 16 juin 2025 à 19:31 (CEST)

Je pense qu'il ne faut pas détailler un exemple mentionnant les nombres réels (mais on peut tout à fait l'utiliser de façon informelle, sans préciser les définitions). Mais si tu comptes utiliser l'exemple plus en détail que ce n'est le cas actuellement pour la constante EM, comment comptes-tu éviter de détailler ? C'est surtout ça mon problème. JeanCASPAR (discuter) 16 juin 2025 à 21:37 (CEST)

Je propose les actions suivantes :

1) dans le RI, supprimer l'exemple "EP" , et en donner un autre (par exemple Q2) : je vais faire une révision du RI en ce sens, n'hésitez pas à réagir !

2) dans le corps de l'article, créer un chapitre dédié, après celui titré "Histoire", qui illustrerait certaines différences entre logiques classique et intuitionniste en utilisant le moins possible de (voire aucune) symbolique abstraite. Y seraient abordés notamment , sur la base d'exemples, les différences entre vrai/faux et prouvable/non prouvable/contradictoire. Parmi les exemples donnés, on retrouverait celui donné dans le RI, en une version plus explicitée. Et Q1 qui, par contraste, montre que si le principe du tiers exclu n'appartient pas à la logique intuitionniste, il est quand même possible DANS CERTAINS CAS, de prouver "P ou non P" en logique intuitionniste.

Par ailleurs, je reste intrigué par les réticences que tu exprimes quant à l'utilisation d'exemples mentionnant les nombres réels : "il ne faut pas détailler", "utiliser de façon informelle", etc. Pourrais tu les expliciter, et notamment ce que tu entends par "détailler"?

Cdlt. Olinone (discuter) 17 juin 2025 à 08:04 (CEST)

Les réels intuitionnistes, ne sont pas les réels constructifs (comme je le mentionnais plus haut). Je pense que les réticences sont là (cf ma première intervention). Pierre Lescanne (discuter) 18 juin 2025 à 16:56 (CEST)

Voir ma question sur votre page de discussion utilisateur. Olinone (discuter) 18 octobre 2025 à 08:14 (CEST)

Proposition de nouveau chapitre

Comme indiqué dans le sujet précédent de cette pdd, je propose de créer un nouveau chapitre juste après le chapitre "Histoire".

Le but est, avant d'entrer dans des développements parfois assez complexes et utilisant, pour beaucoup, une symbolique très spécialisée, de donner aux lecteurs non spécialistes un aperçu "qualitatif" des différences entre les 2 logiques (classique et intuitionniste) basé sur des exemples.

Titre : "Logique classique et logique intuitionniste : principales différences et exemples informels de conséquences"

Contenu (à des mises en forme près) :

"Deux différences principales existent entre logiques classique et intuitionniste :

• la logique intuitionniste rejette le principe du "tiers exclu" : dans cette logique, il ne suffit pas d'avoir démontré qu'une proposition est "fausse" pour que la proposition inverse soit réputée "vraie". Les intuitionnistes évitent d'ailleurs d'utiliser l'opposition vrai/faux : ils utilisent les notions de "prouvable" et de "contradictoire".
• en logique intuitionniste une proposition est dite "prouvable" si et seulement si on peut exhiber un processus calculatoire tel que, appliqué à chaque élément de l'ensemble sur lequel porte la proposition et sans utiliser le principe du tiers exclu, il produise le résultat annoncé par la proposition.

Les exemples suivants illustrent certaines des conséquences et des différences induites entre les deux types de logiques :

Proposition 1 (P1): "tout nombre réel est soit rationnel soit irrationnel". Cette proposition, trivialement vraie en logique classique, n'est pas prouvable en logique intuitionniste. En effet, pour qu'elle soit prouvable, il faudrait avoir un processus calculatoire qui permettrait, appliqué à n'importe quel entier, de démontrer, sans utiliser le principe du tiers exclu, soit qu'il est rationnel, soit qu'il est irrationnel. Or, dans l'état actuel des connaissances mathématiques, un tel processus n'existe pas.

Proposition 2 (P2): "tout nombre entier est soit pair soit impair". Cette proposition, trivialement vraie en logique classique et apparemment assez semblable à P1, est, contrairement à P1, prouvable en logique intuitionniste. En effet, il existe au moins un processus qui permet de prouver, pour chaque entier n, qu'il est pair, ou qu'il est impair : par exemple, on le divise par "2" et si le reste est "0" on a prouvé que n est pair, et si le reste est "1" on a prouvé que n est impair.

Plus généralement, plusieurs des démonstrations admises en logique classique ne sont pas admises en logique intuitionniste. Par exemple, une démonstration classique de l'irrationalité de ${\sqrt {2}}$ est la suivante : supposons que ${\sqrt {2}}$ soit rationnel, donc ${\sqrt {2}}$= a/b (a et b entiers premiers entre eux). Donc a²=2xb², ce qui est impossible. Donc ${\sqrt {2}}$ n'est pas rationnel, donc (en logique classique) ${\sqrt {2}}$ est irrationnel. La logique intuitionniste refuse cette dernière conclusion : la méthode calculatoire utilisée a bien prouvé que ${\sqrt {2}}$ n'est pas rationnel, mais a dû utiliser le tiers exclu pour affirmer que ${\sqrt {2}}$ est irrationnel. Les intuitionnistes diront donc que la proposition "${\sqrt {2}}$ est rationnel " est contradictoire, mais, pour eux, ceci ne suffit pas à prouver la proposition inverse : "${\sqrt {2}}$ n'est pas rationnel".

Merci d'avance de vos avis. Olinone (discuter) 17 juin 2025 à 15:18 (CEST)

Cela risque de faire un peu doublon avec Logique intuitionniste#Relations avec la logique classique, non ?

Plusieurs remarques :

• Pour la première différence : pour moi, les logiciens classiques font aussi une différence entre vrai et prouvable : le premier se réfère à un modèle, le deuxième à un système formel. La différence, c'est que si "il est contradictoire que A soit contradictoire", je ne peux pas en déduire une preuve de A.
• Pour la seconde : "processus calculatoire", ce n'est pas propre à la logique intuitionniste. Le principe de Markov est constructif et correspond à un processus calculatoire, mais n'est pas valide en logique intuitionniste selon toutes les écoles. Une des caractéristiques importantes, c'est la propriété de la disjonction et de l'existence : si $\vdash A\lor B$ alors $\vdash A$ ou $\vdash B$, et si $\vdash \exists x,P$, alors j'ai un terme t explicite tel que $\vdash P[x:=t]$ (d'ailleurs, le principe de Markov ne casse pas cette propriété). D'ailleurs, il y a même des interprétations calculatoires de la logique classique.
• Pour P1 : ce n'est pas "en l'état actuel de nos connaissances mathématiques" (contrairement à l'exemple sur la conjecture de Goldbach dans Constructivisme (mathématiques)), on sait qu'aucun tel algorithme n'existe.
• Pour P2 : je remplacerais le "il existe au moins un algorithme" par "il existe un algorithme", voire "il y a un algorithme", je trouve le "au moins un" de mauvais goût.
• Pour l'exemple avec ${\sqrt {2}}$ : c'est un raisonnement parfaitement valide en logique intuitionniste : il s'agit de montrer un énoncé de la forme $\neg P$, on suppose donc $P$ et on arrive à une contradiction, ce qui nous donne une preuve de $\neg P$. Un exemple valide serait de supposer $\neg \forall n,u_{n}=0$ et d'en déduire $\exists n,u_{n}=1$ avec $u_{n}$ une suite binaire (cela correspond peu ou prou au principe limité d'omniscience (en:Limited principle of omniscience), qui n'est pas valide en logique intuitionniste, mais qui admet une interprétation calculatoire évidente (on lance un programme qui teste $u_{n}$ pour chaque $n$ et renvoie le premier tel que $u_{n}=1$, ce programme terminant puisque $\neg \forall n,u_{n}=0$)). Un exemple sur les nombres réels serait difficile à comprendre, mais par exemple $\neg (x\leq 0)\to x>0$ est faux en logique intuitionniste. Ou alors prendre un exemple quelconque de loi de De Morgan non vérifiée. Mais ça ferait doublon avec ce qu'il y a en bas.

JeanCASPAR (discuter) 19 juin 2025 à 00:01 (CEST)

Merci de ta réponse, et je suis convaincu que nous allons trouver des moyens d'améliorer l'article ensemble!

Je reprends certaines de tes remarques et suggestions:

1) "Pour P1 : ce n'est pas "en l'état actuel de nos connaissances mathématiques" (contrairement à l'exemple sur la conjecture de Goldbach dans Constructivisme (mathématiques)), on sait qu'aucun tel algorithme n'existe". Si c'est vrai et sourcé (merci de mentionner la source), c'est très bon : on a donc un exemple où on sait que "P ou non P" ne peut être prouvé en logique intuitionniste. Et on pourrait mentionner quelque part dans l'article l'autre cas où on ne sait pas (encore?) s'il est prouvable ou non.

2) "les logiciens classiques font aussi une différence entre vrai et prouvable" . C'est peut être vrai...mais ce que je dis n'est pas contradictoire (sic!) : j'affirme seulement que les intuitionnistes évitent ces termes (ce qui, en toute logique (sic) , n'implique rien sur ce que font les non intuitionnistes). Par ailleurs, nombre de publications et plusieurs passages de l'article "opposent" intuitionniste et classique justement par ce point. Si tu penses que c'est mal dit, n'hésite pas à proposer mieux.

3) ""processus calculatoire", ce n'est pas propre à la logique intuitionniste". Cf remarque précédente : je ne dis pas que la logique classique ne l'impose jamais, je dis que la logique intuitionniste l'impose toujours.

4) Preuve de l'irrationnalité de la racine carrée de 2 : là je suis surpris (mais n'affirme pas avoir raison, et c'est bien pour cela que j'ai mis ma proposition de texte en pdd et non directement dans l'article). Par quel raisonnement, dans ce cadre précis, les intuitionnistes admettraient-ils que ceci a prouvé que "racine de 2 est irrationnel" ? La méthode classique que je mentionne démontre bien que (vocabulaire intuitionniste) l'affirmation "racine de 2 est rationnel" est contradictoire. Par quel raisonnement, dans ce cadre précis, les intuitionnistes admettraient-ils que ceci a prouvé que "racine de 2 est irrationnel" ? Aurais-tu une explication, ou, mieux encore, une référence qui éclairerait ce sujet? Pour préciser mo interrogation : le raisonnement examiné commence par "supposons que x soit rationnel". Tout raisonnement basé sur cette brique ne peut conclure QUE sur cette affirmation (en logique intuutionniste). Olinone (discuter) 19 juin 2025 à 10:21 (CEST)

1) Je n'ai pas de sources directes, mais il est bien connu qu'il est cohérent de supposer que toutes les fonctions réelles sont continues (il y a plein de sources dans ce post MSE : https://math.stackexchange.com/questions/176279/all-real-functions-are-continuous ; n'importe laquelle devrait faire l'affaire). Or si on peut décider si un réel est rationnel ou non, on peut facilement définir l'indicatrice de $\mathbb {Q}$, hors cette fonction (même en logique intuitionniste) n'est pas continue : contradiction. Je suis d'accord qu'on peut aussi mentionner la conjecture de Goldbach plus bas dans l'article. On peut aussi mentionner un exemple indépendant de l'axiomatique, même classique, par exemple l'énoncé "HA est cohérente" regardé dans HA.

2) 4) et quelque chose que je n'ai pas remarqué avant. Je propose de laisser tomber complètement la distinction vrai/faux et prouvable/contradictoire : l'une est une notion sémantique, l'autre liée à un système formel, mais ce sont les mêmes choses derrière : il faudrait certes dire systématiquement prouvable/contradictoire, mais c'est lourd, et c'est exactement la même chose en logique classique. En revanche, tu dis ceci "dans cette logique, il ne suffit pas d'avoir démontré qu'une proposition est "fausse" pour que la proposition inverse soit réputée "vraie"". C'est très exactement l'inverse. Dire "A est faux" c'est pareil que dire "A => faux" c'est pareil que dire "non A". En revanche, ce n'est pas parce qu'il est faux de dire qu'une proposition est fausse que cette proposition est vraie pour autant. Je propose de remplacer le premier point par ceci :

• la logique intuitionniste rejette le principe du tiers exclu ou la démonstration par l'absurde, qui lui est équivalente : dans cette logique, il ne suffit pas d'avoir démontré qu'une proposition n'est pas fausse pour qu'elle soit réputée vraie.

