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Portail de l’Analyse et des Systèmes dynamiques

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Présentation

L'analyse est une branche des mathématiques comprenant l’étude des fonctions d’une ou plusieurs variables, mais aussi des suites et séries, de leur limite éventuelle et plus généralement des systèmes dynamiques.

Trouvant ses origines d'une part dans certaines méthodes de calcul pour des mesures géométriques, d'autre part dans l'approximation et la comparaison de grandeurs numériques, l'analyse prend son essor avec le calcul infinitésimal. Elle est aujourd'hui subdivisée en plusieurs branches et a donné lieu à plusieurs domaines des mathématiques, dont la topologie et la géométrie différentielle ou la théorie analytique des nombres, la théorie du potentiel…

Sommaire

histoire de l'analyse

analyse réelle : fonctions – limite – suites et séries numériques

fonctions de plusieurs variables – analyse convexe – analyse vectorielle

suites et séries de fonctions – analyse harmonique

équations fonctionnelles – équations différentielles – équations aux dérivées partielles – équations intégrales

systèmes dynamiques • théorie de l'intégration – théorie de la mesure

analyse complexe analyse fonctionnelle : opérateurs – distributions

analyse non standard analyse p-adique

analyse constructive analyse numérique

géométrie différentielle théorie analytique des nombres

Image du jour

Trajectoire parabolique d'un corps en chute libre, correspondant à une équation différentielle définie par une dérivée seconde constante.

Panorama

Histoire de l'analyse

méthode d'exhaustion – Eudoxe de Cnide – Bhāskara II – méthode des indivisibles

histoire du calcul infinitésimal – calcul opérationnel – notation de Leibniz – histoire des fonctions trigonométriques – Traité de la roulette – histoire de la fonction zêta de Riemann – histoire de l'analyse fonctionnelle – fluxion – Éléments d'analyse

Newton – Leibniz – Laplace – Lagrange – Riemann – Lebesgue – Fourier – Cauchy – Weierstrass

Analyse algébrique

arrondi – erreur d'arrondi

inégalité de Bernoulli

moyenne arithmétique – géométrique (inégalité arithmético-géométrique) – moyenne harmonique

Analyse réelle

L'analyse réelle est fondée sur la définition de l'ensemble des nombres réels par Dedekind et Cauchy. La notion de limite s'y exprime en termes d'intervalles et peut faire appel à l'infini avec la droite réelle achevée.

Approche élémentaire des fonctions

Liste de fonctions numériques Glossaire des fonctions

Vocabulaire élémentaire: fonction – expression – variable – valeur – ensemble de départ – ensemble d'arrivée – graphe – domaine de définition – image – antécédent – préimage – restriction – composition – réciproque

Représentation graphique d'une fonction

Étude de fonction: domaine de définition – périodicité – parité – continuité – dérivabilité – dérivée (seconde) – variations – extremum – zéros – signe – limites – comparaison asymptotique

Courbe représentative: tangentes – asymptotes – branches paraboliques – concavité – points d'inflexion – position relative – quadrant – pente

Dérivation: règle du produit – fonctions composées – dérivation itérée (formule de Faà di Bruno) – théorème de Glaeser

Calcul de limites: opérations (forme indéterminée) – composition – théorème des gendarmes – théorème de la limite monotone – développement asymptotique (équivalent – négligeable) – règle de L'Hôpital

Intégration: primitive – intégrabilité – intégrale – théorème fondamental de l'analyse – intégration par parties – changement de variables (règles de Bioche)

Corollaires de la propriété de la borne supérieure: théorème des valeurs intermédiaires – de la bijection – de la moyenne; théorème des bornes – théorème de Rolle – théorème des accroissements finis – théorème de Darboux – théorème de la moyenne de Cauchy
Approximation locale: approximation linéaire – théorème de Taylor – développement limité
Régularité (par morceaux): Lipschitz – condition de Hölder – absolue continuité – continuité uniforme – variation bornée – semi-continuité