3) "je ne dis pas que la logique classique ne l'impose jamais", si, il y a un si et seulement si :p. Je propose cela :

• la logique intuitionniste est une logique constructive : on peut interpréter chaque preuve comme un processus calculatoire, au travers de l'interprétation BHK ; en particulier, d'une preuve de $A\lor B$ on peut extraire l'information de quelle proposition $A$ ou $B$ est vraie, et d'une preuve de $\exists x.P$ on peut extraire un témoin $t$ tel que $P[x:=t]$.

4) cf. message d'en bas.

JeanCASPAR (discuter) 19 juin 2025 à 22:03 (CEST)

Je reviens sur le sujet "racine de 2" pour bien préciser mon point: je n'affirme pas qu'il est impossible de prouver, en logique intuitionniste, que racine de 2 est irrationnel. Mon point est de dire que la méthode classique mentionnée et utilisée pour ce faire ne le permet pas. Et d'ailleurs mon texte devrait être plus précis sur ce point comme par exemple : "Les intuitionnistes diront donc que la démonstration a bien établi que "racine de 2 est rationnel " est contradictoire, mais n'a pas prouvé que : " racine de 2 est irrationnel"." Olinone (discuter) 19 juin 2025 à 17:13 (CEST)

@Olinone pour être plus clair, utilisons des formules. Si $x\in \mathbb {Q}$ est la formule « $x$ est rationnel », la formule « $x$ est irrationel » s'écrit $(x\in \mathbb {Q} )\to \bot$. Donc pour prouver cette formule, il faut supposer que $x$ est rationnel et arriver à une contradiction. C'est exactement ce que fait cette preuve. En fait, la proposition « $x$ est irrationnel » est définie comme étant l'affirmation que « $x$ est rationnel » est contradictoire. JeanCASPAR (discuter) 19 juin 2025 à 19:26 (CEST)

Je pense avoir (enfin?) compris. Ton raisonnement tient...dès lors qu'on admet que par définition "x est irrationnel", veut dire "il n'existe aucun a, b tels que x=a/b", ce qui veut exactement dire "x n'est pas rationnel". Alors la démonstration classique tient même en logique intuitionniste. Du coup la question est : la définition de "x est irrationnel" est-elle (obligatoirement) celle utilisée ici? (j'avoue que ma compréhension de la construction intuitionniste des rationnels et des réels est trop lacunaire pour que j'avance une réponse à cette question!). Olinone (discuter) 20 juin 2025 à 08:07 (CEST)

Je ne maîtrise pas du tout les réels intuitionnistes donc je ne saurais pas trouver de référence à ce sujet, mais je ne vois pas ce qu'on pourrait avoir comme autre définition. Je peux essayer de chercher. JeanCASPAR (discuter) 20 juin 2025 à 09:29 (CEST)

Je pense que ce n'est pas une bonne idée de d'utiliser des expressions comme « Un intuitionniste pense que ... tandis qu'un logicien classique pense que ... ». Il n'y a pas de telles personnes et c'est plutôt un langage de journaliste. Pierre Lescanne (discuter) 19 juin 2025 à 09:57 (CEST)

Je précise (vous rassure ?): je ne suis pas journaliste ! Si cette forme parait impropre, je peux remplacer partout "les intuitionnistes" par "en logique intuitionniste" et "les non intuitionnistes" par "en logique classique". Je souligne cependant que certaines publications, peu suspectes d'être "journalistiques", utilisent bien le terme "mathématicien non intuitionniste", par exemple celle-ci. Cordialement. Olinone (discuter) 19 juin 2025 à 17:20 (CEST)

J'ai une autre critique contre cette formulation : la logique intuitionniste n'est pas particulièrement pratiquée par les intuitionnistes (courant philosophique et mathématique), c'est un système formel intéressant en tant que tel pour plein de gens qui ne sont pas forcément intuitionnistes. Je pense qu'il vaut mieux ne pas « personnaliser » le texte. JeanCASPAR (discuter) 19 juin 2025 à 22:07 (CEST)

Ok, donc il serait peut être utile de préciser le titre de l'article en : "Logique intuitionniste (mathématiques)" Olinone (discuter) 20 juin 2025 à 10:51 (CEST)

Non, je ne pense pas, les mots entre parenthèses, c'est pour les noms ambigus. Il faudrait peut-être préciser dans le RI que c'est le système formel basé sur le courant philosophique, le paragraphe histoire le fait bien. JeanCASPAR (discuter) 21 juin 2025 à 11:24 (CEST)

Bon, il y a tant à faire sur l'article et argumenter sur son titre ne fait pas forcément partie des premières priorités! Donc je laisse tomber ce sujet et éviterai d'employer dans le texte des formules "personnalisant" les affirmation/positions de telle ou telle approche. Je souligne cependant que, mis à part une très petite partie du chapitre "histoire" , TOUT le reste est strictement consacré à la logique intuitionniste en mathématiques...Cdlt. Olinone (discuter) 21 juin 2025 à 19:10 (CEST)

Proposition de nouveau RI

En ligne avec les sujets discutés récemment sur cette pdd, je propose de revoir le RI de l'article pour le rendre intelligible pat tout lecteur (attentif mais pas forcément matheux), n'y utiliser aucun symbole logique, et illustrer certaines affirmations par un exemple (repris de la suggestion de nouveau chapitre faite ci-dessus).

Le texte proposé est le suivant :

"La logique intuitionniste est une logique qui diffère de la logique classique par le fait que la notion de vérité est remplacée par la notion de preuve constructive, et que la tautologie classique « P ou non P » (tiers exclu) ne peut être utilisée. La logique intuitionniste considère notamment que la proposition « ne pas être faux » n'est pas équivalente à la proposition "être vrai". Certaines méthodes de démonstration et leurs résultats, valides en logique classique, ne le sont donc pas en logique intuitionniste. Par exemple, la proposition "tout nombre réel est soit rationnel, soit irrationnel", trivialement vraie en logique classique, n'est pas, dans l'état actuel des connaissances mathématiques, prouvable en logique intuitionniste.

Développée à partir de la fin des années 1910, la logique intuitionniste a depuis eu une influence importante sur le développement des logiques constructives et de l'informatique théorique." Merci d'avance de vos avis. Olinone (discuter) 17 juin 2025 à 18:37 (CEST)

Même remarque que plus haut sur le « dans l'état actuel des connaissances mathématiques », très bien sinon. Je rajouterais une mention du fait qu'on refuse aussi la démonstration par l'absurde. JeanCASPAR (discuter) 19 juin 2025 à 22:54 (CEST)

Après diverses recherches, j'ai trouvé (Van Dalen 2004 p 30) un exemple illustratif de différence interprétative liée au tiers exclu : l'affirmation "L'hypothèse de Riemann est vraie ou fausse" est valide en logique classique et pas en logique intuitionniste, car aucune preuve n'a été apportée (à ce jour) que cette hypothèse soit vraie, et aucune non plus qu'elle soit fausse. Certes l'hypothèse de Riemann porte sur des objets assez complexes, mais, indépendamment du contenu de cette hypothèse, ce qui est "simple " à comprendre grâce à cet exemple, c'est qu'en logique intuitionniste, une telle affirmation, pour être acceptée doit être soutenue par une preuve de "A est vrai" ou de "non A est vrai". Nous pourrions donc prendre cet exemple? Plus puissant encore serait l'exemple "tout réel est soit rationnel soit irrationnel" car, d'après toi, il y aurait une preuve que cette affirmation ne peut pas être démontrée en logique intuitionniste. As-tu accès à une telle démonstration? Olinone (discuter) 21 juin 2025 à 19:21 (CEST)

Comme je l'ai dit plus haut, je n'ai pas trouvé de telle démonstrations dans la littérature, mais ce n'est pas très compliqué à démontrer, cf. le 1) de Spécial:Diff/226635405. JeanCASPAR (discuter) 21 juin 2025 à 23:28 (CEST)

D'après les règles de WP, si nous devions utiliser l'exemple "tout réel est rationnel ou irrationnel" pour dire que c'est "vrai" en logique classique et non prouvable en logique intuitionniste, il serait impératif de fournir une référence (et pas seulement une démonstration) de cette importante affirmation. Olinone (discuter) 22 juin 2025 à 08:35 (CEST)

Ah, j'ai enfin trouvé une source. Page 5 de cet article : https://doi.org/10.1016/S0304-3975(98)00285-0. Il y a plein d'autres exemples d'ailleurs. JeanCASPAR (discuter) 22 juin 2025 à 14:31 (CEST)

Il faudrait donc renvoyer à analyse constructive, plutôt que le traiter ici. Pierre Lescanne (discuter) 22 juin 2025 à 14:58 (CEST)

Merci Jean! Voici donc une preuve de cette très forte affirmation. Je vais revoir ma proposition de RI en ce sens, et inclure la référence. Olinone (discuter) 23 juin 2025 à 07:08 (CEST)

Voici donc le nouveau RI que je propose :

"La logique intuitionniste est une logique qui diffère de la logique classique par le fait que toute affirmation doit être démontrable par une preuve constructive. Cette logique rejette le principe classique de tiers exclu, selon lequel "P ou non P" est toujours vrai, ainsi que les démonstrations par l'absurde. La logique intuitionniste considère notamment que la proposition « ne pas être faux » n'est pas équivalente à la proposition "être vrai". Certaines affirmations et démonstrations, valides en logique classique, ne le sont donc pas en logique intuitionniste. Par exemple, la proposition "tout nombre réel est soit rationnel, soit irrationnel", trivialement vraie en logique classique, n'est pas prouvable en logique intuitionniste.

Développée à partir de la fin des années 1910 par les mathématiciens néerlandais Luitzen Egbertus Jan Brouwen et Aren Heyting, la logique intuitionniste a eu une influence importante sur le développement des logiques constructives puis de l'informatique théorique." Olinone (discuter) 23 juin 2025 à 07:27 (CEST)

J'aime bien! Mais il ne faut pas de références dans le RI, il faut en parler plus bas dans le texte. JeanCASPAR (discuter) 23 juin 2025 à 10:22 (CEST)

On y va donc, en réservant l référence au corps du texte. Olinone (discuter) 23 juin 2025 à 11:44 (CEST)

RI modifié comme discuté Olinone (discuter) 23 juin 2025 à 14:20 (CEST)

Explications...à expliciter?

Dans la section "relations avec la logique classique/exemples/quelques validités" un tableau donne des "explications" pour certaines relations d'implication (colonne de droite du tableau). Certaines de ces explications me paraissent soulever question :

1) "être grand et petit est contradictoire" : encore faudrait-il définir sur quel ensemble cette proposition est faite, et quelle est la définition de "grand" et "petit" dans cet ensemble. Par exemple si l'ensemble considéré est constitué de disques verts et de disques rouges, ayant tous le même rayon, et si "grand/petit" se réfère à ce rayon (ou à la surface de ces disques) alors comment définir "grand vs petit" pour aboutir à l'affirmation "être grand et petit est contradictoire" ? Et une autre définition n'aboutirait elle pas à un autre résultat ? Donc ne faudrait-il pas trouver un autre exemple explicatif? Dans le cas des disques mentionnés ci dessus, "être vert et rouge" est, par exemple, sans doute "contradictoire".

2) richesses et pauvreté : on lit " « pour tout x, x est pauvre » est contradictoire (car je vois qu'il existe des richesses)". Cette explication est plus intrigante encore que celle mentionnée ci-dessus. Non seulement il faudrait définir riche vs pauvre (comme grand vs petit), mais que cette définition implique ou contienne un "loi" imposant que "s'il existe des richesses, alors il est impossible (contradictoire) que tous les x soient pauvres". Je prends un exemple : une population vit sur un île, sur un total pied d'égalité. Un explorateur découvre cette île et le très bas niveau de vie de cette population : d'après ses critères les habitants sont "tous pauvres". Ce même explorateur découvre un trésor sur l'île qui SI il était distribué à la population rendrait les habitants, selon ses critères, tous riches. Mais tant que cette distribution n'est pas réalisée, il y a à la fois une grande richesse sur l'île et une population pauvre... Ne faudrait-il pas trouver un autre exemple explicatif ?

3) pluie et se faire mouiller : cet exemple est encore plus intrigant que les deux précédents. Il semble admettre comme "évident" que le fait de se faire mouiller en sortant (constatation sensorielle que je ne conteste pas) "prouverait" qu'il pleut. Or il y a, dans la vie réelle, bien d'autres possibilités amenant à se faire mouiller en sortant : passer sous un arrosage automatique en activité, tomber dans une rivière, etc. Donc la conséquence (être mouillé) n'implique pas nécessairement un cause donnée (il pleut) : il faut une définition plus complète de l'univers dans lequel le raisonnement s'applique pour pouvoir assurer que "si je sors et que je suis mouillé, c'est qu'il pleut". Ne faudrait-il pas, ici aussi, un autre exemple explicatif? Olinone (discuter) 18 juin 2025 à 12:05 (CEST)

Je suis d'accord. On peut proposer ça :

1) Si on sait que $A$ et $B$ ensembles sont contradictoires, on ne peut pas isoler si l'une ou laquelle des deux est contradictoire.

2) Si on sait que $\forall xA$ est contradictoire, on ne peut isoler un élément précis qui ne vérifie pas $A$.

3) Si on sait que le fait que $A$ soit contradictoire est contradictoire, on ne peut pas en extraire une preuve de $A$.

Et d'ailleurs, les autres explications des réciproques sont vaseuses aussi.

Pour $(\neg A\lor B)\to (A\to B)$, la réciproque est fausse puisque si on sait qu'une preuve de $A$ permet d'obtenir une preuve de $B$ aussi, cela ne permet pas de déterminer si $A$ est contradictoire ou s'il existe une preuve de $B$.$

Il faudrait rajouter une ligne pour $(A\to B)\to (\neg B\to \neg A)$ : si $A\to B$, $\neg B$ et $A$ alors j'ai $B$, donc j'ai $\bot$ grâce à $\neg B$. Ça c'est pour l'implication, mais la réciproque est fausse puisque si j'ai une preuve de $A$ et si je sais que si $B$ est contradictoire alors $A$ aussi, je ne peux qu'obtenir une preuve de $\neg \neg B$ au mieux, pas une preuve de $B$.

Pour $\neg A\leftrightarrow \neg \neg \neg A$, je pense qu'il vaut mieux renoncer à expliquer le sens derrière. En tout cas l'explication actuelle n'explique rien. Ça donnerait quelque chose comme ça : "si on sait que $\neg \neg \neg A$, c'est-à-dire qu' « il est contradictoire que le fait que A soit contradictoire est contradictoire », alors ...", je ne pense qu'on peut arriver à quelque chose, mais si tu as une meilleure idée, pourquoi pas. On peut simplement dire que le sens directe est une instance de $A\to \neg \neg A$, et le sens réciproque une instance de $(A\to B)\to (\neg B\to \neg A)$, combinée avec $A\to \neg \neg A$. JeanCASPAR (discuter) 19 juin 2025 à 23:22 (CEST)

Syntaxe ...et axiomatique

Je propose de compléter le chapitre syntaxe par un sous chapitre axiomatique qui expliquerait le rejet du tiers exclu, et en donnerait une des raisons/illustrations (l'exemple "tout réel est rationnel ou irrationnel" avec sa référence). Le texte serait le suivant :

"Axiomatique

La logique classique est basée sur trois axiomes, ou principes, hérités de la logique d'Aristote :

• axiome d'identité : "Ce qui est est". Soit, en syntaxe logique : $A\Leftrightarrow \ A$
• axiome de non-contradiction : "Il est impossible qu’une seule et même chose soit, et tout à la fois ne soit pas, à une même autre chose, sous le même rapport". Soit, en syntaxe logique : $\lnot (A\land \lnot A)$
• axiome du tiers exclu : "Il n’est pas possible davantage qu’entre deux propositions contradictoires, il y ait jamais un terme moyen". Soit, en syntaxe logique : $A\lor \lnot A$

La logique intuitionniste accepte les deux premiers axiomes, mais rejette le troisième : en logique intuitionniste, cet axiome reviendrait à affirmer que pour toute proposition $A$ on pourrit trouver une preuve de $A$ ou une preuve de $\lnot A$, ce qui est faux : par exemple, la proposition "tout nombre réel est rationnel ou irrationnel" est trivialement vraie en logique classique (principe du tiers exclu), mais n'est pas prouvable en logique intuitionniste."

Merci de vos avis.

Olinone (discuter) 23 juin 2025 à 16:46 (CEST)

Qu'étudions-nous ?

Nous sommes ici pour étudier une branche de la logique mathématique du XX^e siècle et du XXI^e siècle. Il ne faut donc, à mon avis, pas parler d’Aristote dans cet article, car Aristote n'est pas lié à la naissance de la logique intuitionniste, ni à la naissance de la logique formelle dont est issue la logique intuitionniste contemporaine. Je ne vois pas plus de trace de ce Grec, que des Indiens et des Chinois. Je pense par contre que les lecteurs attendent qu'on leur parle des mathématiciens du début du XX^e siècle qui en ont vraiment été les acteurs. Ceux qui s'intéressent aux liens historiques ente la logique aristotélicienne et la logique formelle contemporaine devraient être renvoyés vers l’article Histoire de la logique

Devons nous intéresser en priorité à ce que la logique intuitionniste n'a pas ?

Nous devons nous intéresser à ce qu’elle a.

1. Elle privilégie les démonstrations, dont elle fait des objets de 1^re classe pour accepter un fait.
2. Elle est constructive.
3. Elle exhibe un objet quand elle affirme qu'il existe.

Il ne faut pas parler de ce qu'elle n'a pas, car, à y bien penser, il manque, à la logique classique beaucoup de concepts, pourtant fort utiles.

Ne risquons-nous pas de rebuter une partie de notre lectorat ?

J'identifie nos lecteurs comme des scientifiques, par exemple en études d'informatique, de maths, de sciences des données ou de sciences de l’ingénieur. Je crains qu'Aristote ne les branche pas beaucoup . Pierre Lescanne (discuter) 24 juin 2025 à 12:30 (CEST)

Merci de votre réponse, qui m'amène à formuler les remarques et propositions suivantes :

1) Aristote : la plupart des ouvrages consacrés à la logique (formelle, classique, intuitonniste, constructive...), lorsqu'ils abordent, ne serait-ce que fugitivement, l'histoire de la Logique, mentionnent Aristote, mais aussi Platon, ou encore Kant, Descartes, etc. Je ne pense pas qu'une seule mention d'Aristote serait plus "rebutante" que les mentions de Brouwer, Heyting, Kolmogorov et alii. L'intérêt que j'y vois est d'indiquer "en passant" que la logique intuitionniste rejette une partie des raisonnements logiques qui avaient "tenu" de l'Antiquité au début du 20ème siècle. Mais je suis prêt à laisser tomber cette (micro) référence antique ! Rebondissant sur l'aspect "rebutant", je me permets de faire remarquer que la lecture des chapitres "Règles de déduction naturelle" et "Sémantique de la logique intuitionniste" demande une réelle attention et leur compréhension de (très) solides bases logico-mathématiques.

2) "Qu'étudions-nous?" Je ne saisis pas bien le sens de cette question. D'après ce que je comprends, un article de WP, de mathématiques comme d'histoire ou encore de sociologie, n'a pas vocation à être un "cours" ni une "étude" sur le sujet traité mais, comme indiqué régulièrement sur la discussion Le Thé du portail Mathématiques (et d'autres), de faire un point (sourcé) des connaissances relatives à ce sujet, en l'exposant de manière didactique et le formulant de la façon la plus accessible possible. Il est certain qu'en maths il n'est pas toujours évident de trouver l'équilibre en exactitude et lisibilité !

3) "ce qu'elle a ou n'a pas" : l'approche que je propose, pour l'article ici discuté, et que j'explicite dans cette réponse, est de faire chaque fois que possible la comparaison entre un "objet" de la logique classique (affirmation, démonstration, résultat) et son "pendant" en logique intuitionniste : il ne s'agit donc pas de dire ce qu'ont (ou n'ont pas) ces logiques, mais en quoi elles se différencient. Je pars en effet du postulat que la plupart des lecteurs seront bien plus familiers avec la logique classique qu'avec tout autre, ce qui devrait leur permettre de comprendre/apprécier le "jeu des différences" qui leur est proposé. Et, qui sait, aiguiser leur curiosité puis les amener à lire d'autres articles ou les sources mentionnées.

4) Vous suggérez d'utiliser ces attributs pour qualifier la logique intuitionniste :

1. Elle privilégie les démonstrations, dont elle fait des objets de 1^re classe pour accepter un fait.
2. Elle est constructive.
3. Elle exhibe un objet quand elle affirme qu'il existe.

Je suis tout à fait d'accord et vais essayer de les introduire (sauf si vous voulez le faire vous-même). Par ailleurs, avez vous des remarques (hormis la référence à Aristote) sur le fond de ma proposition de paragraphe sur les axiomes ? Olinone (discuter) 25 juin 2025 à 07:28 (CEST)

Je réponds à certains points.

1) Un renvoi à l’article Histoire de la logique, en précisant la section, suffirait peut-être. Sinon, l'article risquerait d'être hors sujet.

2) OK pour un point sourcé de la logique intuitionniste en 2025, or je crains qu'une phrase comme « Il n’est pas possible davantage qu’entre deux propositions contradictoires, il y ait jamais un terme moyen » ne soit pas vraiment didactique. En revanche pour l’informatique d'aujourd'hui, il faut parler d'assistant de preuve.

3) « faire chaque fois que possible la comparaison entre un "objet" de la logique classique et son "pendant" en logique intuitionniste ». Pourquoi seulement pour la logique classique ? En plus ça ne marchera pas, dans le cas où la logique intuitionniste a des objets que la logique classique n'a pas, je pense aux comportements différenciés des connecteurs et des quantificateurs de la logique intuitionniste. Pierre Lescanne (discuter) 25 juin 2025 à 12:23 (CEST)

Concernant 3), je signale qu'il y a une section intitulée Relation avec la logique classique. Pierre Lescanne (discuter) 25 juin 2025 à 12:46 (CEST)

Vu la section en question, que je propose d'ailleurs de "remonter" pour les raisons indiquées plus bas dans cette pdd. Olinone (discuter) 4 juillet 2025 à 08:15 (CEST)

Sur le point 3), je crois que le texte est explicite : les connecteurs sont formellement les mêmes (et, ou, implication, existence, etc.), mais ont des interprétations différentes, que le texte souligne désormais. Si ceci n'est pas suffisant, n'hésitez pas à compléter/modifier. Olinone (discuter) 4 juillet 2025 à 08:14 (CEST)

Vous m'avez mal lu. Je vais le dire autrement. « En logique classique, un seul connecteur peut suffire, les autres pouvant s'y ramener. Ce n'est pas le cas en logique intuitionniste. Chaque connecteur a son comportement spécifique et sa définition propre. ». C'est donc un concept que la logique classique n'a pas. Pierre Lescanne (discuter) 8 juillet 2025 à 18:33 (CEST)

Révision du plan général

Suite aux discussions précédentes, et en cohérence avec l'approche que je propose d' mettre en avant, autant que possible, des éléments de comparaison classique/intuitionniste pour faciliter la compréhension des lecteurs non spécialistes, j'ai entamé une révision du plan en remontant la quasi-totalité du chapitre "relations classique/intuitionniste" pour la mettre juste après "syntaxe". Ce choix prend également en compte le fait que cette section peut être lue (et , je l'espère, comprise), sans avoir lu (ni compris peut-être) les chapitres suivants, plus ardus ( "déduction naturelle" et "sémantique"). Olinone (discuter) 4 juillet 2025 à 08:11 (CEST)

Notion de preuve et refus de l'axiome du tiers exclu

La section « Notion de preuve et refus de l'axiome du tiers exclu » doit soit être recyclée, soit être supprimée. Il y a, en effet, confusion de plusieurs choses et des concepts non définis.

• non défini : preuve (qui semble opposé à démonstration), irrationnel
• confusion : est-on en logique propositionnelle ou dans le calcul des prédicats quand on parle d'une démonstration , s'agit-il d'une démonstration dans la logique intuitionniste ou dans la métathéorie ?
• hors sujet : les citations portent sur la philosophie intuitionniste de Brouwer, alors que le sujet de l'article est la logique intuitionniste.