Suites numériques

Vocabulaire élémentaire: suite – terme – rang – sous-suite – relation de récurrence – raison
Exemples: arithmétiques – géométriques – arithmético-géométriques – récurrentes linéaires (Fibonacci – Tribonacci – Perrin – Padovan – Pell – Lucas) – logistiques
Propriétés: suites adjacentes (moyenne arithmético-géométrique) – équivalentes (formule de Stirling); suite bornée – suite de Cauchy – suite périodique

Convergence: limite – limites inférieure et supérieure – lemme de Cesàro – théorème de Stolz-Cesàro – lemme de l'escalier; valeur d'adhérence – théorème de Bolzano-Weierstrass

Applications: développement décimal – fraction continue – produit infini – produit infini de Cantor

Vitesse de convergence des suites: convergence linéaire – convergence quadratique

Séries numériques

Exemples: séries géométriques – harmonique – série des inverses des nombres premiers – séries de Riemann – Bertrand – Grandi – série alternée des entiers; série double
Propriétés: série alternée (critère de convergence) – série télescopique
Convergence: convergence absolue – convergence inconditionnelle; règle de Cauchy – règle de d'Alembert – règle de Raabe-Duhamel
Autres résultats: inégalité de Carleman – théorème de réarrangement de Riemann – lemme de Kronecker
Méthodes de calcul: produit de Cauchy – sommation par parties – sommation de Borel
Applications: série d'Eisenstein – Engel – Lambert – zêta rationnelle

Fonctions de plusieurs variables

dérivée partielle – dérivée directionnelle – différentielle – point critique (point col) – matrice hessienne – gradient – ligne de niveau – multiplicateur de Lagrange

théorème de Sard – Monge – Schwarz – Rademacher – lemme de Hadamard

théorème d'Euler (fonction homogène)

laplacien – fonction harmonique (sphérique – ellipsoïdale)

intégrale curviligne – lemme d'estimation – intégrale multiple – intégrale de surface – théorème de Green

Analyse vectorielle

divergence – théorème de flux-divergence – rotationnel – théorème du gradient – théorème du rotationnel – inégalité des accroissements finis – Nabla – matrice jacobienne – champ de vecteurs (conservatif – solénoïdal – irrotationnel) – champ scalaire – théorème de Helmholtz-Hodge

Géométrie différentielle

jet – singularité – théorème de Stokes – théorème du redressement – courant – flot – flot géodésique – théorème d'inversion locale – théorème des fonctions implicites

difféomorphisme

forme différentielle – théorème de Poincaré

Suites de fonctions

convergence simple – convergence uniforme – convergence en moyenne – convergence en moyenne quadratique

théorème de la limite simple de Baire – équicontinuité – théorèmes de Dini

Approximation de fonction (théorie de l'approximation): théorème d'approximation de Stone-Weierstrass – approximation de Bernstein – théorème de Müntz – théorème de Chlodovsky – théorème de Bernstein

Démonstration de problèmes

problème de Dirichlet –

Équations différentielles ordinaires

Types d'équations différentielles ordinaires: autonome – linéaire (d'ordre 1 – d'ordre 2) – d'ordre 1 à variables séparées
Exemples: équation différentielle de Bernoulli – Clairaut – Euler – Lagrange – Liénard – Mathieu – Newton – Riccati – Sturm-Liouville – Verhulst
Résolution: condition initiale – problème de Cauchy – théorème de Cauchy-Lipschitz; méthode d'Euler – variation des constantes – quadrature – transformée de Laplace – wronskien:théorème de Wielandt – théorème de Bohr-Mollerup – théorème de Hölder – théorème d'inversion de Lagrange; équation aux q-différences; solution de forme fermée – séparation des variables; équation différentielle homogène; théorème de Hartman-Grobman; théorème de Poincaré-Bendixson – théorie de Sturm-Liouville
Équations aux dérivées partielles: théorème de Cauchy-Kowalevski – lemme de Borel – principe du maximum – théorème de Cauchy-Peano-Arzelà; équation de Laplace – équation d'Euler-Lagrange – critère de Nagumo – équation biharmonique – équation d'onde – équation de Helmholtz – équation de Korteweg et de Vries – équation de Liénard – équation de Mathieu – équation de Navier – équation de Poisson – équation de Schrödinger semi-linéaire – équation de la chaleur (noyau de la chaleur) – Équations de Cauchy-Riemann – équations de Lagrange – Équations de Lotka-Volterra – Équations de Navier-Stokes; condition aux limites (initiale – dynamique – mêlée – périodique – de Dirichlet – Neumann – Robin) – problème aux limites – théorème d'unicité de Stokes
équation intégrale