J'ai regardé la référence Weak Counterexamples, il n'y a pas d'auteur identifié, sinon un lien brisé et une adresse gmail. Je propose donc de supprimer cette section, pour laquelle je ne vois aucune utilité. Pierre Lescanne (discuter) 7 octobre 2025 à 18:46 (CEST)

Bonjour. Concernant la référence Weak Counterexamples , il s'agit d'un article de Stanford Encyclopedia of Philosophy. C'est sérieux comme référence. L'auteur est Mark van Atten <vanattenmark@gmail.com>. Le lien pointe vers https://paysgermaniques.fr. De prime abord, on a l'impression que le site n'est pas institutionnel. Mais en fait, il s'agit de l'UMR de philosophie numéro 8547 : on y arrive depuis https://www.ens.psl.eu/en/laboratoire/pays-germaniques-transferts-culturels-et-archives-husserl Fschwarzentruber (discuter) 8 octobre 2025 à 09:44 (CEST)

Bonjour,

Je suis l'auteur de plusieurs changements, ajouts, et références sur cet article. Et je ne suis pas un spécialiste mais un amateur, pas trop mal éclairé j'espère, de logique. Le but de mes interventions a été principalement de rendre la lecture de l'article accessible à des lecteurs qui ne maîtrisent pas dans le détail le vocabulaire et les notations, parfois assez complexes (pour dire le moins), maniés par les spécialistes, et de trouver des références solides, et si possible consultables, pour les diverses affirmations contenues dans l'article.

J'en viens à vos remarques :

1) sur la référence Weak Counterexamples  : Fschwarzentruber vous a répondu, et je partage évidemment son avis sur la pertinence et la solidité de cette référence ;

2) sur le "non défini" : j'avoue ne pas comprendre la remarque. Pensez vous vraiment que le terme "irrationnel" (pour nombre irrationnel) n'est pas défini ? Et où avez vous vu une opposition entre preuve et démonstration ? Si c'est une simple remarque de formulation dans le texte, n'hésitez pas à reformuler ;

3) sur les citations hors sujet : pourriez vous préciser à quelles citations vous faites allusion? Je pensais n'avoir introduit de citations que directement reliées à la compréhension de la logique intuitionniste telle que traitée dans l'article. Peut être ai-je fait une erreur, que je m'empresserai de corriger si vous me la signalez et l'argumentez précisément ;

4) logique intuitionniste ou métathéorie : là j'avoue que votre remarque dépasse le champ actuel de mes connaissances et de ma compréhension. Si clarifier ce point vous parait indispensable, n'hésitez pas à le faire dans l'article .

Sur le fond, je confirme qu'il me parait indispensable d'avoir un chapitre consacré à la différence de la notion de preuve (ou de démonstration) entre logiques classique et intuitionniste. Il me semble en effet qu'il s'agit d'une différence fondamentale, qui est notamment à l''origine du refus intuitionniste de l'universalité de la notion de tiers exclu. L'exemple donné sur l'impossibilité d'affirmer, en logique intuitionniste, que "tout réel est rationnel ou irrationnel" (exemple que vous ne contestez pas, je pense) est, de ce point de vue, très frappant, et directement relié à la notion de "preuve" ou de "démonstration". Et je trouve l'ajout du bandeau "à recycler" très exagéré et insuffisamment justifié. Olinone (discuter) 8 octobre 2025 à 11:02 (CEST)

En relisant l'historique des dernières modifications, je vois en outre que vous avez modifié le début du chapitre "notion de preuve". Je pense que, loin de clarifier le chapitre, ce changement , en supprimant la première phrase donnant le sujet traité dans le chapitre( "la notion de preuve est plus exigeante..") l'a rendu moins clair et moins cohérent. Et, contrairement à vous, ce chapitre me semble tout à fait utile! Olinone (discuter) 8 octobre 2025 à 12:44 (CEST)

J'espère ne pas dire de bêtises dans ce qui suit, mais il me semble aussi que le terme "irrationnel" mérite d'être clarifié. Sommes-nous d'accord que "$x$ rationnel" signifie "$\exists (a,b)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ^{*},x={\frac {a}{b}}$" ? Sommes-nous d'accord que "x irrationnel" signifie "$\lnot$ ($x$ rationnel)", c'est-à-dire de "($x$ rationnel) implique une contradiction" ? Si oui, la démonstration de l'irrationalité de ${\sqrt {2}}$ dans l'article est aussi bien valide en logique classique qu'en logique intuitionniste, il n'y a aucun raisonnement par l'absurde et la partie de l'article traitant de cette question est à revoir. Si non, quel est le sens d'irrationnel ? Cordialement. Theon (discuter) 8 octobre 2025 à 14:20 (CEST)

Je suppose qu'il s'agit de l'encadré Preuve classique et preuve intuitionniste : autour de √2 ? Ça ne me semble également pas entièrement correct. La définition prise(non (x est rationnel) parat standard. En langage "courant" (hors les milieux qui s'intéressent au constructivisme et à l'intuitionnisme), le raisonnement par l'absurde recouvre 2 règles en déduction naturelle : le raisonnement par l'absurde classique (non valide intuitionnistiquement) et l'introduction de la négation (parfaitement valide intuitionnistiquement). C'est pour cette raison que l'irrationnalité de la racine carrée de 2 est bien un exemple classique de raisonnement par l'absurde (multiples sources possibles), mais c'est au sens courant, pas au sens de la logique intuitionniste. Je me souviens (lu il y a 30 ans) que le livre classique de Bishop sur l'analyse constructive, aborde la question, explique que cette définition d'irrationnel n'a pas grand intérêt du point de vue constructif, et privilégie une définition effective (pour tout nombre rationnel, √2 lui est soit inférieur, soit supérieur, et pour démontrer le résultat avec cette définition, ça demande de minorer la différence il me semble, à vérifier), mais ça reste démontrable intuitionnistiquement. Et c'est probablement hors sujet ici. Je (ou quelqu'un d'autre) peux essayer de regarder pour voir si ma mémoire ne me trahit pas, et si on peut se servir de Bishop comme source pour corriger ce passage (qui n'en donne aucune). Proz (discuter) 8 octobre 2025 à 15:59 (CEST)

Je n'arrive pas à retrouver quelque chose dans "Foundations of constructive analysis". Ce papier https://www.cs.cornell.edu/courses/cs5860/2014fa/documents/Bishop-Aspects%20of%20Constructivism.pdf p. 14-15 aborde le sujet mais ne nous aide pas vraiment. Quand il parle de la preuve classique de p²/q² ≠ 2, il s'agit bien-sûr de "classique" au sens "habituelle". Pour lui, vu la suite, il n'y a pas de doute qu'elle est "constructive". Ensuite il utilise un définition de "≠" sur les réels qui n'est pas la négation de l'égalité (parce que la trichotomie de l'ordre sur R n'est pas démontrable constructivement), donc une autre définition d'irrationnel que la simple négation. C'est difficilement utilisable (on peut quand même signaler que la définition d'irrationnel n'est pas si évidente). Proz (discuter) 8 octobre 2025 à 16:38 (CEST)

Je viens de parcourir la source (et merci à Proz de la mentionner : je propose de la mettre pour adosser l'affirmation de l'encadré). Le cas de √2 est effectivement traité p 14-15. Vous remarquerez que Bishop ne dit pas que le raisonnement "classique" est un raisonnement par l'absurde...puisqu'en l'employant (à sa manière) il démontre de façon constructive l'irrationalité de √2, et plus précisément que √2 est différent de tout rationnel. C'est une preuve par réfutation directe, donc acceptable en logique intuitionniste. Et c'est bien ce que j'ai essayé de montrer dans l'encadré, peut être maladroitement. Ce passage de la source illustre bien la citation de Bishop mentionnée plus haut dans l'article : « chaque théorème démontré par des méthodes idéalistes est un défi : il faut en trouver une version constructive et en donner une preuve constructive ».

Cdlt. Olinone (discuter) 8 octobre 2025 à 17:33 (CEST)

Bonjour à tous. Je vois que l'article suscite un intérêt certain, et c'est tant mieux.

Les lecteurs attentifs que vous êtes ont dû remarquer que j'ai pris soin (car je suis l'auteur de cet encadré) de NE PAS affirmer qu'il s'agit d'une preuve par l'absurde mais de dire que "C'est un exemple de démonstration très généralement présenté comme typique du raisonnement par l'absurde ", ce qui est facile à vérifier dans les divers manuels scolaires traitant de l'irrationalité de √2 en utilisant, pas explicitement mais bien naturellement la logique classique. Et le reste du texte montre qu'en fait cette preuve (ou démonstration) est valide en logique intuitionniste PARCE QUE le raisonnement par l'absurde n'est pas nécessaire. J'espère que cette précision vous convaincra ! Olinone (discuter) 8 octobre 2025 à 16:59 (CEST)

C'est pourquoi j'ai précisé ci-dessus, que c'est bien un raisonnement par l'absurde (multi-attesté, y compris avant Brouwer où la distinction n'existe pas), mais en un sens légèrement différent (le terme n'est pas univoque), les manuels scolaires la plupart du temps sont indifférents à cette subtilité. Le raisonnement intuitionniste est identique mais se formalise avec l'introduction de la négation. Proz (discuter) 8 octobre 2025 à 18:05 (CEST)

Réponse à la réponse un cran au dessus : Bishop n'utilise pas ≠ au sens de "non-égal" mais au sens de "< ou >". D'abord sur les rationnels (les entiers en fait), puis les réels. Il ne détaille pas, mais, je bouche les trous, il déduit de la preuve usuelle que |p² - 2q²| ≥ 1, parce que sur les entiers on a la trichotomie de l'ordre intuitionnistiquement (ça se démontre par récurrence, et il considère c'est bien connu de son public de lecteurs), et la preuve usuelle est considérée aussi comme bien connue : il affirme directement que p²/q² ≠ 2, qui est pour lui sans nul doute valide dans son cadre (constructivisme). Il utilise ensuite pour montrer l'irrationalité de √2 en son sens à lui qui est "effectif" (attention pas de trichotomie de l'ordre sur les réels), c'est-à-dire essentiellement qu'on a une borne sur la valeur absolue de la différence. Donc, malheureusement pour l'usage comme source que j'espérais, rien à voir avec ce que vous avez voulu détaillé (qui est justement ce que lui a considéré comme évident). On peut l'utiliser pour une remarque annexe (postérieure). Proz (discuter) 8 octobre 2025 à 18:56 (CEST)

Rebonjour Proz, et encore merci d'avoir donné la référence de E. Bishop. Je viens de lire le texte de 38p , assez dense car E Bishop ne s'embarrasse pas de trop de détails dans ses définitions et démonstrations. S'agissant de la démonstration de l'irrationnalité de √2 qui se trouve p 14-15, je n'ai pas tout à fait la même lecture que vous. L'auteur n'affirme pas que p/q est différent de 2, il reformule la démonstration classique de façon constructive selon, je crois, la démarche suivante :

a) il définit les concepts d'égalité et inégalité en écartant la trichotomie (p 10 à 13)

b) il définit un irrationnel comme un réel dont on peut démontrer constructivement qu'il n'est égal à aucun rationnel (p14).

c) il démontre (p 14-15) que √2 est irrationnel au sens de la définition b) d'un tel nombre grâce à des inégalités telles que définies en a). Plus précisément il démontre que √2≠p/q car p/q-√2>1/(4*q²).

Ce document fournit donc bien une preuve constructive de l'irrationnalité de √2, donc devrait permettre de réécrire (et sourcer) la partie consacrée à cette démonstration dans l'article.