Théorie de l'intégration

calcul intégral (calcul numérique d'une intégrale) – famille sommable – fonction localement intégrable – fonction simple

théorème de convergence dominée – lemme de Fatou – carré sommable – somme de Riemann – intégrale impropre – intégrale de chemin – lemme de Cousin – point de Lebesgue

intégrale de : Riemann – Lebesgue – Kurzweil-Henstock – Stieltjes

intégrale impropre – intégrale paramétrique

produit de convolution – valeur principale de Cauchy

comparaison série-intégrale

inégalité de Jensen – théorème d'interversion série-intégrale – inégalité de Wirtinger – inégalité de Tchebychev pour les sommes – inégalité de réarrangement – inégalité de Young – inégalité de Nesbitt – fonction maximale de Hardy-Littlewood – formule d'Euler-Maclaurin – formule de Cauchy pour l'intégration successive – lemme de Grönwall – théorème de Fubini – théorème de convergence dominée – théorème de convergence monotone – théorème de différentiation de Lebesgue

intégrales de Wallis – intégrale de Gauss – intégrale d'Euler – intégrale de Dirichlet – intégrale de Fresnel

Théorie de la mesure

tribu – sigma-anneau – mesure – espace mesurable – espace mesuré – partie mesurable – fonction mesurable – support de mesure

Exemples: mesure de comptage – mesure de Dirac – mesure de Hausdorff – mesure de Lebesgue
Propriétés: mesure finie – mesure sigma-finie – mesure complète – régularité extérieure
Résultats: théorème de Lusin – propriété Luzin – lemme de transport – théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue – théorème d'Egoroff – théorème d'extension de Carathéodory – théorème de Borel-Cantelli
Constructions: complétion d'une mesure – mesure produit – mesure secondaire – mesure signée – mesure spectrale – transformée de Stieltjes

Théorie géométrique de la mesure – ensemble rectifiable

Analyse complexe

fonction multivaluée – théorème de Fatou – théorème de Goursat – théorème de Mergelyan – théorème de Morera – formule intégrale de Cauchy – intégrale de Cauchy – théorème intégral de Cauchy – série de Dirichlet – série d'Eisenstein – série entière – série hypergéométrique – série de Laurent – prolongement analytique – pôle – zéro – résidu (à l'infini) – singularité

formule d'Euler – constantes de Landau

point de césure

théorème de Borel – lemme de Borel-Carathéodory – fonction holomorphe – fonction méromorphe – fonction entière – conjecture de Bieberbach – lemme de Goursat – principe de Harnack – principe de l'argument – théorème de Rouché – théorème de Tsuji – théorème de Weierstrass-Casorati – théorème des résidus – théorèmes de Picard – théorème de Liouville – théorème de Mergelyan – théorème de Montel – théorème de relèvement – théorème de l'application ouverte – théorème de Gauss-Lucas – théorème de factorisation de Weierstrass

inégalité de Hilbert – inégalité de Cauchy

fonction multiforme – branche principale – monodromie – point de branchement

forme modulaire – formule d'Euler – formule de Jensen – formule de Riemann-Siegel – lemme de Jordan – lemme de Schwarz – lemme de Hartogs

hypothèse de Riemann (généralisée) – théorème de la droite critique

indice – équation différentielle holomorphe

fonction L (conjecture d'Artin) – série L de Dirichlet

Analyse fonctionnelle

calcul des variations (lemme fondamental) – analyse fractionnaire – dérivée fonctionnelle – formulation variationnelle – formulation faible fonctionnelle – lemme de Hadamard – théorème de Banach-Steinhaus – théorème de Hahn-Banach – théorème de Lax-Milgram – théorème de Mercer – théorème de Riemann-Lebesgue – formulation faible – problème de l'obstacle – théorème d'Ascoli – théorème de Banach-Mazur – théorème de Mercer – Théorème d'Ascoli – Théorème de Baire – Théorème de Banach-Alaoglu – Théorème de Banach-Schauder – Théorème de Banach-Steinhaus – Théorème du graphe fermé – Théorème de Hahn-Banach – Théorème de Lax-Milgram – théorème de Fréchet-Kolmogorov – théorème de Rellich – théorème de Riesz-Fischer – théorème de Meyers-Serrin H=W – théorèmes de Dini – propriété de Daugavet – théorème de représentation de Riesz – théorème de Borel