Merci de me dire si vous partagez cet avis. Cdlt. Olinone (discuter) 9 octobre 2025 à 18:23 (CEST)

Oui effectivement, pour le début, je n'avais pas lu les pages précédentes, mais non pour développer cette démonstration dans cet article. Ok, c'est l'égalité de 2 réels elle même qui a une définition constructive (et donc pas une définition purement logique par règles etc.). Du coup l'inégalité sur les réels est bien la négation de l'égalité sur les réels, soit une minoration de la valeur absolue pour avec cette définition. Mais la preuve actuelle de notre article correspond bien essentiellement à la première assertion de Bishop, et le problème reste qu'on tombe dans le hors sujet (c'est pourquoi je parlais de remarque annexe): il ne s'agit de math. constructives à la Bishop, clairement plus de logique. C'est à traiter dans l'article sur le constructivisme (mathématiques) ou dans analyse constructive. La question, pour en parler ici, est quelle propriété d'ordre logique est-ce censé illustrer ? Le raisonnement de notre article qui revient essentiellement à une démonstration de pour tous p et q entiers p² ≠ 2q², illustre la différence entre l'introduction de la négation (licite en logique intuitionniste) et le raisonnement par l'absurde, sous la forme non valide en logique intuitionniste. Mais, même ça, je ne suis pas sûr que ce soit nécessaire dans cet article (c'est à traiter dans raisonnement par l'absurde. par contre l'exemple suivant, qui illustre le tiers exclu et le problème que ça pose pour une interpétation cosntructive, il est bien dans pas mal de textes introductifs, et comme c'est des math. habituelles, qui n'utilise en réalité que très peu de choses non logiques, il n'y a pas de problème. Donc non je ne pense pas qu'il faille donner cette démonstration dans cet article : hors sujet. Proz (discuter) 10 octobre 2025 à 14:02 (CEST)

Confusion logique intuitionnisme/mathématique intuitionniste/mathématique(s) constructivisme(s)

Je reprends une objection de  PIerre.Lescanne : en espérant éclaircir, et pour ne pas encombrer la section précédente. Pour les autres : on peut expliciter que "preuve" et "démonstration" sont utilisés indifféremment pour une même notion dans ce contexte (usage bien établi du milieu mais peut-être pas explicité quelque part) et préciser dans quel contexte on est (théorie/meta-théorie), que les contre-exemples faibles de Brouwer sont bien attestés (ce qui ne veut pas dire forcément qu'ils sont pertinents dans cet article), que l'article ne porte pas sur l'intuitionnisme, auquel on peut faire référence, mais sans développement. Ouvrir une nouvelle section si vous voulez discuter de ces points.

La distinction n'est pas claire, dans les 3 sections à partir de Logique_intuitionniste#Notion_de_preuve_et_refus_de_l'axiome_du_tiers_exclu (et ailleurs aussi parfois), entre 3 choses différentes, la logique intuitionniste, les mathématiques intuitionnistes de Brouwer, qui ajoute d'autres principes mathématiques à la logique intuitionniste sous-jacente (implicitement au début) du genre Fan theorem, etc., plus généralement les différentes mathématiques constructives, qui peuvent ajouter des principes mathématiques (non logiques) à la logique intuitionniste (Markov) ou non (Bishop). Pour anticiper une objection, passer des math. classiques aux math. intuitionnistes en restreignant la logique mais en conservant les mêmes axiomes, ça marche à peu près pour l'arithmétique du 1er ordre mais guère au delà.

Ici le sujet est la logique intuitionniste. Bien-sûr il est utile d'avoir des illustrations empruntées aux mathématiques pour que ce soit plus accessible et plus compréhensible mais on doit quand même se concentrer sur la logique, et rester précis et correct. Quelques problèmes de cette nature, sans chercher du tout à être exhaustif :

• le problème soulevé par  Theon : voir section précédente
• une phrase comme l'affirmation "« tout réel est rationnel ou irrationnel » ne peut être prouvée en logique intuitionniste", ça ne veut essentiellement rien dire, parce que la logique intuitionniste ne dit rien des réels. Il y a un vrai résultat derrière dont il faudrait préciser le contexte, qui n'a rien d'évident, au moins le dire correctement avec une référence qui permet de le préciser.
• "en logique intuitionniste, ne pas être irrationnel est une propriété différente et plus faible que celle d'être rationnel", idem et la définition d'irrationnel en mathématiques (pas logique) intuitionnistes ou constructives serait à préciser ('cf. section précédente)
• ¬¬A ⇒ A ne serait pas démontrable par le biais d'un contre-exemple (affirmé en note) qui se révèle n'être en rien un contre-exemple. En réalité ceci se démontre très facilement directement en logique intuitionniste (contre-modèle de Kripke, élimination des coupures en calcul des séquents, ...).

Tout ceci pourrait se régler en suivant beaucoup plus rigoureusement le livre (excellent) de Van Dalen plusieurs fois indiqué en référence. Plus généralement il y a de nombreuses imprécisions dues en partie à ce que n'est pas donnée clairement l'interprétation BHK (qui bien qu'informelle peut être décrite précisément, par exemple Van Dalen p. 153), mais une approximation au début de Logique_intuitionniste#Syntaxe du langage de la logique intuitionniste, peu convaincante et inexacte par exemple pour le "ou". Proz (discuter) 8 octobre 2025 à 21:43 (CEST)

Rebonjour Proz.

Pour éviter une trop longue réponse, je vais segmenter mon retour par sujet.

Commençons par celui-ci : quel est le sujet de l'article? J'ai pris le parti, sur la base de l'article tel qu'il était avant mes interventions, de le focaliser sur les implications de la logique intuitionniste sur (et son application à) certains sujets mathématiques. Et même proposé, sans succès ( cf échange avec JeanCASPAR en pdd en juin 2025), de renommer l'article en "Logique intuitionniste (mathématiques)". Vous remarquerez d'ailleurs que tous les exemples que j'ai choisis sont dans le domaine mathématique. J'ai d'ailleurs enlevé, après concertation sur cette page de discussion, tous ceux qui ne l'étaient pas (et qui étaient d'ailleurs assez confus). C'est un parti pris. Il est parfaitement légitime que d'autres wikipédiens en aient (ou en préfèrent) un autre. Peut être pourraient-ils, alors, proposer une solution et, pourquoi pas, s'atteler à la tâche d'écrire (ou réécrire) le(s) article(s) concerné(s). Mon autre autre parti pris a été d'essayer que cet article reste (ou devienne) compréhensible par des lecteurs non spécialistes (voir à ce sujet mes échanges en pdd avec Pierre Lescanne de juin 2025). Ce deuxième parti pris implique (malheureusement? heureusement?) d'essayer de choisir des formulations/raisonnements/exemples simples (mais aussi corrects que possible) : tâche qui amène inéluctablement à s'exposer aux critiques (souvent légitimes) des spécialistes du sujet traité. Là encore, si ces spécialistes considéraient que des précisions (compréhensibles) étaient nécessaires, ils pourraient, dans un esprit constructif (sic!!!) les introduire dans le(s) articles(s) concerné(s). Cdlt. Olinone (discuter) 9 octobre 2025 à 07:06 (CEST)

J'ajoute que si le consensus était de changer le titre en "mathématiques intuitionnistes" (ou quelque chose d'équivalent) , je n'y verrais évidemment aucun inconvénient. Olinone (discuter) 9 octobre 2025 à 12:38 (CEST)

2ème sujet : "la logique intuitionniste ne dit rien des réels". Voir la source "strong examples" (basée sur Van Hatten) qui parle notamment de

"R is the intuitionistic continuum", et de l'exemple donné par Brouwer quant à l'impossibilité de prouver que "tout réel est soit rationnel soit irrationnel". Je peine à comprendre le sens d'une remarque selon laquelle la logique intuitionniste ne dirait rien des réels, alors que l'un de ses fondateurs a pris la peine d'illustrer certaines de ses affirmations par des exemples les concernant.

Olinone (discuter) 9 octobre 2025 à 12:45 (CEST)

Il y a besoin d'un article sur la logique intuitionniste, qui est la même en math. ou en philo. et les sources ne manquent pas. Lisez Van Dalen par exemple. Vous ne pouvez pas décider de changer le sujet de celui-ci. Je suis désolé, mais votre proposition ahurissante de renommer cet article en "mathématiques intuitionnistes" est bien révélatrice du problème abordé dans cette section : c'est un autre article, dont le sujet devrait a priori être d'abord développé dans l'article intuitionnisme avant d'en créer un nouveau. Pour parler des réels intuitionnistes, l'"intuitionistic continuum" (au sens de Brouwer, notion d'intérêt aujourd'hui je crois essentiellement historique, je ne connais personne qui continue de développer le sujet, les mathématiques constructives actuelles sont en retrait sur certaines choses qu'introduit Brouwer), il faut introduire des notions comme les "séquences de choix", et de nouvelles propriétés (non logiques). Ça me semble exclu de détailler ici (indépendamment du fait que personnellement, je n'y connais pas grand chose, mais au moins ai-je une vague idée de quoi il s'agit). Des exemples mathématiques sont évidemment pertinents, d'autant plus si on remonte à Brouwer pour qui les mathématiques sont premières vis à vis de la logique (cf. Van Hatten). Mais rien de tout cela ne signifie que la logique, disons le calcul des prédicat intuitionniste du premier ordre qui est présenté ici pour être précis, permette de parler des réels (il faut des définitions, des axiomes...). C'est au contraire les mathématiques qui permettent d'illustrer des propriétés logiques : dans ce sens là ça ne pose pas de souci. Si vous mélangez tout (ce que ne fait certainement pas Van Hatten) on ne sait plus de quoi on parle, et c'est bien l'un des gros travers de l'article auquel je voudrais remédier (cf. titre de la section), et qui je pense gêne d'autres participants. Déjà un gros progrès, pas forcément très coûteux serait justement de ne pas tout mélanger, respecter la signification des termes utilisés ce n'est pas une question de spécialistes. Proz (discuter) 9 octobre 2025 à 15:34 (CEST)

Dans un premier temps au moins, je ne vois pas d'autre méthode que de reprendre l'article au moins jusu'à ces 3 sections en supprimant ces confusions. Quand une source est indiquée, le plus souvent il suffira de se référer à celle-ci pour corriger. Parfois il faut supprimer quand ça n'est pas sourçable : par ex. dans la section intitulée (abusivement, c'est à renommer) "syntaxe du langage ..." je propose de remplacer l'interprétation intuitive non sourcée par l'interprétation BHK (source Van Dalen par ex.). Je compte bien m'y mettre mais pas avant la semaine prochaine, peut-être dimanche. Évidemment si quelqu'un s'y met d'ici là pas de souci. Le tout est que ça avance et qu'on reste sur le sujet traité. Proz (discuter) 10 octobre 2025 à 14:21 (CEST)

Contre-exemples faible/fort

Il faudrait corriger (voir les références invoquées), mais ce n'est pas à développer ici, mais plutôt dans l'article intuitionnisme : au vu des références il ne s'agit qu'indirectement de logique intuitionniste, mais plutôt de mathématique intuitionniste. Proz (discuter) 9 octobre 2025 à 01:19 (CEST)

Je pense qu'ici, on peut y faire allusion dans la partie historique (avec liens sur les deux sous articles en ligne de Hatten). Pour la partie introductive, pour justifier d'abandonner le tiers-exclu, l'exemple devenu classique (après Brouwer), il existe 2 nombres irrationnels x et y tels que x^y est rationnel suffit. Proz (discuter) 10 octobre 2025 à 14:07 (CEST)

Van Dalen, dans l'ouvrage mis en bibliographie, donne "en passant" des contre exemples intéressants. L'un relatif au développement décimal de Pi (p 159) et deux autres dans l'exercice p 180. L'un de ces derniers est assez facilement compréhensible : "on ne peut (à ce jour) dire s'il existe un entier n qui est le plus grand tel tel que n et n+2 soient premiers". Olinone (discuter) 11 octobre 2025 à 07:29 (CEST)

Au pays WP de l'intuitionnisme et du constructivisme : une randonnée exigeante"

Je dois avouer qu'en m'intéressant à l'article "logique intuitionniste" je ne m'attendais pas à soulever autant de réactions ! Je viens de faire (ce que j'aurais probablement dû faire avant de me lancer dans le "bain" intuitionniste/constructiviste", mais cela m'aurait sûrement découragé !) un petit panorama (non exhaustif) des articles WP relatifs à ce sujet (la mise en gras de certains passages est de mon fait) :

Intuitionnisme : "L'intuitionnisme est une philosophie des mathématiques ..."., "Sur le plan logique l'intuitionnisme n'accepte pas le raisonnement par l'absurde ou le tiers exclu...", "La caractéristique distinctive fondamentale de l’intuitionnisme est son interprétation de ce que signifie « être vrai » pour une affirmation mathématique" et "parce que la notion intuitionniste de preuve est plus restrictive que celle des mathématiques classiques,..."(dans le grand chapitre consacré à la notion de preuve et de vérité). Article au statut "ébauche".

Constructivisme (mathématiques) : "En philosophie des mathématiques, le constructivisme est une position vis-à-vis des mathématiques ...", "Les mathématiques constructives utilisent une logique constructive (plus couramment appelée logique intuitionniste), qui...", "Cela ne revient pas à dire que le principe du tiers exclu est complètement interdit ; des cas particuliers de ce principe seront prouvables en tant que théorèmes. Simplement, le principe n'est pas supposé en tant qu'axiome. La loi de non-contradiction, en revanche, est toujours valide.", etc. Article classé "bon début" et sans changement depuis juin 2024 à l'exception d'une modification mineure de Proz le 08/10/2025.

Démonstration constructive : article au statut "ébauche" et sans activité depuis 2019 à l'exception de l'apposition d'un "douteux" dans le RI fin 2024

Analyse constructive : "branche des mathématiques constructives. Elle critique l'analyse mathématique classique et vise à fonder l'analyse sur des principes constructifs."; "Les tenants de l'analyse constructive critiquent la façon dont l'analyse classique utilise l'existence, la disjonction et le raisonnement par l'absurde.",etc. Article classé B écrit essentiellement par Théon, avec très peu de références à des sources.

Raisonnement par l'absurde : "En logique mathématique, on distingue la règle de réfutation:

• p → Faux, donc non(p), qui peut être prise comme définition de la négation,

de la règle de raisonnement par l’absurde :

• (non(p) → Faux, donc p qui est le raisonnement par l’absurde.

La logique classique et la logique intuitionniste admettent toutes deux la première règle, mais seule la logique classique admet la deuxième règle, qui suppose l’élimination des doubles négations. De même, on rejette en logique intuitionniste le principe du tiers exclu. Aucune preuve en logique intuitionniste ne peut donc faire appel au raisonnement par l'absurde. Autrement dit, toute proposition prouvable en logique intuitionniste peut être prouvée sans l'utiliser.", "À l’inverse, si l’affirmation de l’existence conduit à une contradiction, on en conclut que l’objet n’existe pas (on réfute son existence) sans qu’il y ait raisonnement par l’absurde et donc ce type de raisonnement est accepté en logique intuitionniste." et concernant l'irrationnalité de rac 2 : "Dans cette démonstration, on a seulement utilisé le fait que, si une proposition P conduit à une contradiction, alors on a non(P). Il n’y a donc aucun raisonnement par l’absurde, malgré les apparences. Le raisonnement tenu est donc valide aussi bien en logique classique qu’en logique intuitionniste.". Article classé "bon début".

Principe du tiers exclu : "En logique, le principe du tiers exclu est équivalent à l'implication de la double négation $\neg \neg p\to p$, au sens que l'un se déduit de l'autre. Comme la double négation, le raisonnement par l'absurde est équivalent au principe du tiers exclu. " Article classé "bon début".

Il y a pas mal de redondances entre ces articles, et, bien sûr, avec l'article ici discuté "logique intuitionniste". Mais plusieurs des critiques qui ont été faites ci dessus, si elles devaient être maintenues, devraient probablement être également (voire d'abord?) intégrées dans certains de ces articles. Notamment celles concernant la preuve de l'irrationnalité de racine carrée de 2 (cf raisonnement par l'absurde), celle sur l'acception à donner au terme "raisonnement par l'absurde" (cf article homonyme, qui le distingue bien de "réfutation"), ainsi que celles concernant la notion de preuve, le caractère central du refus du "dogme" du tiers exclu, etc.

Donc il me parait y avoir deux grandes voies pour avancer sur ces critiques :

a) essayer d'assurer une cohérence entre ces différents articles (et je ne vois aucune incohérence entre l'article "logique intuitionniste" et ces autres articles sur les sujets critiqués), et admettre qu'une définition (ou une proposition) donnée dans l'un est acceptable dans un autre, sous réserve bien sûr d'être sourcée (et c'est, je crois ce qui est fait dans l'article "logique intuitionniste") ;

b) essayer de simplifier le panorama en fusionnant certains de ces articles entre eux (globalement ou par parties) : projet probablement utile, et qui ne manquera pas de susciter l'intérêt critique mais constructif des contributeurs de cette pdd (et d'autres wikipédiens).

J'avoue être peu enclin, compte tenu des réactions déjà reçues, à me lancer dans le projet b). Je vais essayer, en revanche, au moins pour un certain temps, de contribuer à consolider l'article "logique intuitionniste", qui me semble mériter de vivre !

Cdlt Olinone (discuter) 9 octobre 2025 à 12:18 (CEST)

Certains de ces articles ne sont pas très bons, ce n'est pas en élargissant et en voulant régler tous les problèmes à la fois qu'on va avancer. Les sujets sont a priori différents et il y a matière à des articles différents, mais comme finalement vous ne souhaitez pas fusionner (ouf) inutile d'en discuter. Certainement il y aurait des redistributions à faire (j'en ai proposé une au dessus). Proz (discuter) 9 octobre 2025 à 15:41 (CEST)

Je partage totalement les commentaires de Proz (pas seulement ceux ci-dessus, mais tous ceux des discussions qui précèdent). Je ne voulais pas commencer par des paragraphes, très argumentées qui auraient été déplacées pour ma remarque initiale. Mon problème en lisant la section Notion de preuve et refus de l'axiome du tiers exclu est que je ne comprenais pas ce qu'elle voulait dire. Je l'ai relue plusieurs fois, puis j'ai essayé de comprendre pourquoi je n'avais pas compris, ainsi j'ai isolé trois niveaux : définitions manquantes , confusion, hors sujet. J'étais donc inquiet que cette section soit celle qui serve d'introduction et de motivation à lire la suite de l'article. Cela venait d’autant plus mal, que je venais de lire le livre de, Gérard Berry, Le Temps vu autrement, Paris, Odile Jacob, 2025, 368 p. (ISBN 978-2-4150-1077-5) et il me paraissait beaucoup plus intéressant de justifier la logique intuitionniste (que Gérard Berry appelle logique constructive) par des arguments de 2025, plutôt que par des arguments de 1925. Je cite Gérard Berry à la page 345 de son livre (en le paraphrasant un peu): ,

« La logique contructive est celle qui permet de toujours savoir exactement quand tous les fils d'un circuit électronique cyclique se stabilisent en temps fini quels que soient les délais des portes et fils.  »

C'est peut-être abscons au premier abord et extrait de son contexte, mais pour moi c'est convaincant, car ça parle de science d'aujourd’hui appliquée à la technologie moderne. En gros, on pourrait écrire un paragraphe de motivation en s’inspirant du chapitre 9 de Gérard Berry, qui parlerait plus à nos jeunes lecteurs. --Pierre Lescanne (discuter) 9 octobre 2025 à 18:14 (CEST)

La référence à G. Berry (très grand scientifique français pour lequel j'ai un immense respect) m'amène à faire quelques remarques :

a) si ce grand scientifique (ou ses lecteurs) confond(ent) ou considère(nt) comme synonymes les appellations "logique intuitionniste " et "logique constructive", pourquoi ne pas accepter que, dans le langage "courant ", voire dans les articles WP, fusionner ces deux notions (éventuellement en précisant le sens de cette fusion et ses limites) est acceptable? Cela éviterait aux contributeurs de bonne foi de passer trop de temps à argumenter entre eux sur ce sujet. Alternative: les contributeurs cherchant plus de précision s'attachent à clarifier les articles WP en question et, tant que ce n'est pas fait, mettent la "pédale douce" sur les critiques en confusion/ambiguïté qu'ils font aux autres contributeurs (de bonne foi). Et, pour finir sur une touche humoristique, ces exigeants contributeurs pourraient aussi faire remarquer à G. Berry sa bévue !!!

b) la phrase citée est (pour le moins) difficile à comprendre. Et je ne suis pas certain qu'elle aurait un impact didactique immédiat (pour dire le moins) sur "nos jeunes lecteurs". Mais il se pourrait qu'un "paragraphe de motivation" qui montrerait "la science d'aujourd’hui appliquée à la technologie moderne rendrait" ait un intérêt : je réserve mon avis dans l'attente de voir un tel texte. Je relève cependant que cette approche tendrait à établir un lien entre logique intuitionniste et physique appliquée : ceux des contributeurs à cette pdd qui considèrent que "la logique intuitionniste ne s'intéresse pas aux réels" ne manqueront pas, je pense, de faire, la remarque que "la logique intuitionniste ne s'intéresse pas à la physique", voire que l'exemple est "hors sujet" dans cet article !

Cdlt. Olinone (discuter) 12 octobre 2025 à 10:39 (CEST)

Pourquoi pas, l'approche historique n'est pas forcément la meilleure motivation (et peut être traitée indépendemment), mais effectivement il faudrait un peu plus de contexte. Proz (discuter) 10 octobre 2025 à 14:25 (CEST)

Merci @PIerre.Lescanne pour le livre de Gérard Berry. Je pense qu'il faut être neutre. Dans l'article Wikipedia, plutôt que choisir, on peut présenter toutes les motivations qui existent dans les différentes sources (dont le livre de Gérard Berry).

Et, je suis d'accord en gros avec la discussion sur les différents articles. Merci à tout le monde. Fschwarzentruber (discuter) 10 octobre 2025 à 15:35 (CEST)

J'avoue que la page de discussion commence à être un peu longue, j'ai seulement survolé les derniers commentaires, mais il me semble qu'il faudrait avoir les pages suivantes :

• Logique intuitionniste, qui présente les systèmes formels qui correspondent à la "logique classique en enlevant le tiers exclus/l'élimination de la double négation", avec la version déduction naturelle et la version calcul des séquents, l'interprétation BHK, Curry-Howard, la sémantique de Kripke, de Beth, et celle dans les topos (généralisation des deux précédentes), mais qui ne parle, notamment, ni de réels, ni d'entiers naturels. On peut éventuellement donner des exemples intuitifs comme "on ne peut pas décider si un nombre réel est rationnel ou non", mais je pense que ça devrait rester de l'ordre intuitif, parce qu'on ne veut pas, ici, développer l'analyse constructive.
• Intuitionnisme, un courant historique de philosophie des mathématiques qui rejette certaines démonstrations, mais aussi, par exemple, le formalisme
• Les mathématiques constructives, différentes versions des mathématiques qui rejette le tiers exclu. Les différentes variantes sont les mathématiques intuitionnistes, les mathématiques constructives à la Bishop et l'école russe (Markov notamment), qui méritent chacune une page. Certaines de ces écoles acceptent des principes de choix qui sont refusés par d'autre (le principe de Markov est refusé par l'école intuitionniste), voir qui sont incompatibles avec la logique classique (comme la thèse de Church constructive).

JeanCASPAR (discuter) 10 octobre 2025 à 15:45 (CEST)

Merci de ces propositions qui tracent un chemin de progrès.

Je voudrais rappeler ici, dans un esprit d'apaisement et de recherche de solutions pratiques, que mes interventions sur l'article partaient de l'intention d'en rendre la lecture accessible à un assez large lectorat, au moins pour les premiers chapitres ( RI, histoire, syntaxe, exemples de différence classique/intuitionniste) , chapitres sur lesquels ont porté la quasi totalité de mes contributions (outre l'apport de sources et références). J'avoue ne pas m'être trop posé la question du "sujet" de l'article, pensant de bonne foi le conserver et ne travailler qu'à en expliciter (pour les parties que j'ai adressées) texte, raisonnements et exemples. Je n'ai donc nullement cherché à "changer le sujet de l'article". Au vu des très nombreuses sources mentionnant que les différences entre ces deux logiques en mathématiques étaient notamment liées aux notions d'infini, de démonstration/preuve constructive et de rejet du "dogme" du tiers exclu, il m'a semblé intéressant de donner, assez tôt dans l'article, quelques exemples concrets (et compréhensibles sans utiliser tout le formalisme exposé plus loin dans l'article) de ces différences. Y compris (cas de racine de 2) pour illustrer que, malgré le rejet du tiers exclu, de très nombreux théorèmes (classiques) sont démontrables en logique intuitionniste. Je ne comprends pas bien pourquoi donner des exemples illlustrant les différences entre 2 logiques serait "hors sujet": les exemples ne sont-ils pas un outils didactique très utilisé, y compris par Van Dalen dans l'ouvrage auquel certains contributeurs se réfèrent? En vérifiant l'historique de mes modifications, vous remarquerez aussi que, sur bien des sujets, je me suis abstenu de faire des modifications (infini, BHK, Kripke, règles de déduction naturelle, etc.) (sauf fourniture de références) : j'ai conscience de mes limites dans ces domaines ! Ceci étant dit, j'ai du mal à répondre à des qualifications de "hors sujet " si l'auteur de ce qualificatif ne donne pas la définition du sujet à laquelle il se réfère. Et je pense que cette difficulté n'est pas levée par la lecture de ce qui est écrit dans d'autres articles , notamment les RI des articles WP tels qu'intuitionisme (une philosophie...), constructivisme (en philosophie...une position...), etc. Et WP en anglais n'est pas non plus d'une grande aide puisqu'on y lit : "intuitionistic logic, sometimes more generally called constructive logic, refers to systems of symbolic logic that differ from the systems used for classical logic by more closely mirroring the notion of constructive proof. In particular, systems of intuitionistic logic do not assume the law of excluded middle and double negation elimination, which are fundamental inference rules in classical logic" , texte qui va jusqu'à "fusionner" les appellations logique intuitionniste et logique constructiviste. Mais je ne souhaite pas passer plus de temps sur la définition du sujet : si vous en avez une à fournir ("une logique symbolique qui diffère..." en paraphrasant WP anglais?), je m'y rangerai. En revanche, j'apprécierais un retour à plus de courtoisie dans les remarques qui me sont faites ("proposition ahurissante" , que je n'ai d'ailleurs pas faite ; "si vous mélangez tout", "un gros progrès, pas forcément très coûteux serait justement de ne pas tout mélanger, respecter la signification des termes utilisés ce n'est pas une question de spécialistes" : en quoi donner des exemples et tenter d'éclaircir, sur des exemples, la notion de démonstration/preuve est-il "tout mélanger"?). Et si vous pensez que certaines parties de mes contributions seraient mieux logées dans d'autres articles, n'hésitez pas à les y transférer. Cdlt. Olinone (discuter) 10 octobre 2025 à 17:30 (CEST)