espace fonctionnel – espace de suites lp – espace L¹ – espace L² (carré sommable) – espace L^p – espace L^∞ – espace de suites l^p – espace d'interpolation – espace de Banach – espace de Hilbert – espace de Schwartz – espace de Sobolev – algèbre de Banach – algèbre de von Neumann – algèbre normée – C*-algèbre – approximant de Padé – calcul des variations inégalité de Minkowski – inégalité de Hölder – inégalité de Korn – inégalité de Poincaré – inégalité de Wirtinger

dérivée fonctionnelle
Transformées: Hilbert – Laplace (bilatérale) – Fourier (discrète – à court terme) – Fourier-Mukai – Mellin – Möbius – Shanks – Stieltjes – Walsh – en W – en Z – en cosinus discrète – en ondelettes continue; lifting en ondelettes – théorème de Plancherel; calcul opérationnel

Théorie des opérateurs

norme d'opérateur – algèbre d'opérateurs – déterminant de Fredholm – fonction propre –

Exemples: opérateur laplacien – opérateur laplacien vectoriel – laplacien discret – opérateur bilaplacien – d'alembertien – opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing – opérateur de différence

opérateur différentiel – opérateur intégral – opérateur pseudo-différentiel

Théorie des distributions

distribution de Dirac – fonction de Green – peigne de Dirac – distribution tempérée

Analyse constructive

suite de Specker – unzerlegbarkeit

Analyse non standard

ensemble standard – infiniment petit – Abraham Robinson – Edward Nelson – nombre hyperréel – principe d'idéalisation – principe de standardisation

Analyse numérique

lissage – méthode de la phase stationnaire – méthode du point col – technique de relaxation (dynamique – continue) – delta-2 – méthode de Monte-Carlo – optimisation – optimisation linéaire – optimisation quadratique – méthode des éléments finis – méthode de Galerkin – calcul numérique – critères de Wolfe – descente de gradient – différence finie – différences divisées – séparation et évaluation – extrapolation de Richardson – BFGS – méthode de Newmark – méthode des caractéristiques – intégration de Verlet – problème bien posé – théorème de Lax – théorème de Lax-Wendroff – stabilité d'un schéma numérique – théorème de Sturm – théorème de Laguerre – recherche linéaire – conditions de Kuhn-Tucker

ondelette – ondelette de Haar

sous-différentiel

problème de l'obstacle

phénomène de Runge

linéarisation équivalente

Algorithmes numériques: calcul de la racine n-ième d'un nombre – méthode de Héron; résolution numérique des équations différentielles : méthode des volumes finis – méthode des éléments finis – méthode des éléments finis de frontière – méthode des différences finies – méthodes de Runge-Kutta; recherche des zéros d'une fonction : interpolation quadratique inverse – iteration de Halley – itération de Householder – méthode de Brent – méthode de Laguerre – méthode de Müller – méthode de Newton – méthode de Quasi-Newton – méthode de dichotomie – méthode de la fausse position – méthode de la sécante; résolution de système linéaire : méthode des moments – méthode du gradient conjugué – méthode du gradient biconjugué; calcul numérique d'une intégrale : formules de Newton-Cotes – méthode de Romberg – méthode de la phase stationnaire – méthode du point col – méthodes de quadrature de Gauss – méthode du point médian

Analyse p-adique

théorème de Mahler

Théorie analytique des nombres

théorème des nombres premiers – théorème de Mertens – problème de Bâle – produit eulérien

Autres

théorie de Galois différentielle – théorie du potentiel – théorie du transport

Applications

mécanique hamiltonienne

Analyse du signal: domaine fréquentiel

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Arithmétique et théorie des nombres

Informatique théorique

Probabilités et statistiques

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