Je suis désolé si mes propos ont pu vous heurter. J'ai cru sincèrement que la dernière phrase de votre intervention du 9 octobre 2025 à 12:38 était une proposition de renommage, ce qui m'a fait un peu bondir, car pour moi elle revenait à changer le sujet, d'où une réaction de ma part trop vive manifestement. Par "tout mélanger", je n'entendais rien de plus que le titre de la section 2 rangs au dessus (Confusion ...), pas du tout une critique de l'utilisation d'exemples. Je reconnais bien volontiers que c'est excessif et que j'aurais dû m'exprimer de façon plus précise et plus modérée. Pour cette question de confusion, peut-être comprendrez-vous mieux ce que je veux dire en examinant les 2 corrections que j'ai réalisées tout à l'heure ? C'est à poursuivre. Je n'ai non plus aucune idée de qui a écrit quoi, dans l'article en dehors des indications que vous donnez en pdd. Je prends l'article tel qu'il est, je ne suis pas allé voir l'historique. Il s'agit d'améliorer, pas de chercher des responsables. Par ailleurs, le souci de lisibilité est pour moi tout à fait louable, aucune critique à faire à ce sujet. pour la question de la délimitation du sujet, vous avez des éléments dans l'intervention de Utilisateur:JeanCASPAR juste au dessus. Proz (discuter) 11 octobre 2025 à 01:20 (CEST)

Merci de votre réponse, et allons donc (ensemble) de l'avant! Olinone (discuter) 11 octobre 2025 à 07:52 (CEST)

Bonjour Utilisateur:JeanCASPAR, et merci encore de vos propositions. Celle relative aux mathématiques constructives m'a amené à regarder l'article principe de Markov, qui affirme : "Ce principe est utilisé dans la validité logique classique, mais pas dans les mathématiques intuitionniste constructives". Du coup, moi qui croyais commencer à y voir clair, je dois rallumer l'anti brouillard! Y aurait-il des mathématiques intuitionnistes non constructives (ma compréhension: je crois que non)? Des mathématiques constructives non intuitionnistes (d'après ce que vous dites : oui) ? Le refus du tiers exclu n'est-il pas, en fait, une conséquence inévitable de l'exigence constructiviste (ma compréhension: je crois que oui)? Ces subtilités, si elles étaient confirmées et sourcées, mériteraient d'être mises en note dans certains des articles du pays "intuitionnisme et constructivisme", ne serait ce que pour limiter le risque de "confusion entre constructivisme et intuitionnisme". Cdlt. Olinone (discuter) 11 octobre 2025 à 07:50 (CEST)

Bonjour, effectivement, il y a ambiguïté. Le problème, c'est que le mot "intuitionniste" a deux sens : d'une part, le refus du tiers exclus et de l'axiome de choix, d'autre part, ce qui en fait une logique "de base", disons, d'autre part, les mathématiques de Brouwer qui certes refusent le tiers exclus et l'axiome de choix, refusent le formalisme, mais supposent en plus que toutes les fonctions R -> R sont continues, ce qui contredit la logique classique. Mais "logique intuitionniste", c'est un système formel bien précis qui utilise le premier sens.

"Constructif" désigne plusieurs choses, mais essentiellement, n'importe quelle cadre dans lequel on a la propriété que si $\vdash \exists x,P$ alors on peut exhiber un $t$ tel que $\vdash P[x:=t]$, et que si $\vdash P\lor Q$ alors $\vdash P$ ou $\vdash Q$. Les mathématiques intuitionnistes (dans le deuxième sens) sont constructives effectivement, et ce ne sont pas la seule version des mathématiques intuitionnistes. Comme dit, par exemple, le principe de Markov (l'élimination de la double négation pour les formules $\Sigma _{1}^{0}$, ou ses extensions) est acceptable constructivement, puisqu'il correspond à une recherche non bornée dont on sait qu'elle termine, mais refusé par les intuitionnistes. L'article est mauvais et j'ai prévu depuis longtemps de le reprendre, ce n'est pas la peine de s'appuyer dessus.

Historiquement, il y a aussi eu certains constructivistes qui se concentraient plus sur le refus de l'imprédicativité que du tiers exclus, mais ça mérite presque un traitement à part.

Après, dans le langage "courant", "intuitionniste" et "constructif" sont largement interchangeables, parce qu'à part ceux qui font des mathématiques constructives à rebours, plus personne ne s'intéresse vraiment à l'intuitionnisme de Brouwer, et "intuitionniste" désigne uniquement la logique intuitionniste.

Le livre de Troelstra et Van Dalen explique tout cela très bien. JeanCASPAR (discuter) 11 octobre 2025 à 12:31 (CEST)

Il est louable de chercher à donner des exemples concrets permettant d'illustrer la différence entre logique classique et logique intuitionniste. Ces exemples doivent clairement faire la différence entre "si A conduit à une contradiction alors non(A)", valide dans les deux logiques, et "si non(A) conduit à une contradiction alors A" qui est le raisonnement par l'absurde. Mais il n'est pas évident de trouver de tels exemples simples en mathématiques, d'une part parce que les mathématiciens, raisonnant usuellement en logique classique, ne font pas de distinction entre les deux formules précédentes, d'autre part parce ce que, pour donner un exemple mathématique, on doit rajouter à la logique d'autres axiomes ayant pour but de définir les objets mathématiques qu'on va utiliser. Or rapidement, la plupart des exemples auxquels on peut penser débouche sur les nombres réels. Mais qu'est-ce qu'un nombre réel ? Des objections sur ce point ont été soulevées dans les discussions précédentes et parfois dès le mois de juin. Il serait hors sujet de développer dans le présent article la notion de réel. On est donc obligé de rester à un niveau intuitif sur cette notion. Peut-on alors garder les exemples parlant de nombre irrationnel ? Je trouve que la question de l'irrationalité de ${\sqrt {2}}$ n'a pas sa place ici pour distinguer logique classique et logique intuitionniste puisque la preuve utilise la formule "si A conduit à une contradiction alors non(A)" (à condition de convenir que ${\sqrt {2}}$ irrationnel signifie non(${\sqrt {2}}$ rationnel), qu'on pourrait qualifier d'irrationalité faible. D'autres définitions sont possibles. Dans son ouvrage Constructive Analysis, Bishop donne dans l'ex.10 p.62 une définition dont l'exigence est plus forte : pour tout rationnel $r$, ${\sqrt {2}}\neq r$, i.e., pour tout rationnel $r$, il faut donner explicitement un entier $n$ tel que $\left|{\sqrt {2}}-r\right|>{\frac {1}{n}}$. L'objet de l'exercice est de construire un réel qui n'est ni rationnel ni irrationnel). Tout au plus peut-on l'utiliser pour illustrer qu'il ne s'agit pas d'un raisonnement par l'absurde. Il me semble plus intéressant de garder l'exemple de l'existence de deux irrationnels $a$ et $b$ tels que $a^{b}$ est rationnel, mais cela illustre plutôt la différence entre existence classique et existence intuitionniste.
Se pose également l'endroit où l'on place les exemples. Il est difficile de donner un exemple avant de parler de la syntaxe car si on ne connaît pas la syntaxe de la logique intuitionniste, on ne comprendra pas sur quoi porte les exemples. Même si c'est plus ardu, il est peut-être difficile d'éviter de donner les exemples après la syntaxe. Je suis ennuyé de voir l'exemple portant sur ${\sqrt {2}}$ apparaître en premier juste avant le paragraphe Exemples de différences avec la logique classique, qui a précisément pour but de regrouper de tels exemples. Theon (discuter) 11 octobre 2025 à 10:14 (CEST)

Merci Utilisateur:Theon de considérer que chercher à donner des exemples concrets est "louable" ! Et, effectivement, le but de l'exemple de l'irrationnalité de √2 est bien de "l'utiliser pour illustrer qu'il ne s'agit pas d'un raisonnement par l'absurde" : peut être n'est-il pas formulé assez clairement ? Et, oui, " Il serait hors sujet de développer dans le présent article la notion de réel". Et, oui, Bishop donne bien une définition des irrationnels (ainsi que des inégalités et de l'égalité) dans son ouvrage, comme je l'ai indiqué dans la pdd dans le sujet "Notion de preuve et refus de l'axiome du tiers exclu" (voir plus haut dans le fil de cette pdd). Mais, je maintiens que ces 2 exemples sont à la fois pertinents et assume l'emplacement que je propose de leur donner. J'ai ouvert un sujet (cf plus bas) sur l'emploi d'exemples dans le monde des réels, où j'explicite mes arguments et mes références. Cdlt. Olinone (discuter) 11 octobre 2025 à 15:25 (CEST)

Le cas √2 et l'utilisation d'exemples dans l'ensemble des réels

Pour ne pas alourdir les autres parties de cette pdd, je propose de poursuivre ici les discussions relatives à la démonstration de l'irrationnalité de √2, et, par extension, de l'utilisation d'exemples dans l'ensemble des réels. Je suis le responsable (le coupable?) de la création de l'encadré regroupant 2 sujets relatifs à √2. Pourquoi diantre ai-je imaginé cet encadré? Parce que j'ai été intrigué et amusé par le fait que √2 apparait souvent dans les exemples cités par les mathématiciens/logiciens chevronnés s'intéressant à l'intuitionnisme et/ou au constructivisme, et que la démonstration de l'irrationnalité de √2 est citée abondamment dans la littérature "classique" (ou basique?) comme un exemple de démonstration par l'absurde. Il m'a donc semblé, dans le cadre d'un "narratif" qui irait du plus simple au plus compliqué, de les mentionner avant de "plonger" dans le formalisme (les connecteurs, BHK, Kripke, etc.) certes indispensable pour définir précisément les concepts maniés, mais plus difficile d'accès. L'idée est de montrer, de façon presqu'intuitive, qu'il y a des exemples de raisonnements "classiques" qui ne sont pas acceptables en logique intuitionniste, mais dont les résultats peuvent quand même être démontrés en logique intuitionniste. C'est un peu le pendant des "contre exemples forts" qui, eux, mettent en avant des affirmations "classiques" dont on sait qu'elles ne peuvent pas être démontrées de façon intuitionniste/constructiviste.

Les arguments principaux fondant les critiques envers les 2 exemples que je propose me paraissent (selon ce que j'en comprends) être les suivants :

a) l'exemple de l'irrationnalité de √2 (et l'autre aussi?) viendrait trop tôt dans l'article : j'assume l'avoir intentionnellement placé assez proche du début pour qu'un lecteur peu aguerri au formalisme de la logique et/ou disposant de peu de temps, le lise et, au cas où il serait intéressé/intrigué par l'exemple, que cela l'incite à aller plus loin. Quant au lecteur aguerri, il lira tout de toute façon ("hopefully"!).

b) l'utilisation d'exemples utilisant les réels serait "gênante" (voire illégitime, infondée, non pertinente, etc.) : cet argument plus fondamental est présenté sous plusieurs angles, notamment "La logique intuitionniste ne s'intéresse pas aux/ne dit rien des réels" ou encore "Pour définir les réels, il faut ajouter d'autres concepts mathématiques". A ces arguments, je réponds que la quasi-totalité des ouvrages cités dans l'article ainsi que ceux appelés en témoignage par les participants à cette pdd utilisent des exemples sur les réels sans forcément développer la définition constructiviste (ou intuitionniste) des réels. Voir, par exemple, Van Dalen p 153, 159, 174, 180 etc.

Dans ce même ouvrage, l'auteur dit d'ailleurs (p 180) "We have intentionally simplified the issues so that a reader can get a rough impression of the problems and methods without going into the finer foundational details" : ne pouvons-nous pas nous autoriser à et essayer d'en faire autant ? Donc je propose le maintien de cet encadré comme donnant deux exemples compréhensibles et pertinents ayant l'avantage (que je pense grand) de ne pas faire appel au formalisme qui constitue la suite de l'article.

Cdlt. Olinone (discuter) 11 octobre 2025 à 15:36 (CEST)

Bonjour. Le premier exemple (celui de l'irrationalité de ${\sqrt {2}}$) n'est pas pertinent s'il a pour but de montrer qu'il y a une différence entre logique classique et logique intuitionniste concernant le raisonnement par l'absurde, puisque le raisonnement par l'absurde n'est pas utilisé. Il pourrait être pertinent pour souligner la différence entre "non (être rationnel)" et "pour tout rationnel r, être différent de r au sens de Bishop", ce qui nécessite alors de donner les définitions de Bishop et rendrait l'exemple difficilement abordable en première lecture pour le néophyte. En tout état de cause, on voit bien que l'exemple, tel qu'il est actuellement rédigé, relève d'une difficulté soulevée par PIerre.Lescanne : quelle est la définition utilisée pour le mot "irrationnel" dans cet exemple ? Cordialement. Theon (discuter) 12 octobre 2025 à 11:30 (CEST)

Bonjour. Je vous remercie de votre réponse, qui m'amène à confirmer que l'intention est bien de montrer que bien que les manuels scolaires de niveau collège utilisant la démonstration de l'irrationnalité de √2 comme un exemple typique de raisonnement par l'absurde, en fait ce n'en est pas un, et donc que ce raisonnement, précisément formulé, est acceptable en mathématiques constructives. Tout est, effectivement (et c'est ce qui est dit dans l'encadré) dans la définition d'"irrationnel", définition qui, dans les 2 logiques peut s'énoncer  : "est irrationnel tout nombre dont on peut démontrer qu'il n'est égal à aucun rationnel". Mais point besoin de plonger (contrairement à ce que j'ai pu laisser entendre plus haut, et je vous prie de m'en excuser) dans Bishop ! On peut raisonner dans les réels "classiques", être constructif et ne pas utiliser le raisonnement par l'absurde : c'est ce que cet exemple tente de faire, de façon certainement maladroite compte tenu des réactions suscitées. Ce que fait Bishop (cf les références que j'ai indiquées plus haut), c'est qu'en quelques pages il expose la méthode (constructive) qui, à partir de rationnels, et même plus précisément de décimaux et de développements décimaux, lui permet de (re)construire l'ensemble des réels, celle des relations d'ordre, d'égalité et de différence, et, au passage de donner une démonstration de l'irrationnalité de √2 strictement conforme à ces règles et définitions.

Ceci étant, tout en restant persuadé de l'intérêt didactique de cet exemple, je vois qu'un consensus se dégage en faveur de sa suppression. Je propose donc que quiconque le souhaite le supprime, et je m'en tiendrai là sur ce sujet. Cdlt. Olinone (discuter) 12 octobre 2025 à 15:29 (CEST)

Je me porte volontaire pour faire cette suppression puisque je suis à l'origine de cette suggestion. Je remercie tous les participants pour leur fair-play. Pierre Lescanne (discuter) 12 octobre 2025 à 17:09 (CEST)

@PIerre.Lescanne, sauf erreur de ma part, la suppression que vous avez réalisée ne concerne pas la démonstration de l'irrationnalité de √2 (suppression qui semblait faire consensus malgré mes tentatives de justification et à laquelle je me suis résolu "nolens volens"), mais tout le chapitre " Notion de preuve et refus de l'axiome du tiers exclu", qui n'a rien à voir avec la longue discussion sur le cas √2.

J'espère qu'il s'agit d'une erreur de manipulation... Olinone (discuter) 13 octobre 2025 à 09:58 (CEST)

C'est effectivement un autre paragraphe que PIerre.Lescanne a supprimé, et non la partie concernant l'irrationalité de ${\sqrt {2}}$ (dont je pourrai m'occuper, à moins que qqn le fasse avant). Il vaudrait mieux remettre en place le paragraphe " Notion de preuve et refus de l'axiome du tiers exclu" en place (tout en sachant que la discussion sur ce paragraphe n'est pas terminée). Cordialement. Theon (discuter) 13 octobre 2025 à 18:48 (CEST)

Problématique des exemples (suite...mais sans √2 !)

Dans le chapitre Exemples de différences avec la logique classique/Validité de certaines implications se trouve un tableau incluant divers exemples censés illustrer certaines des affirmations de validité/invalidité implicative. Certains me semblent peu probants, notamment les 2 suivants :

"Par exemple, il est prouvé que « il pleut » n'est pas contradictoire (on n'obtient pas de contradiction en supposant « il pleut »). Pourtant, « il pleut » n'est pas prouvable, sauf si on sort et qu'on se fait mouiller."

"Par exemple, « pour tout x,  x est pauvre » est contradictoire (car je vois qu'il existe des richesses). Pourtant, je ne peux pas trouver un individu  (riche) tel que  x est pauvre soit contradictoire."

Auriez vous des idées pour en proposer des exemples plus éclairants?

Un autre de ces exemples est peut être exact mais pas évident à comprendre :

"Par exemple, je construis une preuve de « x>0 » qui utilise une preuve « x>1 ». Pourtant, « x>1 » n'est pas contradictoire et « x>0 » n'est pas prouvable."

Qu'en pensez vous (sur le fond et sur la forme)?

Cdlt. Olinone (discuter) 13 octobre 2025 à 09:05 (CEST)

Je ne suis pas non plus emballé par ces exemples et je ne suis pas sûr qu'ils entraînent la conviction du lecteur. Pour le premier exemple, on pourrait peut-être proposer qqc du genre : Supposons qu'on dispose d'une preuve du fait que l'irrationalité de la constante d'Euler entraîne une contradiction. On ne pourra pas conclure à la rationalité de cette constante si la susdite preuve ne fournit pas les valeurs du numérateur et du dénominateur. Theon (discuter) 14 octobre 2025 à 10:42 (CEST)

Merci pour le commentaire. C'est moi qui avait donné ces exemples. L'idée était d'avoir des exemples de la vie de tous les jours pour éviter que les lecteurs aient besoin de connaître ce que veut dire "irrationnel", "constante d'Euler". Pour améliorer l'article on pourrait imaginer :

- mettre plusieurs exemples

- ajouter des sources (et changer les exemples pour qu'ils collent à des sources). Le must serait que l'article ne soit pas de nous, mais fait le tour des exemples données dans la littérature.

Bonne journée. Fschwarzentruber (discuter) 18 octobre 2025 à 09:15 (CEST)

Quand je propose de prendre des exemples sur les nombres réels, je reçois une succession de remarques négatives. Je ne suis pas persuadé que "avoir des exemples de la vie de tous les jours" suscite des réactions plus positives. Mais c'est à voir avec les contributeurs qui ont, avec persistance, émis les remarques négatives mentionnées. Cdlt. Olinone (discuter) 18 octobre 2025 à 09:49 (CEST)

Qu'est ce que la logique intuitionniste ? notion de "hors sujet"

La critique en "hors sujet" qui a été faite, à plusieurs reprises dans cette ppd m'amène à poser la question suivante : Quel est le sujet de l'article ? La réponse est dans le titre : "la logique intuitionniste". Or il se trouve que cette notion est l'objet de la première référence de l'article, celle renvoyant à un texte de Vidal Rosset, où on peut lire :

"On distinguera dans cet article la logique intuitionniste de l’intuitionnisme philosophique. La première peut se définir par un ensemble restreint de règles qui gouvernent la théorie intuitionniste de la démonstration,..." (p 1)

"L’intuitionnisme logique appartient aux mathématiques constructives". (p 1)

"Le rejet de la loi classique du tiers exclu a des conséquences importantes sur la théorie de la démonstration". (p 2)

Donc, sauf à contester cette définition et à la remplacer par une autre au moins aussi bien sourcée, il me parait assez peu convaincant de contester la pertinence d'un chapitre intitulé " Notion de preuve et refus de l'axiome du tiers exclu" (ou de "démonstration" si "preuve" parait imprécis...). Par ailleurs si la logique intuitionniste "appartient" aux mathématiques constructives, est-il vraiment utile d'argumenter sur le fait qu'elle ne "s'intéresse pas" à tel ou tel aspect (par exemple les nombres réels) des mathématiques constructives ? Là encore, si cette définition ne convient pas, il faut la supprimer de l'article et la remplacer par un autre de même qualité. Dans l'attente de d'éventuelles propositions argumentées et sourcées sur ces sujets de définition, et du coup , de la définition du "hors sujet". Cdlt. Olinone (discuter) 14 octobre 2025 à 17:45 (CEST)

Ce qui me gêne dans le paragraphe "Notion de preuve et refus de l'axiome du tiers exclu", c'est d'abord le titre. Il y est évoqué la notion de preuve mais je ne vois pas bien où apparaît ce qui porte sur ce sujet dans le susdit paragraphe. Ensuite, on se focalise sur le tiers exclu. Il me semble que trois choses (plus ou moins liées) font principalement différer la logique classique de la logique intuitionniste : le tiers exclu, le raisonnement par l'absurde, la double négation. On ne voit pas bien pourquoi se limiter à un seul des trois, si on tient à tout prix à créer un nouveau paragraphe. Or les notions précédentes sont par ailleurs déjà évoquées dans le préambule et la partie historique, et on en retrouve aussi dans les exemples. Je ne comprends donc pas bien ce qu'apporte le paragraphe en question.

En ce qui concerne le sujet du présent article, les trois articles logique classique, logique intuitionniste, logique minimale en particulier permettent de bien comprendre par exemple la différence de traitement de la négation. Chaque article se limite au type de raisonnement qui lui est propre. D'autres articles sont dédiés à l'histoire de la logique. Il me paraît plus clair de conserver cette distinction, en séparant clairement d'un côté ce qui porte sur telle ou telle logique, sa syntaxe, ses théorèmes, etc. et en limitant la partie historique au minimum, celle-ci pouvant être davantage développée dans d'autres articles plus globaux. Donc, comme Pierre Lescanne, je ne suis pas favorable à ce qu'on parle d'Aristote dans le présent article. Le cas de Brouwer est plus discutable mais l'article intuitionnisme lui est déjà grandement consacré. Cordialement. Theon (discuter) 16 octobre 2025 à 17:40 (CEST)

Bonjour à vous, Theon, PIerre.Lescanne , JeanCASPAR, Proz et Fschwarzentruber . Nos derniers échanges m'amènent à constater que vous produisez un tel volume de critiques envers mes contributions et propositions qu'il me parait désormais non pas inutile mais bien trop chronophage de continuer à essayer de vous convaincre de leur intérêt ou pertinence. Je pense que nous sommes tous de bonne foi, mais que vous avez une conception de l'article très éloignée de celle qui, je pense, pourrait et devrait être celle qui, tout étant correcte sur le fond et correctement sourcée, rendrait l'article accessible à un lectorat peu rompu à ce type de sujet. Ceci est peut-être du au fait que je dois être celui d'entre nous le moins "aguerri" sur les sujets relatifs à la logique. Je vais donc dégager du temps pour contribuer à d'autres articles, et me limiter à suivre l'évolution que vous (ou d'autres) voudrez donner aux divers articles relatifs à la logique dont certains ont bien besoin (comme cette pdd l'a montré) d'être solidifiés et mis en cohérence. Je me réserve évidemment le droit, qui est celui de tout wikipédien, de signaler dans ces articles, avec raison et modération, toute affirmation peu claire ou non sourcée. Bonne continuation à vous. Cdlt. Olinone (discuter) 17 octobre 2025 à 08:32 (CEST)